请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

, L; z0 L1 A9 |& ^8 \8 C" u
) q: x6 ^1 ?9 o2 z5 J: Y8 x

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

' i; r3 j1 I* B+ Y  L* Q- w# v对于等速运动用运动学基本公式，可以推出
/ k  b& |+ L# X8 b& S4 {  Y

但是对于等加速度运动的描述

; z4 x+ e: C# H$ @却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
) a& [% Q# i) a这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
) o7 Y8 D2 x' h/ F$ @由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
6 W- q/ W9 Y, x4 p还请大侠帮忙解惑？

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大 ...

+ P5 ^9 {/ a; c  A我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
5 q8 n% J% ?$ k3 x那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

( w; }' R3 G% W

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
, I* @# L- d8 k. ~按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大 ...

" v; w3 [3 ^7 G$ |& ~; e
大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
$ |+ c* O  I: w2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
( `( {$ d" @) P1 ^* i6 q& T. d4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
; Q/ W8 P5 ]6 g2 t7 U5 P* I5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。
3 Z* q) }, b9 K; I, |
$ S5 m0 n4 I5 a3 n/ X" U! n回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
; y2 u) m% z/ k9 {" C8 j; N7 q2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
5 Y$ |4 G' }6 e" j% K$ ~+ {3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
, z( ^5 P8 ]% ~4 o! [7 E1 M2 \3 c4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
- B- f2 m: G6 |( K                       加速段边界条件：
3 O: h6 H2 d$ A" z% P                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
9 P4 d, z4 o; p+ `7 \3 U                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
% q- I( F: g2 Q                        减速段边界条件：
8 F0 b9 z7 H6 B  D% M' Q9 \9 E                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0
, v- w( H: B, ]5 i/ A
) q  Y+ w. B9 W  L# z+ ^5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
1 v& H0 h5 z) c/ B, l- u- |                        加速段：
$ ~* S5 X6 U5 C$ v                             s=2*h*(δ/δ0)^2
; \9 V4 Y! K5 l$ d4 k                             v=4*h*w*δ/δ0^2
& R9 }5 ]: v) c4 G) p9 L                             a=4*h*(w/δ0)^2
                        减速段：
; h8 r- E+ Y" N: n& w+ h- Z6 Q- S7 M                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
" J3 u  V6 U8 x; z                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
7 B, S9 [+ V6 \  e/ R( E3 _* ?                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
+ d' g$ D, c: |2 j$ L  G  y8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
* R; P! W) {$ ?4 O/ B* U2 W                        T=t/th   
* I6 `& T+ ]1 o9 m. k: H/ |: S                        S=s/h   
/ B3 I9 e! [; I. k3 t* V9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
2 d$ C; {- T+ _& [0 `   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
  I+ z1 ]5 F, z+ G                     加速度段：
) a; S+ b, X! C2 f  X! t                              S*h=2*h*T^2
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
                             无量纲 V=4*T
" ^6 A, I3 }# X1 n. j, W! N" \- g                             无量纲 A=4
& R0 Q$ l! W  ^% g/ `  k# U# e12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
6 p$ m1 L3 O8 |2 E4 K     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
) ^5 \" t: Y: a8 ~" ]     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
0 G, i( W0 [" v1 _' ?14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
                           
8 B5 D3 N, a) M0 y- U" _+ y5 e+ A, f4 @                           
4 `  {7 P+ q  \2 G
- ~$ z& B9 {, U8 V. W9 C0 b            
8 ^! R  e5 c1 O4 v" J' a

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
6 d; W7 T% b; H9 @$ ]大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
' k) r5 R6 j! C6 V5 s1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
* p( r% D" n+ t, k( I1 s经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
6 ?1 U* B% i0 l/ l! y3 o2 N* `角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。