机械社区

 找回密码
 注册会员

QQ登录

只需一步,快速开始

搜索
查看: 6331|回复: 61

弹性力学中的一个问题

[复制链接]
发表于 2016-5-23 17:12:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
这两天重温弹性力学,又把之前没解决的问题给想起来了,连着三四天自己没法给出解释,陷进黑洞自己出不来了,睡觉都不香了,现在求大侠抽醒。% l/ j  v1 _+ ~4 R1 Q+ u6 `6 {! p
极坐标下的应变问题,
7 T% x4 P  S8 T" B: |0 D图中的这个环向的应变,大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科,照书的方式理解没有问题。8 d! @$ x. R' S9 H. w
但就我自己想,想出问题来了。位移函数vrθ的函数,a点的环向位移va=v(r,θ)d点的环向位移vd=vrθ+dθ),dv按第二个图。' `% F/ S' k; V/ m0 n% X/ u: T# S$ X
9 t$ E# R- m. M+ d* |( b
这建立在位移函数的rθ的两个变量是没有变形前的坐标,在没有变形前a的坐标就是(r,θ)d点的坐标就是(rθ+dθ),两点的变化只有的变化。+ `8 A+ R4 O! {1 Z: T& O8 \3 `+ u
9 V, O, `6 }, {; x& `" A' m, i
难道是我认识出错误了,位移函数是变形后的坐标?既如此,dv应该是第三个图。
4 G6 W0 D3 z& B1 m   [& K! ]) [1 w4 b  y5 L
也是没有v/r项。
7 e* B0 K1 q4 d6 }% K  I# C
" ?" l8 ~* Q$ w8 X照书中理解,这个环向位移是坐标点v(r,θ)vr+uθ+dθ)俩点引起的弧长差,这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标,一个是变形后的圆盘d点的坐标。7 v4 i4 j: f9 T- \% ?0 ^

& N( n0 B# o* |6 M/ T矛盾点是,单从函数v(r,θ)上说,无论rθ表示的是变形前圆盘定的坐标,还是变形后圆盘定的坐标,dv都没有v/r,除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。8 e4 G. }! V; [% M, E
4 c9 ]3 @$ x, s- O0 ]2 v2 Y
; ~$ {3 r, `0 J
补充内容 (2016-5-24 09:00):
- i  o4 F. C% x* S! h# x+ F发帖,错把u/r打成v/r。
  O. y+ P2 Z# g$ M+ X! Z
; J! Y0 @7 E# y+ t: |补充内容 (2016-5-27 12:31):1 U: H, e) B$ Q. [4 l" ^+ ~4 A, I
纠结已经解决

本帖子中包含更多资源

您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册会员

x
回复

使用道具 举报

发表于 2016-5-23 18:56:21 | 显示全部楼层
照书中理解,这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v(r+u,θ+dθ)俩点引起的弧长差,这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标,一个是变形后的圆盘d点的坐标。$ T2 d4 P9 S; w, X  v) e

7 H& K, k: r& k你这个就理解错误了,没弄懂书中意思。环向位移是v(r,θ)和v(r,θ+dθ)两点变形后的弧长差。
; B) k- [9 o9 ^% {  I/ O
) d" u  N3 c: A位移函数是变形后的坐标?这个你也理解错了,位移函数描述的是变形的大小,跟变形后的坐标没有关系,要有关系也是一个点变形后的坐标是原始坐标加上位移函数的值3 d* g% `  z) g: ~. [

点评

大侠,假设环向位移函数已经知道,自己写一下v(r+d Sita)和v(r,Sita)的两点的差值。是否有v/r?  发表于 2016-5-23 19:29
我没有说是变形后的坐标,只是我发现原始坐标推出来不对,就试着推一下变形后坐标的结果还是不对。好像大侠没看到我的矛盾点,书上的我理解。  发表于 2016-5-23 19:26
好,是原始坐标,就是打网格还没加载荷的时候。这个时候,a点坐标是(r,sita),d点是(r, Sita+d Sita),请写出a点处的位移函数偏导数,v(r,Sita+d Sita)-v(r,Sita)这是应变,从偏导数推出来,写一下是否有v/r?  发表于 2016-5-23 19:23
回复 支持 1 反对 0

使用道具 举报

发表于 2016-5-24 08:42:19 | 显示全部楼层
两点的长度变化是dv,原始长度是rdθ,所以只有环向位移引起的应变为dv/rdθ,不知道楼主纠结的v/r,在哪里出现?
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2016-5-24 08:46:50 | 显示全部楼层
如果是图上的v/r,这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

点评

坐标,a点坐标为(r,θ),d点坐标为(r,θ+dθ)。假设v函数已经知道,那么v(r,θ+dθ)-v(r,θ)就是环向增长量,这个只有偏导数部分,导出来的应变也只是书中的后半部分。而u/r部分就设计不到。  发表于 2016-5-24 08:59
看书,总的切向应变包括两部分u引起的部分:u/r(不好意思,ipad发帖,错把v打成u了);和v引起的部分就是偏导数部分。那这u/r部分,按照书的理解是可以理解的。但是,我自己想的,v是r和θ的函数,而r和θ是原始  发表于 2016-5-24 08:56
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2016-5-24 08:55:05 | 显示全部楼层
v/r只是表示每一个点的角度位移,就是说,每个点移动了多少度。v=2πr,说明一个点旋转了一周,楼主说过的 v/r”这部分应变问题,理解就错了,这不是应变。跟径向应变一样,要求的是两点变形前后的长度差,而不是一个点的位移,如果两个点同时位移为du,应变就是0。不要将位移和应变混为一谈。比如刚体位移,就没有应变。

点评

我错把u/r打成v/r了。看图片中,总的切向应变公式其中有u/r项,你说的这些我都理解。  发表于 2016-5-24 09:02
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2016-5-24 09:03:14 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 08:468 J: ?7 u' A* S, U; d. t
如果是图上的v/r,这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v
$ D6 V6 X- A( t8 e1 e8 u" t& q6 t4 Y: {
u/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点之间的弧长,不就是(r+u)dθ,而原来两点之间的弧长是rdθ,所以应变是两者之间的差值再除以rdθ,就是u/r
5 o" X8 q2 s3 F! p' a3 B$ l' l, _
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2016-5-24 09:13:01 | 显示全部楼层
楼主要用物理场景来理解,有物理场景,能更好的理解数学推导过程。这个极坐标应变应该是很好理解的。你说的u/r。就想象是一个固定顶角(dθ)的三角形,而三角形的底边在向外移动的过程(就是u增大),是不是底边会不断拉长,应变不断增大
回复 支持 反对

使用道具 举报

发表于 2016-5-24 09:15:25 | 显示全部楼层
底边不断拉长,应变不断增大。就是切向应变不断增大。三角形的底边长就是切向的长

点评

大侠,书中的理解方式我非常的理解,这个可以不用讨论,现在是我自己的别的理解跟这个产生可冲突,大侠仔细看看下楼我的说明。  发表于 2016-5-24 09:30
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2016-5-24 09:28:19 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 09:03
; {8 Q' z5 H- Y" B( y! T  zu/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点 ...

) O' A: M2 Z* E8 }* t( Z9 l( F我知道按书理解可以理解,帖子中我也说明了,书中的理解方式清楚。9 q  V9 ^2 M4 E  r, o0 l
咱们换一个方式,环向位移V是关于r和θ的函数,r和θ是原始坐标(没有加载荷的时候)。经过平衡条件、边界条件、相容条件,我们可以把应力函数和位移函数都推导出来,关于r和θ的函数(注意,r和θ是原始坐标)。
+ w+ P, C( S; x0 y假设环向位移函数V=v(r,θ),分别带入d点和a点的坐标,那么d点处的环向位移Vd=v(r,θ+dθ),a点处的环向位移Va=v(r,θ)。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ),应变ε=δ/r6 c4 z  j! i% H, g: I2 }
δ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=(v对θ的偏导数)*dθ(帖子中打不出来偏导数符号,我就暂时用Χ表示该偏导数)=Χ1 r( `" R$ I$ {/ x
那么总应变ε=Χ/r,其中并不包括u/r。
& v7 T. c( Y  ?1 J+ G' G这是建立在r和θ原始坐标,假设位移函数V情况下,从偏导数定义推出来的。
% M. e& O& X1 \" U( c因此,这个时候我就假设的把V看成是r和θ变形后的函数,这样推出来也不对。(帖子中的第二步)
* J  ?8 u8 W9 N% P5 W若想包括u/r这一项,单独的从环向位移函数V的偏导数中我找不出来,我就试一下全微分,因此有了是v(r,θ)vr+uθ+dθ)两点的弧长差的想法,但是这个一个是变形前的坐标参照,一个是变形后的,肯定不对。这就是我现在的矛盾点,脑子绕在这里出不来了。, E) O5 Z) Z( P
不知道大侠看懂我的矛盾点了没?5 J  {6 c; L8 Q; I; t
回复 支持 反对

使用道具 举报

 楼主| 发表于 2016-5-24 09:48:07 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 09:03' j- x3 ?/ Y, {- |! Q
u/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点 ...
0 p* F( I. K& O4 D5 G
再补充一下,我们知道一个函数V=v(r,θ),这个函数表示的是位移,现在求a点(r,θ)和d点(r,θ+dθ)两点的位移,怎么求?带进去,分别是v(r,θ)和v(r,θ+dθ)
# ?3 N& p" B4 H1 O那这两点的函数之差(位移之差)怎么求?v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=Χdθ。。。。。Χ表示v对θ的偏导数
) W2 c+ O9 S& p这个位移之差是什么?变形量δ  B- Q$ X1 h# L  ^* _
应变ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r项。& F$ O/ C4 ~- b+ ^  X2 {2 Y

1 |9 w7 c  I% Y  f这是在已知函数V的情况下
0 k' H- D) T; \6 |
" X) R0 p2 F# N% }" b( |
回复 支持 反对

使用道具 举报

您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册会员

本版积分规则

小黑屋|手机版|Archiver|机械社区 ( 京ICP备10217105号-1,京ICP证050210号,浙公网安备33038202004372号 )

GMT+8, 2025-4-4 10:11 , Processed in 0.076703 second(s), 16 queries , Gzip On.

Powered by Discuz! X3.4 Licensed

© 2001-2017 Comsenz Inc.

快速回复 返回顶部 返回列表