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关于极限和连续的两个数学问题

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发表于 2011-4-20 18:50:41 | 显示全部楼层 |阅读模式
今天一哥们聊天时说起,很有趣,大家也来试试:% L7 |! b2 B/ F
  M5 N2 Z: f/ k% ]! Q2 V" F
1.青蛙跳井:
, N, |0 }/ x% g7 ]; C3 A7 X. y   一个青蛙在井底,想要跳出去,假设永远不会向下滑,它每次跳高的距离都是上一次的一半,而且每跳一次都要休息一秒钟,那么青蛙能不能跳出井?% K& |+ A% a0 |! Z" G! |
* h# @% W! w8 {$ |3 j6 Z" P
2.阿基琉斯追不上乌龟:
; C7 Q! a' Y8 G, P  V$ H! \% g" X: u  芝诺说,如果阿基琉斯落在乌龟后面,同时起动,那么会出现这样的情况:假设初始时,阿基琉斯在A点,乌龟在B1点,经过了t1的时间,阿基琉斯到达了B1,但同样的,乌龟用t1的时间到达了B2,而当阿基琉斯用t2的时间到达了B2时,乌龟又用t2的时间到达了B3,而阿基琉斯到达B3时,乌龟又到了B4,如此往复,那么阿基琉斯就永远追不上乌龟。
0 o' l, ~: L0 X8 q: }! z7 J/ v% z5 z
" @1 Q! h+ M# T6 p5 |3 r/ H% ?* i/ d2 ]; L& l
对第一个问题,所有的人都说“永远跳不出去”,而对第二个问题,则说“肯定追得上,因为事实就是这样”。
, u* U# V; Z: Z8 Z# K9 ~, o8 Z& k% f; F0 E  e) J5 }
于是那哥们问,为什么两个类似的问题,答案不一样?数学依据是什么?
' q6 j# E  [; i# J+ j1 Y7 }  N- b3 k3 Q- o! X
最后大家还是用数学模型把这个事了了,不过过程实在很有趣,社友们也来试试吧。
. W) a) c: W! b& G9 @0 o0 Z( i9 c
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发表于 2011-4-20 20:09:37 | 显示全部楼层
第二个问题我上马克思时老师拿来当例子讲的,这个问题逻辑上很难搞定的
发表于 2011-4-20 20:37:19 | 显示全部楼层
这个问题我也想过,为什么呢追不上呢?我想是由于这个时间永远不能过度到下一秒,越来越小
发表于 2011-4-20 20:48:01 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 21:47 编辑
% t+ y4 d1 D2 m2 g" l$ P. s' [1 ~  p
回复 长驱鬼魅 的帖子2 y+ N# L& C' K

. \5 Y1 _2 v; Y' Z/ ?0 L第一条敝人看错了,答案请见下面有大侠给出。
, \9 I7 Z% c; c) s' D! c, T5 ?: p3 N第二个问题本身就没有描述清楚。一般来说,如果能把问题很清楚的描述出来,那么答案基本上就出来了。9 P) |% I- J% \; U
我认为,芝诺悖论是在描述上首先就把人弄糊涂了,如果换一种描述,就不会出现悖论,因为悖论首先就已经确定是错误的了,只是因为描述上弄了手法才让人看似正确。$ [! C! j, G3 ]$ U* o8 ~8 B
没想到兄弟有雅兴钻研微积分的基础问题,佩服!2 ?( r' X! m9 m9 P
. K5 N2 D% b3 w3 Y6 y$ a

点评

兄弟们聊天时,讨论咱们啥时候能追上美国,顺手被一小子牵出这两个问题来,因为很好玩,就发上来看看大家的想法。  发表于 2011-4-21 10:08
发表于 2011-4-20 21:05:31 | 显示全部楼层
本帖最后由 jsj306 于 2011-4-20 21:07 编辑 3 d. I) G# ^8 G  a
5 ^" x, G7 [- c
第二种情况仅仅是计算上趋于无穷,实际上阿克琉斯不会按芝诺的算法来跑,一步两步就跨出去了,芝诺的算法仅仅是对这一步两步(或者这一步两步所用的时间)做细分,这就涉及到距离或时间是否无限可分的问题了
: C  [" e, Q1 V2 h' ^6 O
/ t6 F% W) a* U/ ]9 x6 ?8 @2 ^& g第一种情况就是按芝诺的算法来跑了,他算一步,青蛙就跳一步,按他这个算法永远算不完,那青蛙也就永远跳不出去
发表于 2011-4-20 21:10:26 | 显示全部楼层
那1和0.9999999999999999999999..............是否相等呢?  E. m4 ?+ K+ Y) Q

点评

咱们把“很明显两个集合都包含元素0.9'”这句话去掉,我发现这句话完全是多余的。  发表于 2011-4-20 22:25
这个“很明显”简直是神物啊。  发表于 2011-4-20 22:11
请比较集合(0,1)与(0,1],很明显两个集合都包含元素0.9',但前者不含元素1。如果1=0.9'的话,就等于说前者包含元素1,从而得出矛盾,所以二者不等。并且,在1与0.9'之间,有无穷多个数存在——无穷就是这样违背直   发表于 2011-4-20 21:44
发表于 2011-4-20 21:24:43 | 显示全部楼层
回复 jsj306 的帖子; D- x9 X. o9 [

) \7 I' N2 f) C这是“潜无穷”论者与“实无穷”论者的争论。2 ~  z1 ]7 E9 m4 P2 H  B1 C
潜无穷论者认为,世界上没有真正无穷的东西,所谓的无穷不过是描述一步接一步的动作,这个动作永远在进行中,永远没有终止。% G# ?8 V& J% a8 m7 w5 H+ r' E
但实无穷论者认为,无穷是存在的,存在着“一下子就完成”的无穷,而非像前者那样的永远无法完成。
' R2 w( Q; m) w( z: z7 e& G9 y8 n' O8 v: _1 w
能体现这两个无穷争论的例子是:你从点0到点1,无论如何你要经过它们的中点,就是0.5;而你要到达0.5,也必须先到达它们的中点即0.25……如此进行下去,由于这些中点是无穷的,所以你永远无法从0点到达1点。' w# ]% H5 p% t7 G
实际这就是区间(0,1)的稠密性,也就是敝贴曾经提到过的,这个区间是连续统的精髓。
, q6 T2 F  _4 y0 Z/ S9 j  A8 p
  h( c* {+ b# z  K# `' M你永远无法从点0到达点1,是潜无穷论者的论点,但是我们明明可以一步就从0到1,所以实无穷是存在的,证毕。- B& @  a+ S" m* q* I( S
集合论是承认“实无穷”的存在的。' a$ _& S: z2 E8 p
+ E1 B: T/ z8 @- S
根据我的研究发现,“实无穷”的论点直接就导致“不可知论”。
% m* z. O/ a/ F: g- L

点评

不可知论请baidu“支持不可知论的7个论点”。  发表于 2011-4-20 21:35
我认为不可知论是对的。因为集合论的终极结果现在已经出来了,根据哥德尔和科恩的研究发现,数学本身的对错在它之内是不可知的。我把这个结论理解为“局中对错局外知”。注:科恩的结果是有数学论文的,绝不是闲谈!  发表于 2011-4-20 21:29
发表于 2011-4-20 21:35:02 | 显示全部楼层
本帖最后由 metalstorm 于 2011-4-20 21:41 编辑 7 h+ _$ ]  ~* O- S" C6 j' q: |# {

( F4 J+ T4 q/ V# d# s问题一:青蛙是跳不出井的,只能无限接近一个极限高度,这个极限高度等于第一跳的距离乘以如下等比数列的求和极限。4 l- \/ g# ^3 J6 e5 }9 C4 o
9 L( x, p0 q5 E) Y% R7 I
问题二:阿基琉斯只能无限接近乌龟,但永远追不上,阿基琉斯的速度一直在变慢。请教楼主这个数学模型是什么?7 Y- f' q. H- H+ i$ ?7 b4 w$ `

0 r9 F( G2 P; }

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点评

不,阿基琉斯和乌龟的速度一直恒定,可以看我在17楼建立的模型。  发表于 2011-4-21 10:09
发表于 2011-4-20 22:29:11 | 显示全部楼层
回复 metalstorm 的帖子
3 ?4 s/ V0 D6 m5 S! k1 U; P% c: G1 a" C) E; W+ K
5 a1 Q; ~# }' `5 }- \$ U

( G. V8 D  n1 g+ ]$ i# @) E% i第二题,我读题发现龟兔是各跑各的,并且并未说明B3一定在B4后面。不知道原题是不是想说兔子每次都要跑到二者距离的中点。) a- w8 ]5 m* D$ E8 E# o  Q

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发表于 2011-4-20 22:48:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 无能 于 2011-4-20 22:50 编辑
: r9 K. f  n, D; Z' s1 {+ {
% T% G" ~, H6 w: b回复 螺旋线 的帖子  t: m' m) X$ F- a' }, j  ]

; T" a& @. {# ?) g看来以己昏昏,还是不能使人昭昭啊,哈哈哈…
! e. q! F$ Z' A# i3 d( \只能说 1 是无穷序列 0.9' 的极限,即 n->∞ 时 lim (1-1/10^n) = 1。
, R+ o; G; V2 m9 Y5 v$ R* ?5 F* J2 k0.9' 无限趋近于 1,但它不等于 1。
5 ?* O( g) {' d/ H& i& ~' c  e欢迎继续提出异议。! q9 G+ [6 C) c& @# _7 B/ q
; }! C6 [+ P0 z1 Y
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