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一个有趣的数学题:欧拉计划第33题,有兴趣的同学看过来

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发表于 2015-12-13 23:24:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
原题是这样的:分数 49/98 是一个奇怪的分数:当一个菜鸟数学家试图对其进行简化时,他可能会错误地可以认为通过将分子和分母上的9同时去除得到 49/98 = 4/8。但他得到的结果却是正确的。
; D/ K" G7 u+ n3 V我们将30/50 = 3/5这样的分数作为普通个例。9 C7 w1 a1 E0 y4 S8 i0 V
一共有四个这样的非普通分数,其值小于1,并且包括分子和分母都包括2位数。
$ T# @$ D7 j8 E% c8 E* e+ o如果将这四个分数的乘积约分到最简式,分母是多少?
" K) o; I+ K- R; q* z
7 @. n: }( K" B4 ]我把这个问题稍微改一下:求出这四组数' j- c. K: f7 ?& w9 d
我已经用编程算出来了,有兴趣的不妨也来试试看( P! X- z9 ]. L+ Z( Z0 q
/ Z8 d# F8 q4 K, {( j

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发表于 2015-12-14 01:23:43 | 显示全部楼层
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/54 S5 X4 V, G0 V6 P  i7 {
$ @# J3 ^7 Q$ l9 y1 Q0 r% j
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C<5,然后就算出来了

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7楼有详解  发表于 2015-12-14 14:18
这是个什么理论呢?  发表于 2015-12-14 09:38

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参与人数 2威望 +2 收起 理由
刘嵩 + 1
动静之机 + 1 您这么晚还没休息呀。。。

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发表于 2015-12-14 08:39:31 | 显示全部楼层
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23
' U6 l7 i% K% M% `7 z/ J49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5" B' z$ Q* r6 h
- j5 N4 j) ^4 Y, B5 j2 f
AB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C

4 y/ X) G6 S3 q6 S6 N: S8 `充分利用限制条件 ,gao!

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7楼有详解,  发表于 2015-12-14 14:18
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发表于 2015-12-14 10:46:59 | 显示全部楼层
很有意思的小题目啊,刚好最近在学python,晚上回家写个小程序算算

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支持  发表于 2015-12-14 11:54
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发表于 2015-12-14 12:51:47 | 显示全部楼层
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23 " v9 _5 Q# z% A1 f( G6 ?! A
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/57 Z. d- u9 D* R. z  T! ~

& r) @( {& p$ kAB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C
0 f7 B* ~& c' M. a( P
老师,B>C以及B-C<5这个结论怎么得出来的?- {5 {# H- @; h1 s8 \/ W2 H

8 N% d' G( ]$ z

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7楼有解,  发表于 2015-12-14 14:17
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发表于 2015-12-14 12:54:40 | 显示全部楼层
等讨论结束后,能否把程序也共享一下吧。
* J2 @4 v/ i  C# t$ K1 \
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发表于 2015-12-14 14:17:00 | 显示全部楼层
此题有AB/CB=A/C,BA/BC=A/C,AA/CC=A/C,BA/CB=A/C,AB/BC=A/C,四种情况,且A,B,C皆是0-9不等的自然数,即AB=10*A+B
5 V* ]7 s& r$ i" H# K7 n1.AB/CB=A/C,这种情况下,- n1 `  e9 N4 {' ?- B# b
(10*A+B)*C=(10*C+B)*A3 \) A$ {2 V7 ]7 d( z# P
B*C=A*B,A不等C,故而B=0,此解皆为10/20=1/2之流,不属题意: t* X- ]+ H3 U2 d7 F

: S& D, K: P7 P0 G) k( g2.BA/BC=A/C,( u) a& O  @8 {
(10*B+A)*C=(10*B+C)*A5 r& g" r% f6 z' H7 Z7 v
10*B*C=10*B*A,此时同1,B为0,十位为零,两位数之说便不合题意5 a- f/ a3 u7 N

% u8 p  l+ S% f3.AA/CC=A/C& {9 y" Q1 y  {1 M5 M2 X# B$ D
此种请况,A,C为任意值也都成立,如11/22=1/2,亦不属题意$ J& F- T( h! D
) ~) S) P! A& b7 F8 l2 a' L7 e
4.BA/CB=A/C
6 Y+ g6 N# h) ?- Y  o(10*B+A)*C=(10*C+B)*A
5 c$ s& F* N0 y# N; C1 x7 m10*B*C-9*C*A=A*B
* r' W" v4 l9 Y/ BC*(10*B-9*A)=A*B        题知分数A/C<1,得C>A) q  ~! u5 C. O- |
若B<A,上方为负值,亦为无意,故而B>A
9 j5 l; D9 R, r$ |故而10*B-9*A>A,又因C*(10*B-9*A)=A*B,
9 l( L- o0 Z5 @C*(>A)=A*B
' [* x4 t: L  b; O# |; y' w. s所以C<B,
% I/ O  b+ n; ?( _2 L" Q9 O7 Y又因分数BA/CB=A/C<1,故而B<C,与上述C<B想逆,无解7 y  W5 ~7 s1 u% Y- G4 _

4 H0 E2 R; e/ P$ W( J- t" y5 AB/BC=A/C* w# g6 \. Y- R
(10*A+B)*C=(10*B+C)*A
4 _0 d' Z% U7 N% |/ W2 ]! R1 \' ]10*A*B-9*C*A=B*C/ z2 B' q( h, ?; X" v& }
A*(10*B-9*C)=C*B,
  u) k  t" W" [) k分数AB/BC=A/C<1,得A<B,A<C* [# ]# [4 [. Y3 u0 y, W8 c, v
同4可知B>C,既有B>C>A
8 h1 n6 D5 d8 K. |/ s1 i3 G: qA*(10*B-9*C)=C*B,
" c' T. J6 E: P. j/ |6 n如果B-C>=5,左边A*(10*B-9*C)>50,右边C*B最大的9*(9-5)<左边% P7 Q3 f3 J+ x* m( O
故而只能是! u1 P. m7 ~4 Q8 B$ M2 F7 ~5 u3 _
加上A*(10*B-9*C)=C*B,,B>C>A ,B-C<5的条件,B,C可取之数寥寥,可解
& I( z" I7 }2 L
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发表于 2015-12-14 16:38:52 | 显示全部楼层
高人面前,自惭形秽。
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发表于 2015-12-14 17:06:51 | 显示全部楼层
复制7楼的文字,选中泛蓝后,出现一些乱码,如下图。. P( t) \4 k. |* O, y) }
选中并copy,
  |/ y6 L+ l" d. d2 h' t- T4 ]粘贴在笔记本中,乱码出现;
  o1 h& H7 H! c9 [2 N: J粘贴在Word中,乱码不出现,相应位置是空格。+ D) V$ Q+ Y' Y' @
请高人科普,谢谢。
" t  _* C1 c" d

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乱麻为论坛自动排版编码。请自行删除  发表于 2015-12-15 00:37
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 楼主| 发表于 2015-12-14 17:21:59 | 显示全部楼层
该题计算量不大,所有情况都算进去也不过10000次,所以编程应该是秒出的,7楼大神已经给出详细的分析过程了,晚上我给出一种编程的解法
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