求问一道数学题

阳光小院暖茶

有个题目，想请教：
7 U& N$ o/ f. s! ~# f确定所有三元正整数组（a,b,c）,使得ab-c,     bc-a,     ca-b中的每个数都是2的方幂。（2的方幂是指形如2^n的整数，其中n是一个非负整数。）
不知道有没有人能做出来

阳光小院暖茶

我已经知道了几组：2,2,2
2,2,3
3,5,7
2,6,11
但这个题目说是“所有的”，所以搞不出来

crazypeanut

这是2015年国际数学奥林匹克竞赛试题的第二题

crazypeanut

: M5 C. f7 i8 O8 Z* H+ s6 n) y3 b我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的

6 {# w( \# f. n8 N3 i答案是只有唯一解，2，2，2

水水5

首先推测abc都是2的正整数次方~
' T0 j% p! `- M0 E假设abc对2的幂分别为ABC
则，ab-c=2^(A+B)-2^C=2^C*(2^(A+B-C)-1)
要使结果为2的正整数次幂，则A+B-C只能等于1
同理，B+C-A=1;A+C-B=1
$ T. }( z: G7 v- Z4 o, J那……
' n4 j& s; R( G3 C我解不下去了。

萧mj

不会解

阳光小院暖茶

crazypeanut 发表于 2015-8-18 16:12
* b3 s/ N/ X1 e" O* |我没有能力解答此问题，但是，我对自己的搜索能力有足够自信，解答是这样的
, J# d" F: ~5 Z2 m) J
" M; Y& T" g* I9 V: r答案是只有唯一解，2，2，2
...

+ r# z6 [; ?/ c. ]' q大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了，不可能同时为2的方幂。
- ~* D$ n* C+ y你验证一下我给出的三元数组，看看是否符合条件

& F2 j8 i5 L7 `+ s! h

crazypeanut

阳光小院暖茶 发表于 2015-8-18 16:23
6 S, F/ O! r9 R2 V) I, U" }大侠，他只是推断出a,b,c都不小于2吧。因为如果其中一个是1的话，假设a为1, 那ab-c和ca-b就是一对相反数了 ...

3 P; x9 l9 L3 ?& {仔细看了下，如果不允许出现2的0次幂，那，2，2，2是唯一解；
# O+ R; p, }7 N
" I, H; l) L- A' ?/ ], s所以，如果允许出现2的0次幂，那么我们可以增加一个约束条件，ab-c=1，这样难度就降低了

yue7261598

数学玩 死人

crazypeanut

看这个吧

) Q( E* a; ]( W; p1 x( U; s: R我确实解不出，这种有关整除以及正整数的题，我都是软肋

( F" [) l) p! y