请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

5 H; p) ^/ w) T7 s

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

. G" X% v6 d2 K' t
对于等速运动用运动学基本公式，可以推出
$ M, X* f. x# \+ o$ ~- W

& C( e! Z+ K  ?6 m' x% r但是对于等加速度运动的描述

+ `2 Q# ]: v0 ]却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
2 f& o& U- q8 j; A6 X: H+ r0 B这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
还请大侠帮忙解惑？
5 Z' N6 w# m7 m

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
' R- f! |7 ^0 m8 h" J, j6 A8 c. u大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
" K  P& T3 g8 T" P/ k8 I2 g大 ...

/ |1 O9 ]2 p  z% I* |我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。
8 E$ {  k2 Y9 b5 b" d& g

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
( }; U& f; S; x* ]7 l3 S那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大 ...

% Z3 U, m8 P2 f* o
( \' j" {# J3 [/ H大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
/ ?( m# M/ h6 z9 _! r1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
  m& C; {+ `3 ^- v1 S% a2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
/ E1 ?, S" N$ D4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。

回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
+ K" M& ]( v  m, m) g3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
                       加速段边界条件：
                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
( D% ^9 _- _: l1 P( Z0 y                        减速段边界条件：
                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
- H6 t% [( j- ]7 T/ `4 g5 i' m                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0
0 @2 @8 c; ^  o6 u, t
5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
+ v. l; r0 K; m4 p1 G/ Z6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
8 ?& A( |" f7 b3 N9 |/ a/ B                             v=4*h*w*δ/δ0^2
# X, y3 r2 M  `3 @! W" r                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        减速段：
; _- K+ n5 `" A) Y                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
# p: U5 H" F/ d5 }& m- G                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
. o. x$ p+ n2 f( Z                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
1 P1 n( ~0 @0 E8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
5 Z  z) j; h, p: {  H7 i" z$ E* E                        T=t/th   
                        S=s/h   
7 x' }0 r& F. }+ i9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
: l9 D5 O/ N6 d" n   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
* z- R) u, T- C; O& f/ T   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
# n: m" X7 D( a6 B                     加速度段：
/ @% e- i+ Q# X                              S*h=2*h*T^2
! B$ [* ^- Y- z8 W% M) T" y      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
                             无量纲 V=4*T
                             无量纲 A=4
2 U5 ?* y0 N. |- E) h12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
+ ^: G5 T5 Y, ]     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
! J0 X3 j/ X- n& z& O4 n9 a# [. W     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
2 v2 C$ Y1 s, j; m1 U                           
# a4 @4 w1 z0 i) ?* ]9 M( g3 O                           

            
3 r+ x) D- n- ]' d& Z

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
( t  J( O9 z  z( d4 u大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
9 L/ m! ]+ G2 {8 K" [* E1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

1 u9 H2 d1 A( }- }非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
# r. E# w7 A% V9 [1 V) X经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
" g! L/ u) k6 Y米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
' s) E* F# C, X9 L5 v+ b角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
$ D* w& F- }, Q# a  G我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。