求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
7 e9 k3 E0 q% `) v9 _不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
8 u6 G3 S1 X, I' A* z* t8 `2,2,3
3,5,7
2,6,11
( Q, U; l  S, a4 e+ M但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

  {6 |6 x$ P3 C5 [! _
2 [6 l9 ?" K, o! L; d8 T我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
4 ^2 p% h2 C. z% A' y& i
答案是只有唯一解，2，2，2
" S+ Q  n' u0 C

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
3 K, L; _$ y  h5 t假设abc对2的幂分别为ABC
3 e: n7 G5 \6 e! G* _则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
1 i; K  B" e7 _4 W- x那……
) `/ ]2 {& T& H2 Y: ]% V  V# n我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
' Y, H4 z1 D- X; U) y我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
3 u: U0 K  S2 _6 K
0 i2 q: v$ h/ ^6 U答案是只有唯一解，2，2，2
% ?2 K* w) I, g' j9 T( K! c; a ...

大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件
; g) O" n0 D- {
; |1 y. l+ d, R! s7 t  T

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；

# M; Y5 q, j, z5 J  B/ R所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧

我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋
- k$ G8 w  r' H8 J$ O" s: Y