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关于极限和连续的两个数学问题

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发表于 2011-4-20 18:50:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
今天一哥们聊天时说起,很有趣,大家也来试试:
/ G; X: P# a( o% i7 F7 @
( q& Y5 @" h" W+ U  n1.青蛙跳井:: w$ m6 y) k0 }4 \. y$ o
   一个青蛙在井底,想要跳出去,假设永远不会向下滑,它每次跳高的距离都是上一次的一半,而且每跳一次都要休息一秒钟,那么青蛙能不能跳出井?
- d+ f( ^1 d2 Q( W5 H* J3 d
  s4 M! Q# }/ L7 g- Z2.阿基琉斯追不上乌龟:& `" T/ p; h& ~6 i+ y* v3 Q" V$ j
  芝诺说,如果阿基琉斯落在乌龟后面,同时起动,那么会出现这样的情况:假设初始时,阿基琉斯在A点,乌龟在B1点,经过了t1的时间,阿基琉斯到达了B1,但同样的,乌龟用t1的时间到达了B2,而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时,乌龟又用t2的时间到达了B3,而阿基琉斯到达B3时,乌龟又到了B4,如此往复,那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。
! V* z4 K& k1 T
7 q- p6 Y. O9 @) l$ W6 P; I& Z% {3 j- W: ^% s
对第一个问题,所有的人都说“永远跳不出去”,而对第二个问题,则说“肯定追得上,因为事实就是这样”。
, D' F" O  \8 a2 \0 |0 A% y, S( J0 \8 u4 v$ }3 h* Q/ S
于是那哥们问,为什么两个类似的问题,答案不一样?数学依据是什么?
0 C8 U4 {$ C0 |
" p% a5 ]/ `7 D$ s最后大家还是用数学模型把这个事了了,不过过程实在很有趣,社友们也来试试吧。
. q( Q4 e9 V, L. K4 }! M
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发表于 2011-4-20 20:09:37 | 显示全部楼层
第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的,这个问题逻辑上很难搞定的
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发表于 2011-4-20 20:37:19 | 显示全部楼层
这个问题我也想过,为什么呢追不上呢?我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒,越来越小
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发表于 2011-4-20 20:48:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 21:47 编辑
, }+ T* f6 ~9 ~4 r" o0 b% ^
' x+ c" h5 \& x. w3 p回复 长驱鬼魅 的帖子
& a3 w, d( q6 ~6 r% }0 T- T# L# o+ b: ]6 P+ r4 T" G4 l
第一条敝人看错了,答案请见下面有大侠给出。7 P1 H& J4 O+ e+ @. V4 @
第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说,如果能把问题很清楚的描述出来,那么答案基本上就出来了。
9 ]( w6 X! A3 J* s$ s' G我认为,芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了,如果换一种描述,就不会出现悖论,因为悖论首先就已经确定是错误的了,只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。
: W6 R" u" _1 J没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题,佩服!' z* T2 R4 |& @+ c/ H9 y" Z
4 W8 ~' e, V9 M, A1 Q7 G. P" j

点评

兄弟们聊天时,讨论咱们啥时候能追上美国,顺手被一小子牵出这两个问题来,因为很好玩,就发上来看看大家的想法。  发表于 2011-4-21 10:08
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发表于 2011-4-20 21:05:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 编辑
; i) d" Z6 U# N5 ?8 i0 Z0 g  C, f
8 E# z5 ]# S6 C! s, J: P9 p' h第二种情况仅仅是计算上趋于无穷,实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑,一步两步就跨出去了,芝诺的算法仅仅是对这一步两步(或者这一步两步所用的时间)做细分,这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了
- f& ?' b4 ?" |+ k9 k
$ u1 q5 T- {" \; B第一种情况就是按芝诺的算法来跑了,他算一步,青蛙就跳一步,按他这个算法永远算不完,那青蛙也就永远跳不出去
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发表于 2011-4-20 21:10:26 | 显示全部楼层
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢?
( |3 e5 x5 F$ m! R

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咱们把“很明显两个集合都包含元素0.9'”这句话去掉,我发现这句话完全是多余的。  发表于 2011-4-20 22:25
这个“很明显”简直是神物啊。  发表于 2011-4-20 22:11
请比较集合(0,1)与(0,1],很明显两个集合都包含元素0.9',但前者不含元素1。如果1=0.9'的话,就等于说前者包含元素1,从而得出矛盾,所以二者不等。并且,在1与0.9'之间,有无穷多个数存在——无穷就是这样违背直   发表于 2011-4-20 21:44
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发表于 2011-4-20 21:24:43 | 显示全部楼层
回复 jsj306 的帖子/ Z) b; F- n# `& w. J8 m

" U2 {8 l& H7 E' T% _这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。6 s" K# [4 z8 \- \# E& d
潜无穷论者认为,世界上没有真正无穷的东西,所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作,这个动作永远在进行中,永远没有终止。
. q" l9 d5 d% N6 l但实无穷论者认为,无穷是存在的,存在着“一下子就完成”的无穷,而非像前者那样的永远无法完成。
- r: r0 x7 A: D" G) \& b  S9 p; L) T1 N) ~8 u2 ?6 @
能体现这两个无穷争论的例子是:你从点0到点1,无论如何你要经过它们的中点,就是0.5;而你要到达0.5,也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去,由于这些中点是无穷的,所以你永远无法从0点到达1点。
6 x7 I3 v+ t8 u; q实际这就是区间(0,1)的稠密性,也就是敝贴曾经提到过的,这个区间是连续统的精髓。
1 ~5 X. y2 O/ f+ u; R
/ S. h+ f- _: h  Q' ?* {你永远无法从点0到达点1,是潜无穷论者的论点,但是我们明明可以一步就从0到1,所以实无穷是存在的,证毕。+ Y8 M; q% _3 U% f8 R, \0 e3 ?1 [
集合论是承认“实无穷”的存在的。; D8 j( V" E5 k. |' \
( y, |0 f$ b% I% @) R
根据我的研究发现,“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。
. W, E5 W0 E, {7 D

点评

不可知论请baidu“支持不可知论的7个论点”。  发表于 2011-4-20 21:35
我认为不可知论是对的。因为集合论的终极结果现在已经出来了,根据哥德尔和科恩的研究发现,数学本身的对错在它之内是不可知的。我把这个结论理解为“局中对错局外知”。注:科恩的结果是有数学论文的,绝不是闲谈!  发表于 2011-4-20 21:29
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发表于 2011-4-20 21:35:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 编辑 & Z  J. k5 v3 ?: }. K% K
' W& D2 D& R9 a; M3 e
问题一:青蛙是跳不出井的,只能无限接近一个极限高度,这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。. z2 a% V  k, ~  T# P

: S2 \, b$ G& F- \" z问题二:阿基琉斯只能无限接近乌龟,但永远追不上,阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么?
6 r; O# E, Z" Z+ }  V& t! z3 a3 y4 X+ R# k7 O5 D6 F7 ]) C

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不,阿基琉斯和乌龟的速度一直恒定,可以看我在17楼建立的模型。  发表于 2011-4-21 10:09
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发表于 2011-4-20 22:29:11 | 显示全部楼层
回复 metalstorm 的帖子
9 }- \2 i8 l" b; U! [+ a& M
% Z7 s4 S4 N1 g" d2 C) i2 \
. F; F6 E  d" z6 J
9 n. x0 X  S4 A9 ~% U第二题,我读题发现龟兔是各跑各的,并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。6 r( R: Z' B9 t: O; c3 ?8 o3 v& u

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发表于 2011-4-20 22:48:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 22:50 编辑 9 K2 I" t" P/ a8 e
0 k4 L9 n4 f6 L( o6 }6 Z. D
回复 螺旋线 的帖子7 \9 L3 i1 A1 t) Y1 M& F

* [7 Q6 D& m8 \$ j6 @8 d看来以己昏昏,还是不能使人昭昭啊,哈哈哈…
! u& d( e, r8 A1 _& h% c- g只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限,即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
  P+ n7 N/ p5 c' @0 c' ?0.9' 无限趋近于 1,但它不等于 1。
- R9 |! [1 C' X; R9 B欢迎继续提出异议。) j/ C: y$ n1 A! U. M+ E
. f* [& p* P3 C
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