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关于极限和连续的两个数学问题

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发表于 2011-4-20 18:50:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
今天一哥们聊天时说起,很有趣,大家也来试试:+ A8 ?5 L8 T: I, O; N! \+ r/ V
0 h6 s0 U" O7 [
1.青蛙跳井:( I$ [0 [# |% I# j% F% ]5 ~6 x! e
   一个青蛙在井底,想要跳出去,假设永远不会向下滑,它每次跳高的距离都是上一次的一半,而且每跳一次都要休息一秒钟,那么青蛙能不能跳出井?2 L. @" N2 _6 s
5 s( @" B$ }6 a
2.阿基琉斯追不上乌龟:8 z# ?7 y# h! d9 O" U
  芝诺说,如果阿基琉斯落在乌龟后面,同时起动,那么会出现这样的情况:假设初始时,阿基琉斯在A点,乌龟在B1点,经过了t1的时间,阿基琉斯到达了B1,但同样的,乌龟用t1的时间到达了B2,而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时,乌龟又用t2的时间到达了B3,而阿基琉斯到达B3时,乌龟又到了B4,如此往复,那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。
2 }! p; J3 |( ]' r- A+ p1 y1 t) O5 Z# _  b/ w6 z
+ ^6 F" p! z9 W+ V( u
对第一个问题,所有的人都说“永远跳不出去”,而对第二个问题,则说“肯定追得上,因为事实就是这样”。) G% `4 i1 {( F5 u1 |+ o
: N- m4 Z* H, m! [# m* B
于是那哥们问,为什么两个类似的问题,答案不一样?数学依据是什么?& G& O- @0 D8 z
' i7 |  N( K- F' `7 ~& e
最后大家还是用数学模型把这个事了了,不过过程实在很有趣,社友们也来试试吧。
- V8 \2 b: q" s- |$ `
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发表于 2011-4-20 20:09:37 | 显示全部楼层
第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的,这个问题逻辑上很难搞定的
发表于 2011-4-20 20:37:19 | 显示全部楼层
这个问题我也想过,为什么呢追不上呢?我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒,越来越小
发表于 2011-4-20 20:48:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 21:47 编辑
5 [( N, p  h, F( Y7 l
4 ~2 m/ }( \7 ^+ X# B8 ?# {( A回复 长驱鬼魅 的帖子8 r3 [1 D$ A  a& U1 E0 P0 _- H$ r

' w" ?$ v9 W2 i( ?8 A, j; M第一条敝人看错了,答案请见下面有大侠给出。; c0 L  X0 {4 @
第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说,如果能把问题很清楚的描述出来,那么答案基本上就出来了。& M4 t( }* j7 ?( Q6 u
我认为,芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了,如果换一种描述,就不会出现悖论,因为悖论首先就已经确定是错误的了,只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。: P- G7 X# M$ a9 O8 X
没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题,佩服!
; X2 T/ A8 Z$ `0 r* g$ J8 [' X+ ~( G( y

点评

兄弟们聊天时,讨论咱们啥时候能追上美国,顺手被一小子牵出这两个问题来,因为很好玩,就发上来看看大家的想法。  发表于 2011-4-21 10:08
发表于 2011-4-20 21:05:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 编辑   l6 m: c) `  _( h2 W

) t! s3 l  I! D5 [: Z第二种情况仅仅是计算上趋于无穷,实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑,一步两步就跨出去了,芝诺的算法仅仅是对这一步两步(或者这一步两步所用的时间)做细分,这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了
% w6 L: c0 ~2 s( O$ D( V! Q" N8 W3 N, _- n. l* w, V
第一种情况就是按芝诺的算法来跑了,他算一步,青蛙就跳一步,按他这个算法永远算不完,那青蛙也就永远跳不出去
发表于 2011-4-20 21:10:26 | 显示全部楼层
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢?
, j  I; k1 W4 C; O/ ?& ]

点评

咱们把“很明显两个集合都包含元素0.9'”这句话去掉,我发现这句话完全是多余的。  发表于 2011-4-20 22:25
这个“很明显”简直是神物啊。  发表于 2011-4-20 22:11
请比较集合(0,1)与(0,1],很明显两个集合都包含元素0.9',但前者不含元素1。如果1=0.9'的话,就等于说前者包含元素1,从而得出矛盾,所以二者不等。并且,在1与0.9'之间,有无穷多个数存在——无穷就是这样违背直   发表于 2011-4-20 21:44
发表于 2011-4-20 21:24:43 | 显示全部楼层
回复 jsj306 的帖子
7 B; t# j  `4 ^( F& B+ Q  O0 s: L0 `$ l( F- v. c" S# }: X
这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。
9 p. }; H" r- Z: U+ K  C潜无穷论者认为,世界上没有真正无穷的东西,所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作,这个动作永远在进行中,永远没有终止。
  X8 d) G$ ?( S5 Y( C3 _5 ?但实无穷论者认为,无穷是存在的,存在着“一下子就完成”的无穷,而非像前者那样的永远无法完成。! m& c9 G. f3 {8 F

& i( H( r) }6 ]1 o* T7 w" h4 u能体现这两个无穷争论的例子是:你从点0到点1,无论如何你要经过它们的中点,就是0.5;而你要到达0.5,也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去,由于这些中点是无穷的,所以你永远无法从0点到达1点。' p# p: h, B$ {2 B
实际这就是区间(0,1)的稠密性,也就是敝贴曾经提到过的,这个区间是连续统的精髓。  u( D- I% Z+ G; P, e

. H1 {1 p0 f; B# H- ?; E你永远无法从点0到达点1,是潜无穷论者的论点,但是我们明明可以一步就从0到1,所以实无穷是存在的,证毕。" _0 D: a& J6 t, l( w4 {
集合论是承认“实无穷”的存在的。) H0 P9 ]7 Q( ?9 J/ v6 F, R
9 q& @  {2 t$ `9 z0 K* f
根据我的研究发现,“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。) e6 X0 f  ?4 w4 q

点评

不可知论请baidu“支持不可知论的7个论点”。  发表于 2011-4-20 21:35
我认为不可知论是对的。因为集合论的终极结果现在已经出来了,根据哥德尔和科恩的研究发现,数学本身的对错在它之内是不可知的。我把这个结论理解为“局中对错局外知”。注:科恩的结果是有数学论文的,绝不是闲谈!  发表于 2011-4-20 21:29
发表于 2011-4-20 21:35:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 编辑
3 |9 d4 {$ u& Y5 m- a
" F* o! j6 t! }3 r2 o+ o问题一:青蛙是跳不出井的,只能无限接近一个极限高度,这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。; ]+ q/ u9 i  {( T7 [! ~

  v  O7 t: q* R6 ^5 p" c1 i+ F问题二:阿基琉斯只能无限接近乌龟,但永远追不上,阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么?
7 w1 |  k6 p! ^; v3 z2 D, V0 m) F, U: \  K+ l' Z9 t) j% ~! P+ ^& x

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点评

不,阿基琉斯和乌龟的速度一直恒定,可以看我在17楼建立的模型。  发表于 2011-4-21 10:09
发表于 2011-4-20 22:29:11 | 显示全部楼层
回复 metalstorm 的帖子
. V- \  l' U0 I, w" E  R$ S! Q* |) R: ~  G, k5 Q- A! Z

0 v3 U1 _/ x4 s* t4 [* F
8 h, m) T% e4 ?% v9 b4 b第二题,我读题发现龟兔是各跑各的,并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。
6 D5 o) M+ e. N1 W* Q

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发表于 2011-4-20 22:48:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 22:50 编辑 8 l+ l3 d) H" B) X

' p; E7 O; X: u( c! O回复 螺旋线 的帖子. h# b( c; {) D5 d$ Q; @

/ U- [' O" D' A% L/ _看来以己昏昏,还是不能使人昭昭啊,哈哈哈…
. s9 Q- P1 U0 S! {, t/ @只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限,即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。8 @# W9 A, i, h6 }/ ]
0.9' 无限趋近于 1,但它不等于 1。
8 @1 `+ `' ~# k0 W$ r0 J% }+ r+ t欢迎继续提出异议。
# w/ g5 S( x2 z1 l; j5 [
! n# b+ }/ J* @  j1 m1 b
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