请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

; o  W1 h, l% [
1 U0 N) W) \5 T( x

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

6 ?: F1 g1 F# c) O6 J) f1 ?9 n$ }3 E对于等速运动用运动学基本公式，可以推出
5 ~0 }; w  P  w
0 c4 T1 F/ {) v( S- J2 Q( x( }
但是对于等加速度运动的描述

却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
! T9 ^. C+ m9 T3 G5 `; x% t5 \6 }$ c3 @这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
2 V4 j: J1 q( }5 g& K8 H无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
) M( i' r8 E& B2 j3 Z3 z大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
. `* C6 g/ b6 _; F1 B; ^7 u3 k: Z由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
2 e, Z* f. X) A( [还请大侠帮忙解惑？
& v' H8 d& w$ V8 Y5 W- G" H% l& F

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
1 H* S/ Z( y( r: U; ?# g& _大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
% j1 z9 t+ M7 T( j( x* L大 ...

我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
" I0 W$ f, s. Z或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

, m6 r9 `' J5 J7 ]) X

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
* A0 R' M0 k2 t( f按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
* ^5 [& B+ e, C; Q0 f那还请教hoot6335 大 ...

" e, t8 G2 G+ Q大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
. ]" J3 R+ M6 s  q4 ^1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
5 S2 X: b- h$ p* v4 g. @1 H1 _# F2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
$ d& ^3 f) K$ ?3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
6 \) A0 ~) E9 a5 }5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。

回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
  B; M$ Q8 r" R% G' {" I2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
/ D3 _- d: ^/ c3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
0 M% U7 Z  K7 m+ T. T+ d, J% a4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
                       加速段边界条件：
' `0 \5 {* V9 S# W  z: t6 z1 ]                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
# o* }! c: ]* ?1 Z, u                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
5 d: L/ \: S' b8 y9 [9 O                        减速段边界条件：
  a! V+ v+ d1 N- ?9 K: ~                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0

. w1 v2 D0 e$ ]: Y5 D' Y, `3 h: Q8 ]5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
0 Z) R( K& ^1 ~9 V2 Q0 u2 ^) |                             v=4*h*w*δ/δ0^2
' u2 }4 s# u% _/ F  @3 c                             a=4*h*(w/δ0)^2
; P- b. E' Q0 m* d8 f                        减速段：
4 o! m# K6 Z( a" s% V$ A                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
% Z! Q, }) g, H                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
, }- \# z) ]( ]7 K9 s) A                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
8 C* r3 a" `7 x/ ?5 I0 D                        T=t/th   
  [1 @+ O7 U; |) S" v                        S=s/h   
9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
: H) q* O9 R" M/ \/ T   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
& L) y. k% O* n7 C1 U: B6 ?2 t   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
$ f$ A2 `- y7 h: @: Z6 t$ ?10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
                     加速度段：
% s4 l. Y( f: M. e                              S*h=2*h*T^2
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
. X8 }/ x* ?' C4 ~  x  R$ f6 X11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
# `3 T! `$ u0 I4 _+ Y5 b# Y5 r                             无量纲 V=4*T
                             无量纲 A=4
3 U4 z' t  H" N' b' H- G* w12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
! t+ |0 _" z  x! Z     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
6 }- p% N3 R! ?2 P; S13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
/ X+ R1 p6 H3 N% C9 A* o/ Z     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
                           
                           
3 W6 Q" |8 {1 o) F( O' u
5 ~  ^" f6 V' C& e. w  C            
' G1 t2 A1 N6 ?1 B

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
' Y* ]' Q7 ~: G经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
+ x$ z; j) o" |5 T4 D. n8 V; b遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
& Y6 e% _; }) w4 u角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
* C! h2 |" C3 P8 e- s我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

7 s- G  }& P, a' U5 F% I* u; Z相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。