解一个阀门的数学模型

明月山河

* U# f+ O+ H# Y% A设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
* {$ N" I3 ]. W( u) G
6 y6 w  J1 V/ H& I" B其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
! |% P+ w) F3 {) ]0 k4 I5 z* `r1～r6是未知数，求解它们的表达式；
, `# S* {0 _5 t! E6 M! O2 l' N当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
" A  k! {) [1 t5 ]3 J想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
! j" K; i; S$ b( O% c5 j那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
" R6 e" Z4 Y- C$ U



补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

: T2 n( Z2 m) t$ l# }& _' H

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
' ]  v  b& L& {% ]  c' |>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

0 F  B2 o3 {* `* a( T) b3 c+ z2 hf =
! `& g  C8 q/ ]- v5 j
(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
- C" @" a7 m+ @ >> finverse(f,r6)
1 Y1 \! B+ [, l$ h3 ?+ Z, u
ans =
7 y2 b. \* g1 A- D$ y2 a' B
/ e( C  _2 U, }7 l9 N* k% h; F# y(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
# W0 p5 `" z! ]8 q- |                                 2    2  2    2   2
b + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

6 O& x, ]( q/ Z3 h& T5 y, x>> syms a b c x
>> f=sym('a*x^2+b*x+c')

' T% H" p+ X8 k5 q) Q& @* if =

* c6 t& A. f& Xa*x^2 + b*x + c
( K; q$ u9 d8 \, q0 p5 Z
7 S4 ]) I1 Z( L: b7 o& O# u9 X. U>> finverse(f,x)
9 Q+ k; B8 |0 N, ?: c; |% n
ans =

-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)
# }- V# K0 e  M+ s! S' h
我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
, Q1 Q  y! z+ j( J, X- ----------------------------
2 `* d3 d: v$ b2 b' }& D  F1 H               2 a


这个也含有X  估计  可以删除
& i$ t8 I; B% u5 N) T0 }" n( Z3 }) x
" a) ]" O* N/ l7 ]5 D
5 j6 L+ k7 C6 s- K1 P' T

7 [" a" f) F; n$ i  {