求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
: T/ C1 i! Z6 T6 E不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
' x7 Q0 `, [- {+ H6 j2 X2,2,3
! {" M6 @8 G& T0 Q0 ]3,5,7
2,6,11
但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

) q( ~# N+ v% h) E
: u' Q" [9 d! c3 y我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
+ ~! h  K8 w9 ^; ]7 K
答案是只有唯一解，2，2，2

4 |( [- G5 a6 J* T

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
/ M8 W) X' o- P( c. @假设abc对2的幂分别为ABC
则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
9 v, {  f* S  ]; p0 a同理，B+C-A=1;A+C-B=1
那……
我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
% M) X6 C* Z: s+ C3 x1 o我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

# v9 \% L' c$ f! W4 X, N答案是只有唯一解，2，2，2
...

# F5 m: l2 t$ C! \& ?" n: i9 C1 d$ ^* `/ W大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
- A1 J& W0 T' Q* C- e5 @3 a' x- ?( R你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件
  i" w: a0 G- `$ t

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
0 ?9 m0 D8 P3 @5 b; w9 S5 s: E大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

5 V7 k5 B  `; |+ Q/ }: n2 A仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；

% |1 k& x! c' I$ u( Y8 }所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧
7 r3 o6 o$ |5 ~
. u0 A& V5 U( F3 G% u: R我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋




7 q% h% y: D$ M2 ^
# u1 n1 G  G' s