解一个阀门的数学模型

明月山河

! `/ ]3 w9 Z8 W
设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

/ ]+ c8 J8 w) A5 W* q! O& Y& b如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：

# F7 U1 N; Y1 ^* W; f其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
r1～r6是未知数，求解它们的表达式；
8 P( V4 x, }& Z2 [1 d+ ]当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
' q* E3 \* ~8 K- y& H! X目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
" p, }9 H' f3 Q6 p: d1 |那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
7 j; l" I: i# P- f
1 x( j0 A( k: r, X* [/ o


补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的
0 A& u3 i4 D3 r9 g

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
0 y. {# Z& K( c2 t  @>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

7 p( j& L1 \  w7 G  Zf =

" z* F/ H+ l. {: G( Y, x$ S(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)
+ d1 O# U# k( G# N- t1 ^% w8 R
! e& D2 c8 f  ^8 e" e, W1 `ans =

4 p# ~1 E2 m% F(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
* ?7 J# [. Z6 R3 F, H                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

. ?' O0 U0 ]6 w. df =

- u9 i2 I) f8 [. ?- ja*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)
0 i" j! c7 z$ `" u+ d/ R( {
ans =
) g, c. I# I3 O2 M% X
' I1 `2 Q8 J: V- Q3 W9 s-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

) g* w$ U+ T. J6 r6 j  i我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
2 w& n$ W. {9 J* r  T) b            
               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
+ O3 `! N1 z; G4 j- ----------------------------
6 n" P/ x2 K$ B* s               2 a


+ i/ q8 ]! d8 c- C% e这个也含有X  估计  可以删除
( G4 u% ^" u2 T) E/ F1 Q% _
  J- {3 r: O3 {6 V0 d4 C

" O7 f- {3 \4 Y  A1 g' ~