解一个阀门的数学模型

明月山河

$ j9 K/ t$ F7 C; N' s
# ?% G; k- K$ @  M6 m* B( ^设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。
) @3 F3 G# \# i$ t8 H4 f" q6 F
$ O3 ]% W7 ^3 R# }6 a$ f如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
" ?3 }/ n! |2 @) I, y
其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
& R6 a6 X0 T: Y3 R& M: Jr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
$ V- M) Q& Q; p3 O$ l目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
4 T: |* x+ d) c' _5 |* b2 l那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
( g: I$ G2 i! M9 p$ V
, E3 \9 I9 M6 U9 l; n
# s/ Q+ T9 T- Z+ m, ^& A2 ]

补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

2 x0 ^2 k1 _" x- }) e* j/ ]

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的
' l& r* V/ Q5 G8 y

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
4 S9 N% A& b# f>> syms  s r6 r7 a b
7 y5 ?' k- e7 I5 O>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')
2 D4 z5 x$ }0 S
f =

(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)
# W% v/ r* b7 C* C+ [
ans =
6 i1 J& ^' Y& a) s4 d* f
(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
" J: S; X7 o/ J' l- J. [
/ w* G& D0 _! F7 d  }>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
4 Q& t/ ?* w2 X: F$ b) q) Y' \) W" i---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
8 c9 Z, q* G; h& R- U>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
' V5 T0 o: T- Y8 b/ M3 C4 S& Z
6 o# j9 A1 [# Y; Bf =

: x. ~7 g7 g! z" xa*x^2 + b*x + c

, z) `; K* s4 E' j>> finverse(f,x)
) h' |0 y. G/ a: P
ans =
$ o8 o7 E  O; U! F- n4 S1 d# X3 Z
* n" N' T5 \8 a-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

+ o! E* }$ x0 g/ M2 `$ j5 K我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
  L7 `2 Z0 h5 P9 F            
               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
) C) R$ J7 A5 Q6 Q6 A+ ]- ----------------------------
8 R% }8 n+ q% w& T* c1 o               2 a

6 u, K9 F- P- G3 X
这个也含有X  估计  可以删除

$ j6 q3 E8 E3 Q" i$ A1 v