解一个阀门的数学模型

明月山河

. [- R2 K+ K4 s2 Q; ^设计一种阀门，遇到一数学模型，有点疑惑，请各位侠士支招。

如图的是一个扇形区域，里面分成六个格子，也就是流体的通道；格子的面积是S1～S6；相应的外半径分别是r1~r6；格子的径向壁厚为δ，两侧射线的壁厚为δ/2，（实际这是圆周分布的，取侧壁的一半划出扇形就成了这样子）。可列出S和r的方程：
( r) a  d: {+ S! F+ I1 X) F9 ^# ]9 ?: J
% s- w8 f8 @5 q& E  c; n8 c其中δ的取值范围为0.5～2.5已知；扇形的张角α为20～50度，已知； 格子面积S1～S6是有外部参数驱动的，数值未知，但是这里把它当成已知的；r7=5～7为已知；
- `5 `& t/ d! cr1～r6是未知数，求解它们的表达式；
当然确切的解析式是很难的，这里的表达式可以是某种近似解法，例如函数逼近公式，等等；
目的有二：（1）看它们随着Si，α，δ的变化规律；（2）同外部参数联立求解一个更大的方程；
想用对 δ 幂级数展开的方法，但是收敛速度未知，如果每个r都展开到5次项，将要求解30个方程；这个应用起来可能比较麻烦；
; q, b" @5 z. V那位高手给点妙招；数值方法暂时不考虑；




补充内容 (2015-5-24 21:26):
Si中是含有外部参数驱动的函数，其中包含有r1，但是具体还没有确定，所以要求ri关于Si的比较简单的表达式，但是用根式表示的难以应用，不是简单倒推迭代就行的；

阳光小院暖茶

图呢？

明月山河

6 @# S- n( ?: r

阳光小院暖茶

看不懂，我默默闪人了

中国龙1222

真心看不懂，，走人

shouce

6个方程    解6个未知数     理论上完全可行的
) T5 d. R1 v2 u% x

shouce

可以用   解非线性方程组的Newon法

shouce

其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
0 `  E5 F! v* Q& m# d, q4 v  |>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^2)*a-(a*r6-b+r6-r7)*b-s')

# \9 L1 t* K8 @4 s; Y# c! }f =

* c. b2 d6 M, m8 B; y(a*(r6^2 - r7^2))/2 - s + b*(b - r6 + r7 - a*r6)
>> finverse(f,r6)

ans =

0 T  ]4 n! n: u: q(b + a*b + (2*a*r6 + 2*a*s + b^2 + a^2*b^2 + a^2*r7^2 - 2*a*b*r7)^(1/2))/a
2 N; b3 g3 L4 W+ N
* |' ^2 L0 t3 o+ g+ G4 V>> pretty(finverse(f,r6))
                                 2    2  2    2   2
1 q- n: @# r0 ?2 j. j1 Nb + a b + sqrt(2 a r6 + 2 a s + b  + a  b  + a  r7  - 2 a b r7)
---------------------------------------------------------------
                               a

shouce

shouce 发表于 2015-5-24 21:04
其实就是解一个  一元二次方程     我用matlab   算了下
>> syms  s r6 r7 a b
>> f=sym('1/2*(r6^2-r7^ ...

>> syms a b c x
8 V5 w8 s( L2 ?9 _>> f=sym('a*x^2+b*x+c')
4 @5 C- |, o6 g# {
9 y1 w7 Z! k( ]- D( E5 L  Z  h  Uf =
$ Y  \6 t/ ^# g" r2 T6 m' Q
$ W3 N% Z) x. i7 e/ I( u. Ha*x^2 + b*x + c

>> finverse(f,x)

2 W, t3 M) ~$ O; O- d" M/ _ans =

3 l( m, A& m0 P; x. [( c-(b + (b^2 - 4*a*c + 4*a*x)^(1/2))/(2*a)

- o4 _$ X/ Y$ ^! O2 l* n我用matlab 推导 一元二次方程求根公式      
            
               2
  b + sqrt(b  - 4 a c + 4 a x)
1 N1 j$ R) S5 z4 q) C; s/ S1 I1 K- ----------------------------
               2 a


这个也含有X  估计  可以删除
. k' S+ k9 k8 J1 H; a0 S
; m0 U2 u" H* V  K# u
0 V7 D: s& I2 z+ p, j3 ]: V1 V
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