解一个阀门的数学模型

明月山河

设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
! m6 F+ t/ }) D) @3 R
其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
r1～r6是未知数，求解它们的表达式；
0 z6 M6 ~( Q0 i+ m. j* R当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
3 |) Q6 i4 W8 R8 ?- G目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
( U, b5 ?" @& n3 C那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；
- S0 @8 F! o; I$ ?9 u


! @; g' `- B% q3 R9 M' U
, b1 J4 H+ U4 m: V7 g6 i补充内容 (2015-5-24 21:26):
, e% L- y/ L+ y; h, n+ oSi中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

4 Q# U, d( X- Q

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
, c5 {+ G. W2 C! G>> syms  s r6 r7 a b
6 s3 v5 b4 B! E, d, J>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

f =
) E1 I% {7 q* O. H  t$ {
(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)

. f' C+ l% \' D+ r. o# mans =
( l7 |! R5 f7 f* t
(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a

>> pretty(finverse(f,r6))
$ ~* U3 B9 m' i                                 2    2  2    2   2
5 }' A# L. W, z- j9 x9 Q! {8 y+ gb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
# \  Z4 i' Q& S* v  b* h>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
- z+ H  Q/ z( Y- f$ E>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
6 ]' p( h5 c, j; _* E
" q6 t0 E( D* L1 V0 L# Df =

a*x^2 + b*x + c
" c4 `5 L6 O0 V8 J! r
/ i9 z& y: {1 U>> finverse(f,x)
# ]: f; W6 E1 {/ R, e$ d
& B; m1 D0 D' j* Zans =

: D4 o! Q3 }+ i. l; }! S) h-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)
% Z3 a  c- u6 P" `' C
) s, _1 J/ `2 y( |  P: A+ ^我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
9 l1 p' ]4 D, ~0 G" h9 K               2
! {* H0 t) Y" M( ^  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
1 r  I! a- Z, S: P- ----------------------------
               2 a


这个也含有X  估计  可以删除

# u$ d% ^8 g8 ?/ Z# x, O! t