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关于极限和连续的两个数学问题

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发表于 2011-4-20 18:50:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
今天一哥们聊天时说起,很有趣,大家也来试试:: o8 e2 ^. M$ z  r8 O5 s. n+ X, u
9 b( q+ p! x; s( ^- h( K8 a7 [
1.青蛙跳井:
4 ^- }4 j9 g6 M6 Z' R* R   一个青蛙在井底,想要跳出去,假设永远不会向下滑,它每次跳高的距离都是上一次的一半,而且每跳一次都要休息一秒钟,那么青蛙能不能跳出井?
; s0 G% K7 [2 g0 n2 M! J9 f$ T8 f
  a- t- F2 ^4 z" W2.阿基琉斯追不上乌龟:
5 S: P  O( w( u# ~0 t9 o4 @7 c) b7 Y  芝诺说,如果阿基琉斯落在乌龟后面,同时起动,那么会出现这样的情况:假设初始时,阿基琉斯在A点,乌龟在B1点,经过了t1的时间,阿基琉斯到达了B1,但同样的,乌龟用t1的时间到达了B2,而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时,乌龟又用t2的时间到达了B3,而阿基琉斯到达B3时,乌龟又到了B4,如此往复,那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。8 F. i( ^+ g1 @2 }5 ?6 s$ e# I

5 R9 x3 S% [; S- Z
: v) S8 k/ F! V' J  h0 T1 X1 w对第一个问题,所有的人都说“永远跳不出去”,而对第二个问题,则说“肯定追得上,因为事实就是这样”。
" x7 f. d2 D! j- Z1 ?& M9 g3 [4 u6 E( J8 [9 o
于是那哥们问,为什么两个类似的问题,答案不一样?数学依据是什么?
2 I3 c; F+ i0 w# w0 N' S: W# s7 Q# R. r& U) o
最后大家还是用数学模型把这个事了了,不过过程实在很有趣,社友们也来试试吧。2 @4 s% U3 {/ ^/ A+ W' G# {: U
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发表于 2011-4-20 20:09:37 | 显示全部楼层
第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的,这个问题逻辑上很难搞定的
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发表于 2011-4-20 20:37:19 | 显示全部楼层
这个问题我也想过,为什么呢追不上呢?我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒,越来越小
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发表于 2011-4-20 20:48:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 21:47 编辑 9 F# [6 V1 G% f" B- Y/ w
/ @8 @' j  S1 q
回复 长驱鬼魅 的帖子1 I8 I; J- V! E9 g
# p; b3 {  k( p( G
第一条敝人看错了,答案请见下面有大侠给出。
. \* t3 v4 C! P: x4 `- |第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说,如果能把问题很清楚的描述出来,那么答案基本上就出来了。
/ y% ]( Y- y& F+ W! E; H我认为,芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了,如果换一种描述,就不会出现悖论,因为悖论首先就已经确定是错误的了,只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。4 W/ G& \3 h9 i! ~- U5 N
没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题,佩服!6 |- Q8 r9 U3 W6 \

% V( l5 Z* {5 ^+ A5 H

点评

兄弟们聊天时,讨论咱们啥时候能追上美国,顺手被一小子牵出这两个问题来,因为很好玩,就发上来看看大家的想法。  发表于 2011-4-21 10:08
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发表于 2011-4-20 21:05:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 编辑 4 s% _/ ?7 Y6 Y+ H+ X' K
# }& z* L( V" D2 {- H
第二种情况仅仅是计算上趋于无穷,实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑,一步两步就跨出去了,芝诺的算法仅仅是对这一步两步(或者这一步两步所用的时间)做细分,这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了4 I+ j% c- j1 M6 O2 t- ?7 m  d
( [! o4 Y. X( ^1 m+ B* X; K
第一种情况就是按芝诺的算法来跑了,他算一步,青蛙就跳一步,按他这个算法永远算不完,那青蛙也就永远跳不出去
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发表于 2011-4-20 21:10:26 | 显示全部楼层
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢?
; f4 m( ?5 W  h( ]; C+ w

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咱们把“很明显两个集合都包含元素0.9'”这句话去掉,我发现这句话完全是多余的。  发表于 2011-4-20 22:25
这个“很明显”简直是神物啊。  发表于 2011-4-20 22:11
请比较集合(0,1)与(0,1],很明显两个集合都包含元素0.9',但前者不含元素1。如果1=0.9'的话,就等于说前者包含元素1,从而得出矛盾,所以二者不等。并且,在1与0.9'之间,有无穷多个数存在——无穷就是这样违背直   发表于 2011-4-20 21:44
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发表于 2011-4-20 21:24:43 | 显示全部楼层
回复 jsj306 的帖子
/ Y! w! C* o6 O* D
: r# w2 }! n2 H3 T这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。% d" b8 f4 i0 A% |# p* v
潜无穷论者认为,世界上没有真正无穷的东西,所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作,这个动作永远在进行中,永远没有终止。
9 a0 Y! d: C% s  h- x. q9 p但实无穷论者认为,无穷是存在的,存在着“一下子就完成”的无穷,而非像前者那样的永远无法完成。
* m) Y! K# M* x3 Z1 @4 S4 }: w; i. J1 x
能体现这两个无穷争论的例子是:你从点0到点1,无论如何你要经过它们的中点,就是0.5;而你要到达0.5,也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去,由于这些中点是无穷的,所以你永远无法从0点到达1点。" q9 ]# W' R% f# L. q- p2 m* n
实际这就是区间(0,1)的稠密性,也就是敝贴曾经提到过的,这个区间是连续统的精髓。
$ ?# \) O, q  B; q- Z
7 P* ?! t! W9 t你永远无法从点0到达点1,是潜无穷论者的论点,但是我们明明可以一步就从0到1,所以实无穷是存在的,证毕。& f; J- m2 n, v+ y5 ^7 ^+ @4 s9 O
集合论是承认“实无穷”的存在的。% V( }7 i3 A! e6 y4 }" V# j

6 d2 A4 b- W& f% }# ]! T根据我的研究发现,“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。
& m( C/ d" G; `: H

点评

不可知论请baidu“支持不可知论的7个论点”。  发表于 2011-4-20 21:35
我认为不可知论是对的。因为集合论的终极结果现在已经出来了,根据哥德尔和科恩的研究发现,数学本身的对错在它之内是不可知的。我把这个结论理解为“局中对错局外知”。注:科恩的结果是有数学论文的,绝不是闲谈!  发表于 2011-4-20 21:29
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发表于 2011-4-20 21:35:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 编辑
8 x4 [$ a( F2 [2 h% g" F
; h* D( U7 m1 A问题一:青蛙是跳不出井的,只能无限接近一个极限高度,这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。
& e4 Q5 ?; U  C' C- {
; R/ Y# {+ d- B7 j1 ~% i8 n+ V# L问题二:阿基琉斯只能无限接近乌龟,但永远追不上,阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么?( T7 B4 w3 ?2 r% o# Q
% G! V& }" ^) Y7 p$ C

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点评

不,阿基琉斯和乌龟的速度一直恒定,可以看我在17楼建立的模型。  发表于 2011-4-21 10:09
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发表于 2011-4-20 22:29:11 | 显示全部楼层
回复 metalstorm 的帖子
, |5 S! P& x$ ^5 V% |) I" c9 w1 H. [. i0 g( d) d$ j" H( f$ P

) [/ n( a! r; G, X- c: O+ i+ S
$ c7 G4 z8 O2 ~% ]" i: R3 w第二题,我读题发现龟兔是各跑各的,并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。
* E' u5 }3 E  {2 h9 L

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发表于 2011-4-20 22:48:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 22:50 编辑
" A( A$ H& S' x% X" \$ ~% P' z1 O4 z# x
回复 螺旋线 的帖子
$ F, d% O0 W- V  R
0 G' [; U) C, f* Z0 P; i1 R看来以己昏昏,还是不能使人昭昭啊,哈哈哈…
, @- k# r, `! P0 M: t' ^. F/ b只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限,即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
2 F% c4 f8 H5 N& D" U: c0.9' 无限趋近于 1,但它不等于 1。) F9 V7 \$ w. A) x7 c; V
欢迎继续提出异议。6 l0 {& O- e" C  L9 C, B- f  g
& ^9 h. f- T- o
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