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弹性力学中的一个问题

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发表于 2016-5-24 14:50:10 | 显示全部楼层
看你的思维很混乱的说。
; K" o; u* B* m7 b/ `- x: R 分清什么是切应力什么是正应力。要明白分别由什么产生。径向位移产生的弧长变化对应的是周向切应力。而周向位移对应的弧长变化对应的是周向正应力。以此类推。9 v8 A# D! W, e, L
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 楼主| 发表于 2016-5-24 15:51:21 | 显示全部楼层
zerowing 发表于 2016-5-24 14:507 X4 z& r7 B; [/ h; E
看你的思维很混乱的说。& w! f7 M% j: g( l
分清什么是切应力什么是正应力。要明白分别由什么产生。径向位移产生的弧长变化 ...
6 j. S) S( E8 f
零侠,位移是一个单元一个单元的应变叠加来的,就切出来的圆盘上的一个微小块来说,径向应变是由径向正应力引起的,环向应变是由环向正应力引起的。我没有觉得我的思维混乱,就是按照弹性理论推出来的总的环向应变,和假设位移函数V已经存在推出来的环向应变差u/r项。上楼大侠说的好,结合物理场景有助于理解数学模型,但同理在不参考物理模型,单纯按数学模型推倒,两者的最终结果应该一样。现在,我的脑子中两个结果就差一项。1 C3 \  x+ Q+ r; z% Z. Z
零侠,给俺解释一下最后一个图中总应变“u/r”这部分,按书中的方式可以理解,为什么我按照9#和10#的方式理解就少了u/r这一部分?$ X8 m- W1 X; C4 `* I" o5 Y6 v

点评

“切应变”大侠。我不知道你为啥看不到这个“切”字!切应变等于正应变?  发表于 2016-5-24 22:40
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发表于 2016-5-24 17:12:24 | 显示全部楼层
不懂的太多xx 发表于 2016-5-24 09:28
: S, j3 Z# B9 K9 q* p1 n2 l我知道按书理解可以理解,帖子中我也说明了,书中的理解方式清楚。
5 t$ \6 z. F1 b  c, T9 a咱们换一个方式,环向位移V是关于r和 ...

" L9 l/ R2 e# }; E" U1 r+ }, l因此有了是v(r,θ)vr+uθ+dθ)两点的弧长差的想法,但是这个一个是变形前的坐标参照,一个是变形后的,肯定不对。
7 o6 z% d7 l3 L. V& z6 C; Y
; V9 `  m: c) }
0 }, E) t2 X/ N1 S# L+ K
这个不是这样的,都是变形前的坐标。是v(r,θ)vr+drθ+dθ)两点弧长差,r是自变量,u是因变量,不要搞混淆了,所以不是vr+uθ+dθ。u只是位移的大小,不是坐标值。8 F* X6 n" d4 L/ ^0 I; o
- y: A1 u' d, D# u5 y1 C4 c

& h, _1 v& m- Z  M6 [; s) K& o& A% a1 ^0 z) l5 q5 P

5 d, F% `3 p) E8 u
2 ~. }4 [+ r2 {- @5 Z

3 h5 {9 W8 c  [" {- Q9 Z1 T

点评

如果同意,那就帮着解释一下9楼和10楼的问题。这个是我现在解释不通的。为什么按照a点和d点的坐标带入位移函数,结果只包含偏函数,而没有u/r?  发表于 2016-5-24 20:15
我只所以用r+u,此时只是把他看出a点的径向位移,是一个数值,变形后c点的坐标就是r+u。这个暂不讨论。大侠,我就提两个问题看你是否同意。1.位移函数是关于坐标的函数;2.函数中的坐标是变形前也就是原始坐标  发表于 2016-5-24 20:11
d点原始坐标并不是r+dr,可以看书。现在探讨的是ad的弧长,而不是a点和c点之间的差,c点的原始坐标才是r+dr,你可以仔细看书。原始,a点和d点在一样的曲率圆内,怎么会出现不同的r坐标。  发表于 2016-5-24 20:00
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发表于 2016-5-24 22:57:38 | 显示全部楼层
不懂的太多xx 发表于 2016-5-24 15:51  _, e: J. T7 e6 r' B
零侠,位移是一个单元一个单元的应变叠加来的,就切出来的圆盘上的一个微小块来说,径向应变是由径向正应 ...
+ ]) [, y$ c; K4 K% L' \' h% b
这样回复你吧。
. N+ r- Q+ ?& ]1。V函数是周向位移,周向位移必然伴随夹角的变化,以及由此产生的部分切应变。
- y, T" K( s; a3 S% b2。U函数是径向位移。径向位移不产生夹角变化,即不产生V变化。在极坐标系中,径向位移产生第二部分的切应变。% d1 C9 s  g, l
3。研究总切应变不可能只靠一个V函数解算。所以,我一直都搞不懂你为啥揪着个V不放,却一直不理U函数。
- `; Z; s( ~: N% i1 x+ V所以,我始终没有看到你说的矛盾点。你只考虑V影响,自然不会有u/r的相。
% `6 b9 Q0 B4 G
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发表于 2016-5-24 23:05:29 | 显示全部楼层
本帖最后由 zerowing 于 2016-5-24 23:08 编辑 # r$ J" O4 r( S8 F9 f
# }$ k) l- \4 l9 p4 l/ \
再回答你10楼的问题。; @! K# e& ^9 I4 f: A( {8 B
如果你10楼里的V函数是一个综合函数,不是分量函数(不是单纯的周向位移函数),如你写的 V=v(r,θ)。那么最终位移之后的a,d坐标会是r? 一定是r+u。$ y9 n: F$ l* H  r0 n1 [' z
  }" `7 C' h0 \% i5 b: n) k; a
而如果你的V函数是分量函数,比如周向函数,那么V=v(θ)。跟r是毫无关系的。你这么写这个函数本身就有问题了。
) Z6 p- U# k- D+ Q# f, f7 I' N" _" ?$ T/ D7 I$ i" O/ R; \2 R& V, d2 f
这么说能否清楚?
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 楼主| 发表于 2016-5-24 23:24:38 | 显示全部楼层
zerowing 发表于 2016-5-24 22:57
+ |+ h( _4 Y; j$ B' W+ p5 P这样回复你吧。3 p: l9 H/ E4 Y! f. X' r2 V, ]$ n
1。V函数是周向位移,周向位移必然伴随夹角的变化,以及由此产生的部分切应变。
3 n# ^5 x3 w  U0 ~* z* m# f2。U函 ...
# F1 x  i! h8 W2 H( O2 X- x' J2 Z
零侠,感谢这么晚还回复我。: x# ?: S8 k! ?
你和云侠说的意思是一样的,跟书上的解说方式一模一样,我都能看懂和理解。. d( {. J. y( R
首先是你假设的v只与sita角相关,与r不相关,用v(r,sita)表示有问题。我觉得没问题,v(r,sita)包含v(sita),若一种方法能够处理前者,那么必然能够处理后者。3 o9 v, O( \6 N: @. n+ w  i

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加我q吧。6353325,验证是你的名字。  发表于 2016-5-24 23:51
你考虑应变,用原始坐标。考虑位移必然不是原始坐标。  发表于 2016-5-24 23:49
为什么是原始坐标?  发表于 2016-5-24 23:49
v函数是包含r和sita两个自变量的二元函数,而这个r和sita是什么时候的坐标?原始坐标,原始坐标a点和d点的半径坐标都是r,角度坐标相差dsita。这两个点原始坐标就只有角度坐标发生了变化  发表于 2016-5-24 23:47
或者多说一句。常用坐标系中,几个分量之间一定存在垂直关系。以此保证各变量间的互不干涉。  发表于 2016-5-24 23:43
你可以用一个综合函数只改变其中一个参量的方式求解分量函数的情况。但你这个题的涉及到两个参量的问题,所以,不能只变一个参量。就是这样。  发表于 2016-5-24 23:40
你觉得呢?大侠?极坐标表示是半径加旋转角。  发表于 2016-5-24 23:38
包含两个变量就一定是综合函数,a的坐标移动必然伴随二者的同时发生。包含一个变量就是分量函数,就只有一个参量改变。  发表于 2016-5-24 23:38
周向位移函数只是sita的一元函数?  发表于 2016-5-24 23:37
我前面回复的时候说了。要看你的V是综合函数还是分量函数。那完全是两个意思  发表于 2016-5-24 23:37
对,咱们暂时不管是笛卡尔还是极坐标或是其他,就针对这个极坐标来说,最后可以算出应力函数,同样也就能算出来v和u函数,就单从函数角度来说,v函数的自变量是不是只有r和sita?  发表于 2016-5-24 23:34
说到这儿,我发现你的问题不是弹性力学本身的问题。是坐标系的数学问题。  发表于 2016-5-24 23:33
这就好像笛卡尔系里,你的分量函数X中不能写Y一样。  发表于 2016-5-24 23:32
极坐标系中,你的周向函数不可能含有r,就是这样。  发表于 2016-5-24 23:31
V跟什么有关,跟你选定的坐标系是直接联系的。  发表于 2016-5-24 23:30
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发表于 2016-5-25 08:55:15 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 17:12+ P2 ^$ Q2 _, G" ?% C0 j/ w* W
因此有了是v(r,θ)和v(r+u,θ+dθ)两点的弧长差的想法,但是这个一个是变形前的坐标参照,一个是变形 ...

, P6 e. D2 a& Y# a" p3 a4 w假设环向位移函数V=v(r,θ),分别带入d点和a点的坐标,那么d点处的环向位移Vd=v(r,θ+dθ),a点处的环向位移Va=v(r,θ)。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ),应变ε=δ/r
9 j9 _' x3 T2 r! W  k, Sδ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=(v对θ的偏导数)*dθ(帖子中打不出来偏导数符号,我就暂时用Χ表示该偏导数)=Χ
. @& j- M' x+ Q3 C: N6 \8 n- ]那么总应变ε=Χ/r,其中并不包括u/r。
  u9 g3 [6 @; x$ M
# h& `9 h9 p! S  T: N* C) u
楼主这个求的就不是总应变,你这个首先就嘉定了r是常量,而不是变量,这只是切向位移引起的应变。就好像是a和d点沿着半径为r 的圆弧移动(切向位移),实际的运动还包含径向位移(引起应变u/r)。楼主要有自变量和因变量思维。r和θ都是自变量,u和v是因变量。不要将u和搞混,如果你学过流体力学就更有物理场景的理解,所以原始坐标,就是做标记用的。流体中有些粒子就是自由迁移的,固体中的粒子还好,变形前后都是挨着在一起,移动到某一个点就是变形前某一个粒子的初始点,这是重叠的,不要搞混。关键是要变形前后,两个相同粒子之间的位移差,而不是同一个粒子变形前后的位移差。楼主的r+u就是同一个粒子从r移动了u。我暂且认为楼主是这样搞混的
* B5 l  Z7 ~& w7 j$ E
$ H+ s  g  S! e7 J3 }/ @

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物理场景帮助理解数学模型,但是即使不借助物理模型推导出来的数学模型也应该与此一致。  发表于 2016-5-26 00:02
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发表于 2016-5-25 08:56:51 | 显示全部楼层
数学推导过程
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发表于 2016-5-25 09:00:51 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-25 08:56
) s/ O* [' N( M. W0 M5 x2 R数学推导过程
# o0 c# i' L5 _' d+ S/ p& l

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点评

以上两组等式的来源,没有数学依据a点的环向位移已经给出是v,怎么就等于ad弧长了?相同对于另一组  发表于 2016-5-25 23:58
(r+u)dsita表示的是变形后ad的弧长,两者怎么就相等了?  发表于 2016-5-25 23:56
首先,v(r,sita)是a点的环向位移,r dsita 是ad段的原始弧长,你确定相等?第二v(r+dr,sita)表示的是b点的位移  发表于 2016-5-25 23:54
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发表于 2016-5-26 08:48:41 | 显示全部楼层
2 a' B! J- D/ l) V' ^3 G9 s
v(r,sita)是a点的环向位移,r dsita 是ad段的原始弧长,讨论的不是相等,二是两者之间的差相等,看来楼主还是没有明白。两个点变形后的位移差,就是等于两个点变形后的长度,减去变形前的长度,变形前dθ很小,a,d之间的环向距离就是rdθ,楼主应该清楚推导过程的dr和dθ都是无穷小量。甚至一些高阶小量都会省去,比如(r+dr)dθ,这个时候rdθ比drdθ高一阶,drdθ就可以忽略。这些楼主应该清楚,我也没有特意强调。
9 e  p" m: ~  ~2 ?* A7 @
# C4 M2 D- r2 u! J
我觉得我这个讲的很清楚了,包括前面的帖子也强调了。关键是两个点变形前后的位移差。单个点的v是没有意义的,二是两个点v的差,而两个点v的差。v(r,θ)是不等于rdθ,v(r+dr,θ)也不等于(r+u)dθ,而是v(r+dr,θ)和v(r,θ)的差,是等于(r+u)dθ与rdθ的差。推导偏导数的过程也是强调这个时候θ是常量,旁边也画了个图,做说明
4 F3 k1 [- j4 \) t) x' e/ r7 J( U- b0 k

5 c* ~6 p( G4 O; s" `5 @  |7 _
1 P  P) Z" ^/ j% s; Z
! V# J: z# i1 u$ E9 }9 Z; k
楼主自己再多思考思考,脑子里要有物理场景,也要知道这个时候的dr和dθ都是非常小的。这个本来就是基本的公式,我觉得我已经讲的比较清楚了。书中是从仅径向和仅环向两者单独推导再综合的,这个是为了简单明了,而位移是可以分解的,可以认为变形是先径向移动,再环向移动。跟路径无关,但最终的变形是一样的。而将径向位移和环向位移同时考虑进来,画图出来就不直白。$ i6 ^' O1 }! ?3 |/ }: i0 Q
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点评

稍后我会发出来,大侠可以给找找错  发表于 2016-5-26 14:02
我已经从应变的最初定义和位移向量证明出来了,我也找出来了我纠结的点,我对这几个函数理解的也更深了  发表于 2016-5-26 14:01
dsita趋向于0,最终也就是一个点,导数和偏导数的定义就是一个店  发表于 2016-5-26 13:58
还有单个点的位移是有意义的,有限元的节点位移就是单个点的。  发表于 2016-5-26 13:56
云侠,你的思路我非常清楚,我现在是不考虑物理场景单纯数学推导出来,大侠的思路还是依靠物理场景  发表于 2016-5-26 13:55
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