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一个有趣的数学题:欧拉计划第33题,有兴趣的同学看过来

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发表于 2015-12-13 23:24:21 | 显示全部楼层 |阅读模式
原题是这样的:分数 49/98 是一个奇怪的分数:当一个菜鸟数学家试图对其进行简化时,他可能会错误地可以认为通过将分子和分母上的9同时去除得到 49/98 = 4/8。但他得到的结果却是正确的。7 C& I) l* M9 T3 P
我们将30/50 = 3/5这样的分数作为普通个例。* c' h8 ]: L- I/ N; d' a8 l: X
一共有四个这样的非普通分数,其值小于1,并且包括分子和分母都包括2位数。0 r7 P2 u# s( h% O2 g( T, }7 |8 P
如果将这四个分数的乘积约分到最简式,分母是多少?
1 H- A* V$ x! G2 s2 W+ d# b$ ~0 L' o/ e8 |3 l5 ]* n% A- [
我把这个问题稍微改一下:求出这四组数  _  n  [7 _2 G8 |' P  ^
我已经用编程算出来了,有兴趣的不妨也来试试看! w( `: s. V. z, s- C- x3 Z
: l$ n3 f, G  U! {1 G* Q. h

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发表于 2015-12-14 01:23:43 | 显示全部楼层
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
4 |' S3 w7 u. _, F
# ?+ \" ~5 P' x7 [. h6 pAB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C<5,然后就算出来了

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7楼有详解  发表于 2015-12-14 14:18
这是个什么理论呢?  发表于 2015-12-14 09:38

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参与人数 2威望 +2 收起 理由
刘嵩 + 1
动静之机 + 1 您这么晚还没休息呀。。。

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发表于 2015-12-14 08:39:31 | 显示全部楼层
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23
! g7 B* _6 S( ~5 G1 }2 G, m9 C49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/5
4 X: h1 }" f+ k2 Y7 ]  }  b- p+ X
5 a' e, [$ f$ T5 GAB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C

* P  `, U# T3 w. l6 R) a- ~充分利用限制条件 ,gao!

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7楼有详解,  发表于 2015-12-14 14:18
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发表于 2015-12-14 10:46:59 | 显示全部楼层
很有意思的小题目啊,刚好最近在学python,晚上回家写个小程序算算

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支持  发表于 2015-12-14 11:54
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发表于 2015-12-14 12:51:47 | 显示全部楼层
冷月梧桐 发表于 2015-12-14 01:23 3 }1 W; Q0 q5 d6 `/ e6 i
49/98=4/8 16/64=1/4,19/95=1/5,26/65=2/55 S/ s: ?2 @/ X. e% X

5 R7 x3 z" x0 G1 XAB/BC=A/C  可得B>C>A,B-C
6 \# s9 |. u* F; N$ f
老师,B>C以及B-C<5这个结论怎么得出来的?
: g+ I! ?* r: ^' ~  _) Q- W; I2 E/ [) u" P. E! X% L

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7楼有解,  发表于 2015-12-14 14:17
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发表于 2015-12-14 12:54:40 | 显示全部楼层
等讨论结束后,能否把程序也共享一下吧。0 N! N& ?& r; e& Q
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发表于 2015-12-14 14:17:00 | 显示全部楼层
此题有AB/CB=A/C,BA/BC=A/C,AA/CC=A/C,BA/CB=A/C,AB/BC=A/C,四种情况,且A,B,C皆是0-9不等的自然数,即AB=10*A+B
: ^9 S# f$ s" ~0 ]1.AB/CB=A/C,这种情况下,: q8 X5 f4 G$ f/ [+ W9 r
(10*A+B)*C=(10*C+B)*A
' y7 `. A3 Z0 C6 U% q. {2 vB*C=A*B,A不等C,故而B=0,此解皆为10/20=1/2之流,不属题意
% r2 R) u, c2 x! P- U8 h
8 H! `: O8 U- \$ ~: U% W2.BA/BC=A/C,$ ~: S4 n9 E+ A; `
(10*B+A)*C=(10*B+C)*A
7 m' Q9 \" }( d! L10*B*C=10*B*A,此时同1,B为0,十位为零,两位数之说便不合题意6 m# R# W) L9 L$ C7 h0 b

* N  T8 j  _& _, B3 W3.AA/CC=A/C" Y# s' q- ?4 q: H, x
此种请况,A,C为任意值也都成立,如11/22=1/2,亦不属题意5 w: ]8 z: \  d1 q4 a7 `6 l
5 M* u9 K0 T8 P' T6 x3 M- O" `9 R
4.BA/CB=A/C
3 d* T, G. y- w(10*B+A)*C=(10*C+B)*A
8 R9 Z4 ]$ J* C, u9 X8 N* Z8 s10*B*C-9*C*A=A*B( p$ [* N5 v. J% C8 v  C5 ]# [/ H
C*(10*B-9*A)=A*B        题知分数A/C<1,得C>A
( H* t5 E9 u# R8 |  p& W  T. h5 f若B<A,上方为负值,亦为无意,故而B>A
& S2 e  L; u2 x. |& k5 B故而10*B-9*A>A,又因C*(10*B-9*A)=A*B,
0 Z. s" S+ z, ?0 F0 ], RC*(>A)=A*B
* H! D# g& L1 l: c; _- Z所以C<B,
4 W& b  l1 N+ k2 o又因分数BA/CB=A/C<1,故而B<C,与上述C<B想逆,无解
2 k8 D- M0 i, R2 Q) J- \/ z8 i  S' F5 Y: Q! R
5 AB/BC=A/C
$ }5 X  ^; Q$ S6 O" f(10*A+B)*C=(10*B+C)*A
, I9 c$ G; {7 b; r* Y2 [3 C8 M10*A*B-9*C*A=B*C
6 r+ d0 c1 e1 I3 K' [8 ~, VA*(10*B-9*C)=C*B,2 y( d: ]0 L3 \. [4 M2 P2 @
分数AB/BC=A/C<1,得A<B,A<C
, r; R' w! P5 C9 x& N$ i( d5 x4 K同4可知B>C,既有B>C>A
6 l( @; c5 f- e: o' l2 L0 BA*(10*B-9*C)=C*B,+ @' u0 f$ @1 T6 D0 b
如果B-C>=5,左边A*(10*B-9*C)>50,右边C*B最大的9*(9-5)<左边
( Y' ^1 }" p/ N8 F$ ~9 A故而只能是9 z0 a; h( M+ E5 i& Y% A5 ~5 U
加上A*(10*B-9*C)=C*B,,B>C>A ,B-C<5的条件,B,C可取之数寥寥,可解
0 K  X$ r8 q& ?3 n5 h: \# \7 m; k
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发表于 2015-12-14 16:38:52 | 显示全部楼层
高人面前,自惭形秽。
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发表于 2015-12-14 17:06:51 | 显示全部楼层
复制7楼的文字,选中泛蓝后,出现一些乱码,如下图。8 a: [+ a7 c0 `! B% t2 Q! L
选中并copy,
/ d4 Q) Y9 d# ?* v2 b粘贴在笔记本中,乱码出现;3 O( q2 L/ }; p5 U
粘贴在Word中,乱码不出现,相应位置是空格。
. |( H% W. {/ D4 E4 \5 X' M0 ^请高人科普,谢谢。
; G6 W  x$ v; P. h% U0 s

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乱麻为论坛自动排版编码。请自行删除  发表于 2015-12-15 00:37
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 楼主| 发表于 2015-12-14 17:21:59 | 显示全部楼层
该题计算量不大,所有情况都算进去也不过10000次,所以编程应该是秒出的,7楼大神已经给出详细的分析过程了,晚上我给出一种编程的解法
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