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弹性力学中的一个问题

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发表于 2016-5-23 17:12:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
这两天重温弹性力学,又把之前没解决的问题给想起来了,连着三四天自己没法给出解释,陷进黑洞自己出不来了,睡觉都不香了,现在求大侠抽醒。
; N. ~, a7 d! l" _) M/ g* I极坐标下的应变问题,
2 l% N$ s$ T7 U: R+ p, _图中的这个环向的应变,大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科,照书的方式理解没有问题。
& `3 @* E; W) h但就我自己想,想出问题来了。位移函数vrθ的函数,a点的环向位移va=v(r,θ)d点的环向位移vd=vrθ+dθ),dv按第二个图。
  ^% d9 V- q( O% n3 Z0 x, m 1 `1 [6 [( Z5 ~- s7 G
这建立在位移函数的rθ的两个变量是没有变形前的坐标,在没有变形前a的坐标就是(r,θ)d点的坐标就是(rθ+dθ),两点的变化只有的变化。/ `( Q8 T3 @# P1 A8 l! S
- d2 }3 G, s$ Z% S0 d
难道是我认识出错误了,位移函数是变形后的坐标?既如此,dv应该是第三个图。+ o- }, L. _. s% w& E6 a2 d4 f
$ W4 O* b1 ?' J3 K4 `
也是没有v/r项。
( w2 L: Q5 B4 s) p+ F ) G! W5 t% K% U5 a' o
照书中理解,这个环向位移是坐标点v(r,θ)vr+uθ+dθ)俩点引起的弧长差,这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标,一个是变形后的圆盘d点的坐标。
, i6 w* z; X0 i# P4 c- y( X9 A( b+ c * k6 r7 n& E8 w6 k; P3 J0 v8 S
矛盾点是,单从函数v(r,θ)上说,无论rθ表示的是变形前圆盘定的坐标,还是变形后圆盘定的坐标,dv都没有v/r,除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。
8 d$ i7 N/ w" }; j
- J% H- G7 x/ D: u7 {* Q! E5 I  Y/ O, Q4 t& G: g2 ^
补充内容 (2016-5-24 09:00):0 _& }: D3 U! p8 ]7 B
发帖,错把u/r打成v/r。
+ ]1 A$ x6 d, A! ]4 {' v& _' c% o& M  {6 ]; D" s, g/ z
补充内容 (2016-5-27 12:31):
$ J( w$ p+ n& y8 }! J纠结已经解决

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发表于 2016-5-23 18:56:21 | 显示全部楼层
照书中理解,这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v(r+u,θ+dθ)俩点引起的弧长差,这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标,一个是变形后的圆盘d点的坐标。/ y  V  x/ P* R: a7 O2 u0 _6 K( E
8 O, ~' E9 {+ O' B4 {, x! Q
你这个就理解错误了,没弄懂书中意思。环向位移是v(r,θ)和v(r,θ+dθ)两点变形后的弧长差。
, r3 Z) Z/ o% F0 O8 N) ~. @% k5 e2 m, J* F+ y5 |, r
位移函数是变形后的坐标?这个你也理解错了,位移函数描述的是变形的大小,跟变形后的坐标没有关系,要有关系也是一个点变形后的坐标是原始坐标加上位移函数的值" C8 m9 A- y( d  o

点评

大侠,假设环向位移函数已经知道,自己写一下v(r+d Sita)和v(r,Sita)的两点的差值。是否有v/r?  发表于 2016-5-23 19:29
我没有说是变形后的坐标,只是我发现原始坐标推出来不对,就试着推一下变形后坐标的结果还是不对。好像大侠没看到我的矛盾点,书上的我理解。  发表于 2016-5-23 19:26
好,是原始坐标,就是打网格还没加载荷的时候。这个时候,a点坐标是(r,sita),d点是(r, Sita+d Sita),请写出a点处的位移函数偏导数,v(r,Sita+d Sita)-v(r,Sita)这是应变,从偏导数推出来,写一下是否有v/r?  发表于 2016-5-23 19:23
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发表于 2016-5-24 08:42:19 | 显示全部楼层
两点的长度变化是dv,原始长度是rdθ,所以只有环向位移引起的应变为dv/rdθ,不知道楼主纠结的v/r,在哪里出现?
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发表于 2016-5-24 08:46:50 | 显示全部楼层
如果是图上的v/r,这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

点评

坐标,a点坐标为(r,θ),d点坐标为(r,θ+dθ)。假设v函数已经知道,那么v(r,θ+dθ)-v(r,θ)就是环向增长量,这个只有偏导数部分,导出来的应变也只是书中的后半部分。而u/r部分就设计不到。  发表于 2016-5-24 08:59
看书,总的切向应变包括两部分u引起的部分:u/r(不好意思,ipad发帖,错把v打成u了);和v引起的部分就是偏导数部分。那这u/r部分,按照书的理解是可以理解的。但是,我自己想的,v是r和θ的函数,而r和θ是原始  发表于 2016-5-24 08:56
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发表于 2016-5-24 08:55:05 | 显示全部楼层
v/r只是表示每一个点的角度位移,就是说,每个点移动了多少度。v=2πr,说明一个点旋转了一周,楼主说过的 v/r”这部分应变问题,理解就错了,这不是应变。跟径向应变一样,要求的是两点变形前后的长度差,而不是一个点的位移,如果两个点同时位移为du,应变就是0。不要将位移和应变混为一谈。比如刚体位移,就没有应变。

点评

我错把u/r打成v/r了。看图片中,总的切向应变公式其中有u/r项,你说的这些我都理解。  发表于 2016-5-24 09:02
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发表于 2016-5-24 09:03:14 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 08:464 Y: W/ `$ ]1 w; w4 g0 o! ~
如果是图上的v/r,这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

2 }% X( e! Z, V. ?* I% Iu/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点之间的弧长,不就是(r+u)dθ,而原来两点之间的弧长是rdθ,所以应变是两者之间的差值再除以rdθ,就是u/r) Q* w  Y) {+ e- _, g4 F
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发表于 2016-5-24 09:13:01 | 显示全部楼层
楼主要用物理场景来理解,有物理场景,能更好的理解数学推导过程。这个极坐标应变应该是很好理解的。你说的u/r。就想象是一个固定顶角(dθ)的三角形,而三角形的底边在向外移动的过程(就是u增大),是不是底边会不断拉长,应变不断增大
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发表于 2016-5-24 09:15:25 | 显示全部楼层
底边不断拉长,应变不断增大。就是切向应变不断增大。三角形的底边长就是切向的长

点评

大侠,书中的理解方式我非常的理解,这个可以不用讨论,现在是我自己的别的理解跟这个产生可冲突,大侠仔细看看下楼我的说明。  发表于 2016-5-24 09:30
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 楼主| 发表于 2016-5-24 09:28:19 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 09:03
) g8 g2 r( ^$ h, E2 c( g4 W& v# Pu/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点 ...

0 b" L: e3 l* o我知道按书理解可以理解,帖子中我也说明了,书中的理解方式清楚。! `* K6 e3 z0 Y: i
咱们换一个方式,环向位移V是关于r和θ的函数,r和θ是原始坐标(没有加载荷的时候)。经过平衡条件、边界条件、相容条件,我们可以把应力函数和位移函数都推导出来,关于r和θ的函数(注意,r和θ是原始坐标)。+ h* f5 s3 b& v
假设环向位移函数V=v(r,θ),分别带入d点和a点的坐标,那么d点处的环向位移Vd=v(r,θ+dθ),a点处的环向位移Va=v(r,θ)。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ),应变ε=δ/r
+ x3 f% V4 i/ K" `8 s' eδ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=(v对θ的偏导数)*dθ(帖子中打不出来偏导数符号,我就暂时用Χ表示该偏导数)=Χ, k6 {; ]2 e; i
那么总应变ε=Χ/r,其中并不包括u/r。
' r/ S6 N# m; ^" ^这是建立在r和θ原始坐标,假设位移函数V情况下,从偏导数定义推出来的。
/ g6 b) n. ]) F( P因此,这个时候我就假设的把V看成是r和θ变形后的函数,这样推出来也不对。(帖子中的第二步)8 `0 D4 T; h, w4 s$ z
若想包括u/r这一项,单独的从环向位移函数V的偏导数中我找不出来,我就试一下全微分,因此有了是v(r,θ)vr+uθ+dθ)两点的弧长差的想法,但是这个一个是变形前的坐标参照,一个是变形后的,肯定不对。这就是我现在的矛盾点,脑子绕在这里出不来了。
+ ^# Z/ `8 s" i* d  z# Y8 K不知道大侠看懂我的矛盾点了没?
! L2 ?4 D$ g& D4 [& u* f
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 楼主| 发表于 2016-5-24 09:48:07 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 09:03
) L! }4 L) B) [0 W) T1 Qu/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点 ...
9 ]# W4 W# ]8 R8 l2 w: {8 y4 E8 K
再补充一下,我们知道一个函数V=v(r,θ),这个函数表示的是位移,现在求a点(r,θ)和d点(r,θ+dθ)两点的位移,怎么求?带进去,分别是v(r,θ)和v(r,θ+dθ)  [1 v+ Z$ T4 d  C4 Q
那这两点的函数之差(位移之差)怎么求?v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=Χdθ。。。。。Χ表示v对θ的偏导数
+ L- h* ~3 _2 q) x这个位移之差是什么?变形量δ  }3 Y0 W: ?9 |4 Q; m2 k
应变ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r项。
3 h; ~3 c" h) m / c) U4 A! P+ R+ r: ^+ `
这是在已知函数V的情况下5 D3 _! k" a4 ^3 R
# |3 y$ S" H4 ^. H+ G% m
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