求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
8 ^1 R. D9 s  k4 i3 G5 A( @确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
! Q" f# b$ n8 h& Q2 w3 H2 D! x1 V2,2,3
3,5,7
2,6,11
# e2 ]% l$ J7 G% J- S但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

' O9 c3 K  R$ Z& F
6 b# K" x2 C- s1 D" X' h我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

: C8 h7 Q4 Z" O答案是只有唯一解，2，2，2

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
假设abc对2的幂分别为ABC
& |% F6 H) d" T3 j则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
8 D8 S' F' _! Q3 ]+ A0 u要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
$ Y4 p+ B: R% B- O) v我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

; f# d, l( h- Y: F+ t9 A9 g答案是只有唯一解，2，2，2
/ D5 ~" [9 T% v/ ^& q4 g  { ...

- t4 E8 D, {  x- e8 O大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
# L/ V) l# m8 I- Y4 }7 s, W你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件
6 N' [: E3 W& s: J0 i/ P- |) R7 K: Q
* L* c+ t1 x: ]

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；
9 D/ S3 i& r# E: L5 P! Z& K
7 }% Y+ ~8 y: Z; A& G所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧
+ C: P8 m) M+ Y
我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋