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请教:关于凸轮无因次方程的问题

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发表于 2014-11-17 15:40:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luxiang821 于 2014-11-17 15:47 编辑 % _3 [* J6 \# h
  M3 |8 D# j  y2 Q6 e/ m. C. {
看了坛子里大侠都在高谈凸轮,小菜鸟也想附庸风雅一下,找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化,就理解不了了。下面是无因次参数定义

/ v4 g7 W' @9 S) R7 ^1 t# ?: {1 `! @; ~9 z, \* U! H
对于等速运动用运动学基本公式,可以推出
) W( K2 F1 e. i: r% c: M. V+ v9 E2 \7 V- h. j
8 |! t( |$ N. D% f% w. H
但是对于等加速度运动的描述
4 |/ O  K5 G0 G# q/ l/ I9 W5 B' J1 P: u
却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事,请大婶不吝指教。' |3 h6 B0 T1 V! h, f
这还只是基本曲线都搞不定,后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

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发表于 2014-11-17 16:27:25 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2014-11-17 16:45:32 | 显示全部楼层
海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
6 A9 _9 }8 @$ M9 x无因次化,也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程,《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

  ~% b  u! p* n/ ]  T大侠,你在论坛上分享过这本书,我也下载了,英文太差,所以先看的中文的凸轮书籍,捧佛脚也来不及了' B$ N) a8 @0 I% H8 ?
大侠能否指点一二啊,偏微分也得有微分方程不是,我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J5 }# Q5 [1 S$ [" R; A' D7 b2 i
由S函数对T求导,得出V、A、J,很好理解,问题是S函数怎么来的呢,拿我举例,等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢?, v; |+ U3 V5 s
还请大侠帮忙解惑?- m$ y5 j+ l, m( z. t1 M

点评

至于为什么是S=2T^2?刚刚俺说了,S是未知的.对于等加速,已知A=4,对A(T)就积分可得V=4T,对V(T)求积分就是S=2T^2.不知这样说,是否讲清楚了点。  发表于 2014-11-17 21:41
此外,也有的是B样条拟合差值。  发表于 2014-11-17 21:08
所以从设计上来讲,玩凸轮,实际上就玩的S曲线的数学模型。而该模型除了书上可查的之外,特殊场合需要根据工况自己推。所以多项式有3次、5次、7次……;三角函数、梯形函数、还有拼接函数等等。  发表于 2014-11-17 21:07
S曲线就是你所要求的目标曲线。V\A\J就是评价该S曲线优劣的指标。有时设计人员需要对V\A有具体数值要求。而目前书上可查的S曲线都是曲线中的特例,因为可以用数学模型具体描述。而该数学模型就是凸轮的核心。  发表于 2014-11-17 21:03
我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。看完数学,再来理解这些公式,你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会,看老师写得满满的公式,天书一样。  详情 回复 发表于 2014-11-17 20:53
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发表于 2014-11-17 20:53:34 | 显示全部楼层
luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
5 O  h& }: F9 f! ?大侠,你在论坛上分享过这本书,我也下载了,英文太差,所以先看的中文的凸轮书籍,捧佛脚也来不及了  f3 S$ s$ q9 d% h% i2 M) t
大 ...

' u$ N- d& T; C) |我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。看完数学,再来理解这些公式,你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会,看老师写得满满的公式,天书一样。后来陪同学一起考研,把数学又研究了一下,再看这些曲线方程,一下子就明白了。
0 U1 ~& \0 }7 y4 {. [6 R

点评

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍,个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中,如何减小冲击(函数的连续光滑可导性等若干问题),惯量以及的问题。还有就是力学分  详情 回复 发表于 2014-11-18 17:03
大侠我也知道需要数学知识,这么说也太宽泛了,能否针对我这个具体问题给出具体建议,我刚开始自学凸轮,还请指教,谢谢!  发表于 2014-11-18 11:09
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 楼主| 发表于 2014-11-18 11:06:21 | 显示全部楼层
按hoot6335 大侠的说法,是先有的V、A、J要求才推出的S函数,顺序和我理解的是反的。" N, `: Q3 N3 V5 v) N" b( t' i
那还请教hoot6335 大侠,A=4又是怎么来的呢?而且是最小,为什么不能有A=2或者A=37 h% j$ [- I, b
或许我的问题太小白了,刚开始自学凸轮理论知识,还请大侠指教!@hoot6335   
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发表于 2014-11-18 13:32:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 hoot6335 于 2014-11-18 13:48 编辑 4 W& m' X, u  W3 y. n6 T$ c$ `  x
luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06 6 X3 i2 X  Q/ Z9 ?
按hoot6335 大侠的说法,是先有的V、A、J要求才推出的S函数,顺序和我理解的是反的。6 P3 a* }6 q' T2 s/ j( w; m
那还请教hoot6335 大 ...
/ m  _5 d9 y% ?) ]; o5 S

, z" N3 n6 _4 @9 A. M8 L4 J1 A大侠,关于理解顺序的问题,说明如下:4 {) p9 n! i- o/ w9 n
1.对于设计一个凸轮机构来讲,在没有现成参考借鉴的情况下,到底“采用何种运动规律才更合适?”这是设计人员最终要解决的问题。8 T1 g3 p9 Y6 U% Q/ n/ `. ~
2.现有的几大系列的运动规律主要是:多项式、三角函数以及拼接函数(其他曲线比较特殊不在讨论之列)。0 s' {. E5 B( f
3.要解决以上三大系列的运动规律,都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。; B4 z4 T: W- a/ T* h* u5 V
4.明白了以上3点,那么现在就可以理解我讲的“先有V\A,再有S”的目的——对于某一设计实例,要先分析该设备对凸轮有哪些要求:除了基本的A连续外,需要对V有控制吗?此外,有没必要J也需要连续?等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后,画出加速度A的草图,并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后,根据“A的数学表达式”,对时间T求积分,推导出S曲线。& j+ l+ ^/ R9 o% y( U+ v) W
5.关于”理解顺序“的问题,可能并不是大侠关心的主要问题,俺说这么多就够了。
% r- g; ~1 V! ^: ]( t3 b0 R$ O  Y# u! P
回到本贴,大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下:
# W4 h$ k4 J0 M& @6 [8 ?/ A1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式,而不再需要根据A来倒推。
" z6 b$ J& Z& C! f2.”2次多项式“的通用表达式为:s=C0+C1*δ+C2*δ^2
( Z  h/ m+ G, D9 ^3.对s(t)分别求一次导数,二次导数,可以推出:
* P! G3 E9 S  f                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
/ T9 h* k, o! Q0 z+ U% ]6 ], B- O9 t( d                                           a=2*C2*w^2% C5 y# ~( o4 R7 L! c, v2 M5 f+ z, r
4.已知边界条件(前提假设:加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。):
& d" j  g$ P* F! }4 v& N                       加速段边界条件:, {* `' a+ R. ]; s# b
                            在起始点     δ=0,s=0,v=0) C* u- \5 j; g! U9 d; \
                            在终点        δ=δ0/2,s=h/2+ [2 h7 Y+ l" F; e3 e
                        减速段边界条件:
+ j6 Z* x! ^# [. z& c                             在起始点     δ=δ0/2,s=h/29 d1 n- g, p/ l* L/ `. w
                             在终点        δ=δ0,s=h,v=0
  j0 G$ k# G% f) E" g0 _. t0 Y, {0 L; u: c+ D5 ?* Z; k5 }
5.把4代入2和3,可以求出各段的C0、C1、C2的值
/ f6 l; e) w) Q5 P* \$ ~8 Q6.所以,”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数:
$ f5 X1 o' J$ o$ S                        加速段:
+ R; D) I" n# e2 W" |. s- T                             s=2*h*(δ/δ0)^2
+ M  _* |* c4 P: P                             v=4*h*w*δ/δ0^2
" |5 |+ z! a& W' m                             a=4*h*(w/δ0)^2
! _) B* D" Z4 e* l" @, ?2 u                        减速段:
  l# \& r5 l& p$ K* w. ]                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
! F7 s" i( t$ J  W* ?- J) Q                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2, L0 l6 q& n9 O. j- O3 m; z
                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
: z6 j/ n8 \) a" y; Z% e  W7.注意,以上都是有量纲的公式,下面开始无量纲化。
9 D0 u) j( @2 f: K3 f, U8.定义无量纲 ,注:大写字母为无量纲,小写字母为有量纲。th:整个位移S升程h所用的时间,, o. W0 z7 L( j& _- \9 t
                        T=t/th   
, [, `' k% p; p1 S6 A  b" a, X                        S=s/h   
. W& E( {4 Z) D" |1 Y( l$ ]1 u9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ,我们发现,”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;" i0 f# ~% X+ H' b( s
   另已方面,在8的无量纲公式中, ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;0 M% M) t( r" d) e; b0 e- L3 k
   而这两者是等价的,所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中,取代”δ/δ0“,进行对S的无量纲化。. R; U( ]6 L2 z; G3 A/ i2 D, H( m( d
10.根据9的思路,同时把8中的无量纲S转化为s=S*h,代入6的有量纲公式S的表达式中,可以得到S的无量纲方程为:
& K! k' O; P2 F. h' P                     加速度段:+ V6 S% V7 H- o% `9 |) W
                              S*h=2*h*T^2' f8 `8 F$ S2 i6 L. M2 U+ n
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程* K7 ~6 o$ k! Z8 y6 O% G) Y' Y$ x
11.对S(T)分别求一次、二次导数,即可得:
6 I& d! F7 {& V! a3 F                             无量纲 V=4*T
0 E0 M# g; `5 b                             无量纲 A=4' p; n" \# [: p- ~; Q
12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程,即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
$ T, K) B$ }, ?# ~7 u! H     全手打,写公式累, 至于在0.5≤T≤1区间段,LZ可按如上思路自推导。
1 Y$ \( N' _& z  ]+ |9 [! n# J  q, p13.注:需要说明的是,本贴”等加速等减速“的假设前提是:加/减速段各占1/2,即所谓的对称。( r, k  Q- Q! P3 b$ R0 |
     若不对称呢?当0≤T≤2/3,2/3≤T≤1时,该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证,就当练手好了。
0 Z: B7 H, }: z6 O8 e4 \5 s6 X14.LZ大侠的另一个问题,”为什么不能A=2或3?“。要讲请这个问题,就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。) h$ C4 R; e" J8 C8 a
     以上纯属个人理解,若有不对之处,望海涵。1 m& V' G" j2 k: v# s" C6 h
                           : ~8 K+ C7 C5 `
                           
, _& y/ u: n/ W/ N) K7 @
& c) T, H3 l% [2 A            
# T0 V0 ]; j, x5 a5 H4 l8 G* p5 L

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 楼主| 发表于 2014-11-18 14:50:32 | 显示全部楼层
hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32 , z0 j, o6 `9 a
大侠,关于理解顺序的问题,说明如下:
4 a2 l1 s; a: L% A1.对于设计一个凸轮机构来讲,在没有现成参考借鉴的情况下,到 ...

' S+ K3 s3 [8 {! ?: @9 O3 u非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字!7 p2 i! R; L7 v5 s- \
经大侠细致解答我总算明白了,无因次方程的内在关系。
: B# q* J8 x  c! i, H+ @米fans大侠说的对,用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
& W( \+ r8 \) q: ~1 Q- _. |9 O. O看来我真得恶补一下相关数学知识,尤其我看书喜欢刨根问底,到了强迫的程度,不懂得不求甚解
/ }9 W& [- v' ~# g3 H2 a, c遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里,关于凸轮运动规律的推导也是用
; I5 Q, f: [8 [% u! W' `角度,没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢!
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发表于 2014-11-18 17:03:56 | 显示全部楼层
米fans 发表于 2014-11-17 20:53 8 c9 g* K6 V2 r) g
我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。 ...

8 {2 o# {* z2 x/ ?' Z( G相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍,个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中,如何减小冲击(函数的连续光滑可导性等若干问题),惯量以及的问题。还有就是力学分析(比如尖端从动件受力分析时,会用到瞬心定理(这个你得明白吧,最基础的东西)。还有高速六次七次曲线、组合曲线,让你来设计,你会怎么做?怎样去优化,才能让运动更稳定,寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧,真的很有必要,磨刀不误砍柴工。

点评

慢慢学就好了。我是菜鸟,非大虾。  发表于 2014-11-27 16:23
大侠说的是,没有基础想一口拿下不切实际啊  发表于 2014-11-27 12:09
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