关于极限和连续的两个数学问题

鬼魅道长

今天一哥们聊天时说起，很有趣，大家也来试试：
" m1 q# o& D: P; t
. `7 D8 }3 g4 B% Y3 T" z, p. y$ F1.青蛙跳井：
   一个青蛙在井底，想要跳出去，假设永远不会向下滑，它每次跳高的距离都是上一次的一半，而且每跳一次都要休息一秒钟，那么青蛙能不能跳出井？
$ Z8 L3 S, b2 H7 i
/ q* r9 \! d9 ]0 |% R7 w) P2.阿基琉斯追不上乌龟：
2 ^! G3 _+ m5 f  N1 ^  芝诺说，如果阿基琉斯落在乌龟后面，同时起动，那么会出现这样的情况：假设初始时，阿基琉斯在A点，乌龟在B1点，经过了t1的时间，阿基琉斯到达了B1，但同样的，乌龟用t1的时间到达了B2，而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时，乌龟又用t2的时间到达了B3，而阿基琉斯到达B3时，乌龟又到了B4，如此往复，那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。
8 \  F' R. o9 c" G2 @

$ V6 b2 m1 \6 l( C% n# Y8 E+ h对第一个问题，所有的人都说“永远跳不出去”，而对第二个问题，则说“肯定追得上，因为事实就是这样”。
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于是那哥们问，为什么两个类似的问题，答案不一样？数学依据是什么？

3 y/ I5 Y' X4 G5 N% Q' E2 s6 n最后大家还是用数学模型把这个事了了，不过过程实在很有趣，社友们也来试试吧。

闲人一个OO

第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的，这个问题逻辑上很难搞定的

高进

这个问题我也想过，为什么呢追不上呢？我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒，越来越小

无能

  [, M! O# U2 k! p+ A, e" ^8 h& g
$ \" C* P8 b# @回复 长驱鬼魅 的帖子
$ R" K3 L% K+ H# V! v& Z
第一条敝人看错了，答案请见下面有大侠给出。
第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说，如果能把问题很清楚的描述出来，那么答案基本上就出来了。
我认为，芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了，如果换一种描述，就不会出现悖论，因为悖论首先就已经确定是错误的了，只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。
5 H" L3 J% k3 d2 K没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题，佩服！
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6 b  l1 L5 e1 z+ n! i5 s+ K

jsj306

9 |" f0 J; j! n4 }8 y9 U9 I第二种情况仅仅是计算上趋于无穷，实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑，一步两步就跨出去了，芝诺的算法仅仅是对这一步两步（或者这一步两步所用的时间）做细分，这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了

第一种情况就是按芝诺的算法来跑了，他算一步，青蛙就跳一步，按他这个算法永远算不完，那青蛙也就永远跳不出去

螺旋线

那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢？

无能

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( a$ f9 e0 R& N9 _
这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。
潜无穷论者认为，世界上没有真正无穷的东西，所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作，这个动作永远在进行中，永远没有终止。
; ^- t1 k4 _4 r: x7 E( @但实无穷论者认为，无穷是存在的，存在着“一下子就完成”的无穷，而非像前者那样的永远无法完成。
  j0 n  |+ o* J1 q/ c
$ h: T7 D: A1 T; W  l能体现这两个无穷争论的例子是：你从点0到点1，无论如何你要经过它们的中点，就是0.5；而你要到达0.5，也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去，由于这些中点是无穷的，所以你永远无法从0点到达1点。
) u2 e- T2 k" z; I& _1 t; }实际这就是区间(0,1)的稠密性，也就是敝贴曾经提到过的，这个区间是连续统的精髓。

! q" @8 P' B1 f你永远无法从点0到达点1，是潜无穷论者的论点，但是我们明明可以一步就从0到1，所以实无穷是存在的，证毕。
2 z* U; Y! R( A5 D集合论是承认“实无穷”的存在的。

根据我的研究发现，“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。
) Q) K* r+ h; |% }; R

metalstorm

9 r( n( g. J9 O5 N3 B) ~
问题一：青蛙是跳不出井的，只能无限接近一个极限高度，这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。

问题二：阿基琉斯只能无限接近乌龟，但永远追不上，阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么？
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无能

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) ^# q* P" Q3 e% k
$ r5 `% Z7 v1 t, Z3 x5 F: h

( M& J1 E4 b) J5 D" L" ^7 j8 z2 x, r3 V第二题，我读题发现龟兔是各跑各的，并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。

无能

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看来以己昏昏，还是不能使人昭昭啊，哈哈哈…
" h8 k( {2 g3 q0 t- P$ R# ^) m: W只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限，即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
0.9' 无限趋近于 1，但它不等于 1。
欢迎继续提出异议。
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