关于极限和连续的两个数学问题
今天一哥们聊天时说起，很有趣，大家也来试试：1.青蛙跳井：
一个青蛙在井底，想要跳出去，假设永远不会向下滑，它每次跳高的距离都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒钟，那么青蛙能不能跳出井？
2.阿基琉斯追不上乌龟：
芝诺说，如果阿基琉斯落在乌龟后面，同时起动，那么会出现这样的情况：假设初始时，阿基琉斯在A点，乌龟在B1点，经过了t1的时间，阿基琉斯到达了B1，但同样的，乌龟用t1的时间到达了B2，而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时，乌龟又用t2的时间到达了B3，而阿基琉斯到达B3时，乌龟又到了B4，如此往复，那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。
对第一个问题，所有的人都说“永远跳不出去”，而对第二个问题，则说“肯定追得上，因为事实就是这样”。
于是那哥们问，为什么两个类似的问题，答案不一样？数学依据是什么？
最后大家还是用数学模型把这个事了了，不过过程实在很有趣，社友们也来试试吧。
第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的，这个问题逻辑上很难搞定的 这个问题我也想过，为什么呢追不上呢？我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒，越来越小 本帖最后由 无能 于 2011-4-20 21:47 编辑
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第一条敝人看错了，答案请见下面有大侠给出。
第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说，如果能把问题很清楚的描述出来，那么答案基本上就出来了。
我认为，芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果换一种描述，就不会出现悖论，因为悖论首先就已经确定是错误的了，只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。
没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题，佩服！
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 编辑
第二种情况仅仅是计算上趋于无穷，实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑，一步两步就跨出去了，芝诺的算法仅仅是对这一步两步（或者这一步两步所用的时间）做细分，这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了
第一种情况就是按芝诺的算法来跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他这个算法永远算不完，那青蛙也就永远跳不出去 那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？
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这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。
潜无穷论者认为，世界上没有真正无穷的东西，所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作，这个动作永远在进行中，永远没有终止。
但实无穷论者认为，无穷是存在的，存在着“一下子就完成”的无穷，而非像前者那样的永远无法完成。
能体现这两个无穷争论的例子是：你从点0到点1，无论如何你要经过它们的中点，就是0.5；而你要到达0.5，也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去，由于这些中点是无穷的，所以你永远无法从0点到达1点。
实际这就是区间(0,1)的稠密性，也就是敝贴曾经提到过的，这个区间是连续统的精髓。
你永远无法从点0到达点1，是潜无穷论者的论点，但是我们明明可以一步就从0到1，所以实无穷是存在的，证毕。
集合论是承认“实无穷”的存在的。
根据我的研究发现，“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 编辑
问题一：青蛙是跳不出井的，只能无限接近一个极限高度，这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。
问题二：阿基琉斯只能无限接近乌龟，但永远追不上，阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么？
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第二题，我读题发现龟兔是各跑各的，并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 22:50 编辑
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看来以己昏昏，还是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限，即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
0.9' 无限趋近于 1，但它不等于 1。
欢迎继续提出异议。