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在传统逻辑中,公理是没有经过证明,但被当作不证自明的一个命题。因此,其真实性被视为是理所当然的,且被当做演绎及推论其他(理论相关)事实的起点。当不断要求证明时,因果关系毕竟不能无限地追溯,而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单,且符合直觉,如“a+b=b+a”。( ^ \3 ], q2 q6 _0 H3 G
不同的系统,会预计不同的公理。例如非欧几何的公理,和欧氏几何的公理就有一点不同。比如说我们看欧式几何。在几个简单的公理假设下,我们可以得到一系列的结论,很多是深刻的,甚至是反直觉的。在建立这个模型之后,一个重要的问题就是我们需要几个公理来建立这个模型。比如欧式几何的每个公设是可以由其他公理得出的一个定理/结论?还是必须也是一个公理?- d- c7 b8 f+ n% L7 B- Y
比如欧式几何里“过给定直线外一点,有且仅有一条直线与之平行”在很长时间内是不清楚它的位置的,后来发现对于欧式几何,你可以认为是这个体系的“公理”,只有认定它,才有后来的美妙结论。0 L; r) q( Z4 [: |$ j7 H! [* T
没有它呢?那时你就进入了另一个模型,你会得到其他的美妙结论:)
% W, i# Z( j1 W9 e3 i1 Z( q" N所以,在不同的公理假设下,我们得到了不同的数学体系,以此为基础,我们就可以得到对现实和对数学本身的各种模型。这种公理化的一个好处是,当你觉得现在的数学模型并不适合现实,或者并不满足理论发展需要时,有可能只是你假设了太多的公理前提,换一套公理,换一套前提,你就能得到很不一样的数学体系,原本的困难可能就很容易解决了。
0 r! A1 i' o- v! l不证自明性是公理的特点,这也是为什么数学家质疑欧几里得的第五公设——平行公理的原因,平行公理看起来并不象其他几条公理一样明白了当(比如第一条公设:任意两个点可以通过一条直线连接),而非欧几何的建立,也正说明了第五公设的不必要性。2 D, ~" }0 X& p
从一方面说,公理也可以看作是对于一些一般经验的总结,这些总结是无可争议的正确的,还用第一公设说,“任意两个点可以通过一条直线连接”不管这直线如何定义,总之两点之间可以连出一条线(天知道在哪一维空间里就是一条直线叻?),这既符合直觉,也是简单明确的事实。3 O2 R: u* _+ f/ _: K9 {* c/ I
从数学逻辑的角度,要证明一个定理就要证明导出这个定理的定理,进而要证明导出导出这个定理的定理的定理.......这样一直往回走,我们需要证明一个定理串,如果这个过程无限回溯显然是不可接受的,必须要有一些“东西”作为这个定理串的源头,回溯的过程终止与这个源头,这个源头我们就说它是“公理”,当然如果这个源头与某条已知公理违背,则这一串就都是假命题了。
+ m% v9 {7 x5 l& m8 d s扯远了,回到公理上来,形式主义数学家如希尔伯特,就通过建立形式化公理体系,把数学带到了一个更加严密的世界中来了。每一套公理体系中的公理,必须互相独立,且相容,否则就有矛盾了。所以一个公理背后是一套公理体系,这样就构成了一套数学的基础。
% S% c/ p& F* w) k8 k+ }数学的图景也没有那么统一的,一套非偶的公理体系,就一个非偶几何空间(当然希尔伯特老先生的几何公理体系吧几何学统一了.....可不可以不要这么强大嘛~~);一个连续统假设,分出两个数学的世界,$ J# q# N8 l3 Q' f
总之公理,公理体系,就是数学的的底桩。+ o$ l2 Z6 i1 L" D
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点评:
: f _, i7 U, i! W8 p7 B那问题就来了,三角形的内角和为什么是180度9 ~ r; ~% C& E. O% g
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