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公理——数学的基础

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发表于 2014-10-16 11:19:52 | 显示全部楼层 |阅读模式
在传统逻辑中,公理是没有经过证明,但被当作不证自明的一个命题。因此,其真实性被视为是理所当然的,且被当做演绎及推论其他(理论相关)事实的起点。当不断要求证明时,因果关系毕竟不能无限地追溯,而需停止于无需证明的公理。通常公理都很简单,且符合直觉,如“a+b=b+a”。( ^  \3 ], q2 q6 _0 H3 G
不同的系统,会预计不同的公理。例如非欧几何的公理,和欧氏几何的公理就有一点不同。比如说我们看欧式几何。在几个简单的公理假设下,我们可以得到一系列的结论,很多是深刻的,甚至是反直觉的。在建立这个模型之后,一个重要的问题就是我们需要几个公理来建立这个模型。比如欧式几何的每个公设是可以由其他公理得出的一个定理/结论?还是必须也是一个公理?- d- c7 b8 f+ n% L7 B- Y
比如欧式几何里“过给定直线外一点,有且仅有一条直线与之平行”在很长时间内是不清楚它的位置的,后来发现对于欧式几何,你可以认为是这个体系的“公理”,只有认定它,才有后来的美妙结论。0 L; r) q( Z4 [: |$ j7 H! [* T
没有它呢?那时你就进入了另一个模型,你会得到其他的美妙结论:)
% W, i# Z( j1 W9 e3 i1 Z( q" N所以,在不同的公理假设下,我们得到了不同的数学体系,以此为基础,我们就可以得到对现实和对数学本身的各种模型。这种公理化的一个好处是,当你觉得现在的数学模型并不适合现实,或者并不满足理论发展需要时,有可能只是你假设了太多的公理前提,换一套公理,换一套前提,你就能得到很不一样的数学体系,原本的困难可能就很容易解决了。
0 r! A1 i' o- v! l不证自明性是公理的特点,这也是为什么数学家质疑欧几里得的第五公设——平行公理的原因,平行公理看起来并不象其他几条公理一样明白了当(比如第一条公设:任意两个点可以通过一条直线连接),而非欧几何的建立,也正说明了第五公设的不必要性。2 D, ~" }0 X& p
从一方面说,公理也可以看作是对于一些一般经验的总结,这些总结是无可争议的正确的,还用第一公设说,“任意两个点可以通过一条直线连接”不管这直线如何定义,总之两点之间可以连出一条线(天知道在哪一维空间里就是一条直线叻?),这既符合直觉,也是简单明确的事实。3 O2 R: u* _+ f/ _: K9 {* c/ I
从数学逻辑的角度,要证明一个定理就要证明导出这个定理的定理,进而要证明导出导出这个定理的定理的定理.......这样一直往回走,我们需要证明一个定理串,如果这个过程无限回溯显然是不可接受的,必须要有一些“东西”作为这个定理串的源头,回溯的过程终止与这个源头,这个源头我们就说它是“公理”,当然如果这个源头与某条已知公理违背,则这一串就都是假命题了。
+ m% v9 {7 x5 l& m8 d  s扯远了,回到公理上来,形式主义数学家如希尔伯特,就通过建立形式化公理体系,把数学带到了一个更加严密的世界中来了。每一套公理体系中的公理,必须互相独立,且相容,否则就有矛盾了。所以一个公理背后是一套公理体系,这样就构成了一套数学的基础。
% S% c/ p& F* w) k8 k+ }数学的图景也没有那么统一的,一套非偶的公理体系,就一个非偶几何空间(当然希尔伯特老先生的几何公理体系吧几何学统一了.....可不可以不要这么强大嘛~~);一个连续统假设,分出两个数学的世界,$ J# q# N8 l3 Q' f
总之公理,公理体系,就是数学的的底桩。+ o$ l2 Z6 i1 L" D
) c1 M6 v/ D0 [2 |7 t3 p
点评:
: f  _, i7 U, i! W8 p7 B那问题就来了,三角形的内角和为什么是180度9 ~  r; ~% C& E. O% g

2 f4 _1 @% B! ]* J" x
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发表于 2014-10-16 11:58:24 | 显示全部楼层
倒时差中,无聊ing  x9 N: y1 {$ K  |$ ^$ `' [
证明:任意三角形内角和为180°+ ^1 o- Q4 V* K1 N0 [6 @7 ~; R
证:设三角形三端点为A,B,C,其对应边为a,b,c; |1 d) i$ `+ Q& v3 Y
       通过A点做一条直线l,使 l 与边 a 平行
! `, R0 V* T7 m& |: `      由平行线定律可知,角BCA与角CAl 相等,角CBA与角BAl 相等
  ~! z; l  A; [) B5 H- j      由图中可知,角CAl+角BAl+角CAB组成直线l
' `9 C2 i5 E* _+ x3 N/ e5 p9 b( t      由公理:直线夹角180°,& W8 E/ ^# s( D( l/ y/ n2 A0 S
      可知任意三角形内角和180°/ B; Z* H: w: X# o+ z) D
证完$ N% e6 I# v' A
6 r% v, Z" n5 h" r3 J; |- l
l 是双向的,所以其实这个证明不完整,懒得再画图了,就这样吧。
% W" o* S% y! f* [3 d今儿个我真闲,哈。

点评

在那个帖子我用图证明完了,还是大侠更快。不过他说不是他想要的  发表于 2014-10-16 12:33
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发表于 2014-10-16 12:08:48 | 显示全部楼层
大虾好功力
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发表于 2014-10-16 12:54:52 | 显示全部楼层
建议大家参考维基百科---球面三角学.
* v! ?8 T$ \! [: R6 }: F" Phttp://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%90%83%E9%9D%A2%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%AD%B8
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发表于 2014-10-16 12:57:43 | 显示全部楼层
三角形的内角和是180度 是定理而不是公理。& l% E2 z% ?* ]1 ?- t3 N
这个不用解释。

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O(∩_∩)O~ 这个纠正的是  发表于 2014-10-16 13:34
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发表于 2014-10-17 11:55:33 | 显示全部楼层
还有基本概念也是数学的基础。
/ M4 }8 ~$ e4 Y# W7 [% _就拿咱们熟悉的欧氏几何为例,在定义、公理的基础上,才能推出后面的命题。$ m- s7 p/ X' h. _3 a! u9 W
定义就是概念。
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发表于 2014-10-17 21:54:36 | 显示全部楼层
学习了
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发表于 2014-10-18 10:46:37 | 显示全部楼层
我怎么记得上中学的时候老师给过证明
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发表于 2014-10-18 16:07:14 | 显示全部楼层
学习!!
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发表于 2014-10-19 08:51:54 | 显示全部楼层
这个问题画个图出来看很明显就能证明,前提是认可平行线定理,当然也可以先求证平形线定理。
+ u1 j9 {5 f9 @# ~7 C- m看到楼主的问题让我想起来高中时候的一个问题:1/3=0.33333…………无限循环根据等式定理两边同乘以3得出的是3/3=0.99999999……无限循环,那么问题来了:1=0.99999……无限循环是怎么解释的?!

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微积分  发表于 2014-10-19 20:56
这只是当时闲暇的一些数字游戏,没有人说无限循环小数不能做乘法运算啊。  发表于 2014-10-19 11:29
0.33333…………x3=0.9999.......? 无限小数能做乘法么?  发表于 2014-10-19 09:21
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