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请教:关于凸轮无因次方程的问题

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发表于 2014-11-17 15:40:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luxiang821 于 2014-11-17 15:47 编辑
% M1 O: J3 }5 v5 X) i0 U2 [! m; M7 B- [/ W! h/ p- _
看了坛子里大侠都在高谈凸轮,小菜鸟也想附庸风雅一下,找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化,就理解不了了。下面是无因次参数定义
# X' t1 Q9 q( s% u% f& V

( m. R  f1 o% B8 O* E- y对于等速运动用运动学基本公式,可以推出$ g1 e: h0 t: `& n* a% j

) h. s6 ~6 [: b) E& {! S& q$ \% w- S: k$ y
但是对于等加速度运动的描述
7 F! d/ F3 [  Z+ Z. t6 \) V
9 r* i0 t( F+ Y却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事,请大婶不吝指教。
+ |( v; _3 q! U0 V这还只是基本曲线都搞不定,后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

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发表于 2014-11-17 16:27:25 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2014-11-17 16:45:32 | 显示全部楼层
海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
9 l" m. m2 K( Q1 F: D7 T无因次化,也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程,《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

+ H' m! w, \5 Y' t) w& ?* N大侠,你在论坛上分享过这本书,我也下载了,英文太差,所以先看的中文的凸轮书籍,捧佛脚也来不及了- x  L0 }9 J  R7 B) d" M& t. J( W
大侠能否指点一二啊,偏微分也得有微分方程不是,我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
- ^3 P5 {7 j- x. D由S函数对T求导,得出V、A、J,很好理解,问题是S函数怎么来的呢,拿我举例,等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢?* p# J1 b7 M1 \  f: `( Y2 Q
还请大侠帮忙解惑?
! E% e, h; f& L3 c$ K9 Q

点评

至于为什么是S=2T^2?刚刚俺说了,S是未知的.对于等加速,已知A=4,对A(T)就积分可得V=4T,对V(T)求积分就是S=2T^2.不知这样说,是否讲清楚了点。  发表于 2014-11-17 21:41
此外,也有的是B样条拟合差值。  发表于 2014-11-17 21:08
所以从设计上来讲,玩凸轮,实际上就玩的S曲线的数学模型。而该模型除了书上可查的之外,特殊场合需要根据工况自己推。所以多项式有3次、5次、7次……;三角函数、梯形函数、还有拼接函数等等。  发表于 2014-11-17 21:07
S曲线就是你所要求的目标曲线。V\A\J就是评价该S曲线优劣的指标。有时设计人员需要对V\A有具体数值要求。而目前书上可查的S曲线都是曲线中的特例,因为可以用数学模型具体描述。而该数学模型就是凸轮的核心。  发表于 2014-11-17 21:03
我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。看完数学,再来理解这些公式,你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会,看老师写得满满的公式,天书一样。  详情 回复 发表于 2014-11-17 20:53
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发表于 2014-11-17 20:53:34 | 显示全部楼层
luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45 , E8 M0 R* `6 A# {4 L
大侠,你在论坛上分享过这本书,我也下载了,英文太差,所以先看的中文的凸轮书籍,捧佛脚也来不及了% n7 x- _" S/ b/ R( {
大 ...

6 N9 U/ F8 u% o: [0 |9 H6 L$ k& ~我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。看完数学,再来理解这些公式,你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会,看老师写得满满的公式,天书一样。后来陪同学一起考研,把数学又研究了一下,再看这些曲线方程,一下子就明白了。
6 c7 G0 I2 x0 J, ^" q" Z7 L9 ^

点评

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍,个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中,如何减小冲击(函数的连续光滑可导性等若干问题),惯量以及的问题。还有就是力学分  详情 回复 发表于 2014-11-18 17:03
大侠我也知道需要数学知识,这么说也太宽泛了,能否针对我这个具体问题给出具体建议,我刚开始自学凸轮,还请指教,谢谢!  发表于 2014-11-18 11:09
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 楼主| 发表于 2014-11-18 11:06:21 | 显示全部楼层
按hoot6335 大侠的说法,是先有的V、A、J要求才推出的S函数,顺序和我理解的是反的。
! G! {/ F1 @3 I% k那还请教hoot6335 大侠,A=4又是怎么来的呢?而且是最小,为什么不能有A=2或者A=3
0 T$ r0 h  d) h& C  b, q3 e或许我的问题太小白了,刚开始自学凸轮理论知识,还请大侠指教!@hoot6335   
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发表于 2014-11-18 13:32:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 hoot6335 于 2014-11-18 13:48 编辑 6 {$ s; i5 J+ K0 x
luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06 ( t- T8 |5 Y. E; d5 Z' I
按hoot6335 大侠的说法,是先有的V、A、J要求才推出的S函数,顺序和我理解的是反的。
+ U! p0 V8 Z; r5 n. V) [那还请教hoot6335 大 ...

! K" N0 K$ p6 B7 l. y* f3 F; B1 n( K" m' a! r! }
大侠,关于理解顺序的问题,说明如下:
6 b( Q' c+ r: [* B1.对于设计一个凸轮机构来讲,在没有现成参考借鉴的情况下,到底“采用何种运动规律才更合适?”这是设计人员最终要解决的问题。! a$ U3 L9 i6 n  c
2.现有的几大系列的运动规律主要是:多项式、三角函数以及拼接函数(其他曲线比较特殊不在讨论之列)。
, C  {7 p1 t+ N$ _* Y; {4 ?) W8 o% R3.要解决以上三大系列的运动规律,都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
8 N8 v6 s, f  U+ U3 p/ F4.明白了以上3点,那么现在就可以理解我讲的“先有V\A,再有S”的目的——对于某一设计实例,要先分析该设备对凸轮有哪些要求:除了基本的A连续外,需要对V有控制吗?此外,有没必要J也需要连续?等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后,画出加速度A的草图,并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后,根据“A的数学表达式”,对时间T求积分,推导出S曲线。, |# m, N* Q1 m, F+ b5 n
5.关于”理解顺序“的问题,可能并不是大侠关心的主要问题,俺说这么多就够了。
# l7 X! Z9 R3 W. w0 M9 [3 L, x4 G/ C7 o9 h- Y" C
回到本贴,大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下:
. O" L- b- j" P# g) W) ?, ]1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式,而不再需要根据A来倒推。7 S* e  B& x. G8 K! D  G
2.”2次多项式“的通用表达式为:s=C0+C1*δ+C2*δ^2; q  z  G/ k7 P5 S1 i  `/ r; }8 }% S
3.对s(t)分别求一次导数,二次导数,可以推出:
* J% O2 \( `3 w% C( Q                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
+ x( w4 W* P& ~1 s  H/ w                                           a=2*C2*w^2
9 i+ y& p* X* z* ~4.已知边界条件(前提假设:加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。):
. Z* b7 K, t! S5 A- g1 }5 _. Q                       加速段边界条件:
. \" d2 _# t% t8 O                            在起始点     δ=0,s=0,v=0# m  k2 M1 r- F3 W: H$ b# [
                            在终点        δ=δ0/2,s=h/2
9 ]% K/ P+ B( p0 A+ R2 T) {" Z' N                        减速段边界条件:
2 C+ J& j% M% J7 p                             在起始点     δ=δ0/2,s=h/2/ k& ?* o1 K, u* E) F  N8 t
                             在终点        δ=δ0,s=h,v=0
2 x: H: c( x, V$ ^% w' `. H& {4 B% b) @) C! [  E
5.把4代入2和3,可以求出各段的C0、C1、C2的值" ?2 F$ A2 {6 ]. z# O. Y" a
6.所以,”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数:& d9 e7 e! Q; s) X- w5 U
                        加速段:# Z& l- s( ~; b& G( U- p9 Y
                             s=2*h*(δ/δ0)^24 A* i- R" z9 t- }$ Q! P
                             v=4*h*w*δ/δ0^2: j0 U6 w4 P4 M9 G
                             a=4*h*(w/δ0)^28 Y% N; l3 x3 R; s
                        减速段:
& ^! |( J2 P5 A$ O' q% x                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)7 L1 x7 k+ ~% {4 G' Z; L
                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
8 P8 U' R2 ]) |0 d                             a=-4*h*(w/δ0)^2      + C. H" a# p# y
7.注意,以上都是有量纲的公式,下面开始无量纲化。
" X1 i5 y+ \1 j# n8.定义无量纲 ,注:大写字母为无量纲,小写字母为有量纲。th:整个位移S升程h所用的时间,
" {: Y& p2 ]0 R$ A* a$ ~: d6 \                        T=t/th    8 a4 P0 z. P4 A9 J
                        S=s/h   
$ f: L% s9 ]+ @: D- k8 t9 ^3 s9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ,我们发现,”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
9 ?0 L6 |7 F! u* E* h/ j   另已方面,在8的无量纲公式中, ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
/ ?  S4 [- r; h/ k   而这两者是等价的,所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中,取代”δ/δ0“,进行对S的无量纲化。  C0 o0 @0 L4 H0 a- P* o( Q# B
10.根据9的思路,同时把8中的无量纲S转化为s=S*h,代入6的有量纲公式S的表达式中,可以得到S的无量纲方程为:" D+ |. t# o# e/ @. o3 A
                     加速度段:5 G! }5 p& m. g7 Y+ K
                              S*h=2*h*T^2
% r+ B3 q3 e4 G) J! ]      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程8 p7 l* ]3 k  ]
11.对S(T)分别求一次、二次导数,即可得:! [/ o8 W* ]! b3 N" f
                             无量纲 V=4*T( S6 v( s- g! f+ l8 ]' o# ^
                             无量纲 A=4
  _9 g" `4 N4 N+ W. Y12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程,即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。4 N/ o7 G5 p" B$ o' }5 ^
     全手打,写公式累, 至于在0.5≤T≤1区间段,LZ可按如上思路自推导。* h6 x) ?. _8 |& f+ _2 [  ^
13.注:需要说明的是,本贴”等加速等减速“的假设前提是:加/减速段各占1/2,即所谓的对称。
7 x6 B$ V4 A7 B     若不对称呢?当0≤T≤2/3,2/3≤T≤1时,该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证,就当练手好了。
. Q+ U1 V8 ~+ @% v" q9 Z- b( b; \14.LZ大侠的另一个问题,”为什么不能A=2或3?“。要讲请这个问题,就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
# I0 l7 q; r* b8 g" T, ~* W     以上纯属个人理解,若有不对之处,望海涵。
0 [/ d& [: m& _8 g" ]9 X( K# J2 D. Z" V                           
( W3 V/ u2 ^5 U9 b- P* d6 r                           
2 r4 }, P3 u) _: r' @: @5 S5 H; R! t# p' V) R% k
            7 P9 F  F$ n' v3 @: b% f9 m

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 楼主| 发表于 2014-11-18 14:50:32 | 显示全部楼层
hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
: t* Z0 S* e8 |8 E. }大侠,关于理解顺序的问题,说明如下:, t! J; E: D: U2 F; u; c
1.对于设计一个凸轮机构来讲,在没有现成参考借鉴的情况下,到 ...
$ A6 ]8 w: [( U2 n% x  M
非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字!& m( k/ e% O" o& O+ e; R
经大侠细致解答我总算明白了,无因次方程的内在关系。' u- }) i" W" I3 L7 z
米fans大侠说的对,用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
( A, `* w: q1 K# i% l看来我真得恶补一下相关数学知识,尤其我看书喜欢刨根问底,到了强迫的程度,不懂得不求甚解
# H) j# J2 a1 F3 i/ v4 ~9 V% h遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里,关于凸轮运动规律的推导也是用
0 T& {" l: S6 ]7 i' m角度,没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢!
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发表于 2014-11-18 17:03:56 | 显示全部楼层
米fans 发表于 2014-11-17 20:53
5 y4 k, k/ f- d4 o% E( j$ x我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。 ...
: z8 L* M2 @- c+ ]  R
相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍,个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中,如何减小冲击(函数的连续光滑可导性等若干问题),惯量以及的问题。还有就是力学分析(比如尖端从动件受力分析时,会用到瞬心定理(这个你得明白吧,最基础的东西)。还有高速六次七次曲线、组合曲线,让你来设计,你会怎么做?怎样去优化,才能让运动更稳定,寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧,真的很有必要,磨刀不误砍柴工。

点评

慢慢学就好了。我是菜鸟,非大虾。  发表于 2014-11-27 16:23
大侠说的是,没有基础想一口拿下不切实际啊  发表于 2014-11-27 12:09
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