解一个阀门的数学模型

明月山河

设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。
9 D* f1 U" o3 f  R' I
如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
6 T+ W- T( S% A% j* H6 ~: P
5 u1 Q$ S) m2 v6 A0 |( }# S其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
( O* \3 H1 t6 D5 s: A* w' q# Or1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；

$ q* G) G" x5 ]! {. j
5 ]( w2 Z# i- r  ^* ]3 F
- {! z2 Q2 D! G8 B
& b7 E6 j+ Q5 u6 T补充内容 (2015-5-24 21:26):
3 L  T! M% Z1 F( ~1 lSi中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

& _& b( F8 i% p# A

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
; e+ v$ d' M9 o- }+ u9 m>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
& Y1 m6 G# O! L4 D6 i/ Q/ f
f =

+ z1 c  D* r+ u( f! q. B* H- C' r7 H(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)

& S, I9 q% W+ s& G' l. ]5 w7 E4 [ans =
) _% d2 W6 v, x' Y* {
/ z% o8 Z2 ]& [+ i; O(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
7 ~  m- a  B9 wb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
  U) \, x) S8 V9 d                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
6 Y& o, M- c) u" ^% \# N( k# l" c* z>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
/ _* s* v. W; D3 D) Q9 T. r>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
7 A6 P- [& v& Q( ^1 J5 _4 g1 Z
1 J/ d2 j7 E' i; k& Rf =

a*x^2 + b*x + c
2 V" u  O; a* {% k6 D
" U/ G9 \: m& o( o# E>> finverse(f,x)
1 j- Z* @, I& G) A
ans =

-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)
$ B. ]4 ?! D5 Z. |/ L
; w: y  C3 M, W7 Q. `- M我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
$ Z9 T1 e& [* j            
6 r/ o* e6 Y9 d  s# J: R8 j, J# `               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
; r) t/ V- w, C" N+ H6 C3 G- ----------------------------
0 d4 F8 V6 E* ^6 f: F               2 a

) ?- }- f9 o$ R* y: ^! j" |
这个也含有X  估计  可以删除
+ L, m! \7 O' Y+ O" @* Y0 ~

( X. s( h0 G  o

. Z$ h2 W0 q% z0 X& s- s