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弹性力学中的一个问题

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发表于 2016-5-23 17:12:49 | 显示全部楼层 |阅读模式
这两天重温弹性力学,又把之前没解决的问题给想起来了,连着三四天自己没法给出解释,陷进黑洞自己出不来了,睡觉都不香了,现在求大侠抽醒。3 q1 ~5 o  U! \4 l
极坐标下的应变问题,3 e7 o% F! y; o
图中的这个环向的应变,大侠们肯定都知道。现在就是前面"v/r”这部分应变问题。照本宣科,照书的方式理解没有问题。
( Q5 i1 J  ^; L- X) ]3 |7 r7 j但就我自己想,想出问题来了。位移函数vrθ的函数,a点的环向位移va=v(r,θ)d点的环向位移vd=vrθ+dθ),dv按第二个图。/ q. h  j* ?6 x
0 J6 C3 y' ^* V1 n- b+ ~
这建立在位移函数的rθ的两个变量是没有变形前的坐标,在没有变形前a的坐标就是(r,θ)d点的坐标就是(rθ+dθ),两点的变化只有的变化。
  H6 [+ Y* |# [9 {+ `7 _
2 f! l; {3 C  ?/ w: h/ d难道是我认识出错误了,位移函数是变形后的坐标?既如此,dv应该是第三个图。* r1 \4 n) m* L) i- i- g
* b" m& W3 j1 k$ ^+ v( l; B
也是没有v/r项。( `! _1 H7 f  m) E- m/ r

+ v$ _3 s& x2 o# O/ Z0 C% B照书中理解,这个环向位移是坐标点v(r,θ)vr+uθ+dθ)俩点引起的弧长差,这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标,一个是变形后的圆盘d点的坐标。
( _- K# D1 a# R, ~  O 1 u# @) i3 W  p- @: G" j/ c* y
矛盾点是,单从函数v(r,θ)上说,无论rθ表示的是变形前圆盘定的坐标,还是变形后圆盘定的坐标,dv都没有v/r,除非一个是变形后的坐标一个是变形前的坐标。求大侠把我从牛角尖里拉出来。, T  b1 j& M  A2 o% f2 u$ G

8 P5 N* Y# W# t2 x
# N" Q' l, E& R. M5 D8 F2 a补充内容 (2016-5-24 09:00):
4 c$ B# f4 B; ?8 ^& A" z2 }发帖,错把u/r打成v/r。0 x) X1 D0 m* J$ a$ Q1 Z- j& i$ m+ ^

9 R4 b0 O: O, P, c# ]补充内容 (2016-5-27 12:31):" F4 I- M* ?! k
纠结已经解决

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发表于 2016-5-23 18:56:21 | 显示全部楼层
照书中理解,这个环向位移是坐标点v(r,θ)和v(r+u,θ+dθ)俩点引起的弧长差,这两个坐标一个是变形前的圆盘a的坐标,一个是变形后的圆盘d点的坐标。
$ {, m1 E' _. Y$ `, H  i& O( j; |
你这个就理解错误了,没弄懂书中意思。环向位移是v(r,θ)和v(r,θ+dθ)两点变形后的弧长差。
$ a& ]% y; Z, c3 `
6 O' _  T, S4 ~: j. h4 ^位移函数是变形后的坐标?这个你也理解错了,位移函数描述的是变形的大小,跟变形后的坐标没有关系,要有关系也是一个点变形后的坐标是原始坐标加上位移函数的值* o4 _6 H4 h( p% Q9 r; }: \

点评

大侠,假设环向位移函数已经知道,自己写一下v(r+d Sita)和v(r,Sita)的两点的差值。是否有v/r?  发表于 2016-5-23 19:29
我没有说是变形后的坐标,只是我发现原始坐标推出来不对,就试着推一下变形后坐标的结果还是不对。好像大侠没看到我的矛盾点,书上的我理解。  发表于 2016-5-23 19:26
好,是原始坐标,就是打网格还没加载荷的时候。这个时候,a点坐标是(r,sita),d点是(r, Sita+d Sita),请写出a点处的位移函数偏导数,v(r,Sita+d Sita)-v(r,Sita)这是应变,从偏导数推出来,写一下是否有v/r?  发表于 2016-5-23 19:23
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发表于 2016-5-24 08:42:19 | 显示全部楼层
两点的长度变化是dv,原始长度是rdθ,所以只有环向位移引起的应变为dv/rdθ,不知道楼主纠结的v/r,在哪里出现?
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发表于 2016-5-24 08:46:50 | 显示全部楼层
如果是图上的v/r,这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

点评

坐标,a点坐标为(r,θ),d点坐标为(r,θ+dθ)。假设v函数已经知道,那么v(r,θ+dθ)-v(r,θ)就是环向增长量,这个只有偏导数部分,导出来的应变也只是书中的后半部分。而u/r部分就设计不到。  发表于 2016-5-24 08:59
看书,总的切向应变包括两部分u引起的部分:u/r(不好意思,ipad发帖,错把v打成u了);和v引起的部分就是偏导数部分。那这u/r部分,按照书的理解是可以理解的。但是,我自己想的,v是r和θ的函数,而r和θ是原始  发表于 2016-5-24 08:56
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发表于 2016-5-24 08:55:05 | 显示全部楼层
v/r只是表示每一个点的角度位移,就是说,每个点移动了多少度。v=2πr,说明一个点旋转了一周,楼主说过的 v/r”这部分应变问题,理解就错了,这不是应变。跟径向应变一样,要求的是两点变形前后的长度差,而不是一个点的位移,如果两个点同时位移为du,应变就是0。不要将位移和应变混为一谈。比如刚体位移,就没有应变。

点评

我错把u/r打成v/r了。看图片中,总的切向应变公式其中有u/r项,你说的这些我都理解。  发表于 2016-5-24 09:02
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发表于 2016-5-24 09:03:14 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 08:46
7 J$ j0 o0 M: ]' L1 H5 @如果是图上的v/r,这只是表示一个点的切向角度变化。跟切向应变不是一回事。因为rdθ=v

1 N; _: @  w) a- `" K0 c+ du/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点之间的弧长,不就是(r+u)dθ,而原来两点之间的弧长是rdθ,所以应变是两者之间的差值再除以rdθ,就是u/r( P  J3 j' c! [+ A- B
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发表于 2016-5-24 09:13:01 | 显示全部楼层
楼主要用物理场景来理解,有物理场景,能更好的理解数学推导过程。这个极坐标应变应该是很好理解的。你说的u/r。就想象是一个固定顶角(dθ)的三角形,而三角形的底边在向外移动的过程(就是u增大),是不是底边会不断拉长,应变不断增大
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发表于 2016-5-24 09:15:25 | 显示全部楼层
底边不断拉长,应变不断增大。就是切向应变不断增大。三角形的底边长就是切向的长

点评

大侠,书中的理解方式我非常的理解,这个可以不用讨论,现在是我自己的别的理解跟这个产生可冲突,大侠仔细看看下楼我的说明。  发表于 2016-5-24 09:30
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 楼主| 发表于 2016-5-24 09:28:19 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 09:03' w' }; ?6 l8 u2 J
u/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点 ...
2 p  a  H$ ^. ~8 s0 y0 p" O
我知道按书理解可以理解,帖子中我也说明了,书中的理解方式清楚。2 d  d8 [3 m$ M9 x% F
咱们换一个方式,环向位移V是关于r和θ的函数,r和θ是原始坐标(没有加载荷的时候)。经过平衡条件、边界条件、相容条件,我们可以把应力函数和位移函数都推导出来,关于r和θ的函数(注意,r和θ是原始坐标)。
% z4 l; r% [3 l  f/ y; g假设环向位移函数V=v(r,θ),分别带入d点和a点的坐标,那么d点处的环向位移Vd=v(r,θ+dθ),a点处的环向位移Va=v(r,θ)。那么弧长ad的增长量δ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ),应变ε=δ/r
6 v; y+ H1 f3 \- L& [" M5 Rδ=Vd-Va=v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=(v对θ的偏导数)*dθ(帖子中打不出来偏导数符号,我就暂时用Χ表示该偏导数)=Χ* y7 ^& Q: J% b8 X6 W7 n0 n
那么总应变ε=Χ/r,其中并不包括u/r。4 g  ?+ B, Y: O9 T8 w" D3 D
这是建立在r和θ原始坐标,假设位移函数V情况下,从偏导数定义推出来的。
" c  R# u# J6 a: D: {因此,这个时候我就假设的把V看成是r和θ变形后的函数,这样推出来也不对。(帖子中的第二步)( f1 ~, h0 l3 S: R) P' e" K
若想包括u/r这一项,单独的从环向位移函数V的偏导数中我找不出来,我就试一下全微分,因此有了是v(r,θ)vr+uθ+dθ)两点的弧长差的想法,但是这个一个是变形前的坐标参照,一个是变形后的,肯定不对。这就是我现在的矛盾点,脑子绕在这里出不来了。" r  I% a+ {+ J# \/ N
不知道大侠看懂我的矛盾点了没?1 U" }5 j  D( j# U; a
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 楼主| 发表于 2016-5-24 09:48:07 | 显示全部楼层
云制造 发表于 2016-5-24 09:039 M4 n; |% M' q* Z+ Q4 u# ^9 u! m
u/r不是很好理解吗,只有径向位移u,则两点都沿着原来不变的角度移动u,则r就变成了r+u,这个时候,两点 ...
. ?: P+ ?4 L: F6 E! [3 S; R8 M
再补充一下,我们知道一个函数V=v(r,θ),这个函数表示的是位移,现在求a点(r,θ)和d点(r,θ+dθ)两点的位移,怎么求?带进去,分别是v(r,θ)和v(r,θ+dθ)& r% c/ Q- a  t. v% H6 r
那这两点的函数之差(位移之差)怎么求?v(r,θ+dθ)-v(r,θ)=Χdθ。。。。。Χ表示v对θ的偏导数8 u( E7 T6 f- F& S& F1 Q/ x
这个位移之差是什么?变形量δ+ S6 X& |: C4 ?! t9 d, ?
应变ε=δ/rdθ=Χ/r。不包含u/r项。+ `' K& @7 b4 b- v' O! h, c* E+ j
- J- |0 j2 L6 Y! L4 Y7 j6 e% Y
这是在已知函数V的情况下
/ s$ X* H' f4 Z/ R3 a$ C4 H7 X: w" ]4 ?# x* `+ a
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