如果不是数学狂热分子，建议你别搞测度论

zerowing

看完通篇也是一项庞大的工程。不过感觉整篇描述的“测度”是一个如何把连续和离散统一起来的方法。
里面的有些叙述很生动，但是不太严谨。比如4.22的由来那段。俺只能理解连续封闭子集的和，而如果这些子集不封闭，那也不该有4.22，即便是在直线上截取的。或者，换句话说，开子集不可测。而线段一定不是开子集。好吧，又成绕口令了。
搞数学的最后果然都是会疯的

zerowing

说点疑惑。感觉这种测度论其实变相的避开了解释如何从点到线的解释。所以，我能理解哲学家对此的不满。（笑）
6 X) S- l0 o. T" z0 k# G1 ]比如我前面说的子集问题。
1 }4 w2 d0 _4 t6 k2 ~一条线段真的能分成若干可相加的子集吗？比如，［1,10]的线段，可以分为[1,5]和[5,10]两个线段子集吗？那么这两个子集是相交的，不是吗？因为都存在5这个点。而如何写成[1,5]和(5,10]，那就表示的不是两条线段，因为后面这个子集缺少了一个端点。那么这种情况，貌似这种测度的定义就变得不那么完善了又。
) o1 a% w) y4 s( k  C2 j所以，从这方面讲，我并不喜欢这种数学上的定义。我可以理解任意一个高维度空间都可以表现低维度空间的特征，比如三维中表现一维的线段长，表现二维的面积；但你绝对不可能在一维中表现出体积和面积。这不仅仅是尺度问题。我更倾向于低维度特征是用以表现高维度特征的参考位这种说法。详细的说，低维度特征无论在哪都只表现其自身的特征，而高维度的特征只是借助低维度的特征作为一个参考位进而表现高维度的特征。
因此，你可以在三维中，以表现面积特征的面作为参考位表现出两个面参考位之间的度量特征，这个特征就是体。这跟面有没有体积特征没有任何关系，他只是一个位，如果表达成数学，就是[a,b]。面特征的参考位相当于a,b位点，而体积特征描述的是a,b之间的所有集合加成，无论是开集合还是闭集合。它并不在乎你有多少个重复位，有多少个离散点，它只在乎a和b之间的相对位置。

zerowing

换句话说，比如从点到线段，线段游低维度的点组成，但不是说线段上该有多少个点，线段特征表达只是在描述任意两个以点为参考位的相对特征。所以，这之间有多少点，多少重复都无所谓，无所谓点之间如何排列组合，无所谓连续离散。因为特征表述不同。
$ O! |' }, Z6 Y- x% m& M当然，这样的说法有点类似所谓的尺度论。

独自莫凭栏

zero有点上瘾了

阿难和松山

我了个去！！

crazypeanut

zerowing 发表于 2014-7-8 14:21
说点疑惑。感觉这种测度论其实变相的避开了解释如何从点到线的解释。所以，我能理解哲学家对此的不满。（笑 ...

“比如，［1,10]的线段，可以分为[1,5]和[5,10]两个线段子集吗？”
; B' \: I# V: J" w) Z7 z5 R: O3 ]
可以，可测集的线性可加性质

2 a* Q( ]- s/ l, N“而如何写成[1,5]和(5,10]”
2 y4 t% I( Q. b5 E1 w4 n4 w5 j/ x
一个闭集，一个开集，找本数学分析书来看，都有严格定义，顺便说句(5，10]，[5,10]的勒贝格测度都是5，去掉单点是不影响一个连续统的测度的
5 i7 H' B3 G- j7 f
! {9 g! c/ S: V; A. ?6 I# ^/ A关于高维测度，其实高维测度可视为一维勒贝格测度的笛卡尔积
8 V5 z: ?  I1 M( M7 F/ M
“比如从点到线段，线段游低维度的点组成”
! u" o+ i9 X5 v6 ^7 G! _3 c' h
& ^$ m% b- t  e7 b" e这句话是错的，点是可数集，线段是连续统，有本质的区别，不能将线段视为由点组成的。可以这么说，单个点构成的集合，测度一定是0，而线段，你可以将他视为，测度不为0的可测集的最小单位

の小南灬

pacelife

很有收获，希望楼主多发类似的文章

1032220424

太能研究了，看晕了

zerowing

crazypeanut 发表于 2014-7-8 15:05
0 q. _( c% F9 t4 i2 c“比如，［1,10]的线段，可以分为[1,5]和[5,10]两个线段子集吗？”
6 x- L, T0 H% `, l5 ~4 @
; Y5 H; ^" |- y1 {% d可以，可测集的线性可加性质

呵呵，大侠，我希望你仔细看下这个问题。这个问题不是探讨是否可加，而是探讨所谓的定义。
3 b; F$ C, V) M0 a0 ~+ ]你转的文章里有这样的一个性质：

若干个（但是至多可数无穷个）彼此不相交的子集，它们并在一起得到的子集的测度，刚好等于这些子集各自测度之和。

请注意这个彼此不相交子集的概念。如果要求的是彼此不相交，那[1,10]就肯定不能写成[1,5]和[5,10]两段，不是吗？因为子集相交了。这个不用再去看什么书去论证，因为我们只是在说集合问题。
同样的，当我们说[5,10]去掉一个端点5，于是变成了(5,10]。那么，无论他是否影响测度（其实俺不敢苟同不影响说，因为只从数学角度说没问题，但是延伸到一个整体世界角度就很难讲了，后面说），无论是否影响测度，都不代表说(5,10]可以表示一个线段。换句话说，（5，10] 和[5,10]的测度相同，但不应该是一样的东西。如果这么说没问题，那么问题就来了，按照这样的测度定义，那么一条线段就不该是若干条线段的叠加，虽然在测度上相等，但是组成新线段的各个部分并非都是线段。没错，这样说，数学上没有问题，只是无论是哲学家还是工程师都要头疼了。哈哈。
于是，再说说那个延伸到整体世界角度的问题。举个例子，大侠买了一量兰博停在门口。这是起始时间点，然后你开出去，转一圈又停回到和原先完全相同的位置，这是终止时间点。这个过程相当于这量车在四维空间中的一个变化。那么问题就来了，如果我拿掉最后一个时间点，会发生什么。其结果就是终态不可确定。那么也就是说这量兰博在最后那个时间点的变化可能是任意的，它既可能延续之前的状态（比如行使了1000米）成为一个终态（1000米），也可能跳跃回初态（0米）。这就是几乎所有幻想家所畅想的一个折叠现象。将路径折叠，初点和终点重叠而去掉终点，那么就能做到超时空旅行。但这可能吗？而如果存在这个终点，也就是有一个必然的结果，那么就一定存在初、终差异，就不可能实现所谓的超时空穿行。我们不讨论到底能不能超时空，能不能折叠，但至少通过这样的例子我们很清楚有没有这个点是完全不同的，而且其测度（或者应该换一种叫法，叫量度？）是不同的。

再回到所谓的维度上。
我们先不讨论说线段是不是由点组成，我们既不讨论其连续性，也不讨论其测度。我们换一种说法，如果存在一个线段，那么我一定能在这个线段上找到点，无论能找到多少个，但我一定能找到。因此说，点和线段之间至少构成一个必要条件关系，也就是说，存在一个线段，就一定存在线段上的点。至于是不是线段上的点的组合构成了这个线段，从测度上说不是，我也不认同它是。所以才要在那句“线段由低维度的点组成”后面加上一个限制“并不是说线段上该有多少个点”。
& L& D# L3 l8 F0 ]另外，大侠说到了可数集和连续统的区别，也因此说线段不能说成由点组成。那么存在这样一个问题又。（当然，俺数学一般，如果有错，大侠指出）因为高维度可以解释为低维度的笛卡尔积，而笛卡尔积是两个集合的积，确切的说是两个集合中的各个元素的积的集合。那么，如果这两个集合不是可数集，而是连续统，即不可数集，你该如何求积呢？之前在跟P大讨论无限小数的时候也讨论过这个问题，两个无限位的数能否四则运算。哈哈。那么这里的问题恐怕比那个还要复杂。换句话说，如果两个连续统没办法求积，那么该如何表达高维度的特征呢？当然，我们只是探讨，不能论证这种观点的正确性。
另外，也说一句，如果高维度都是一维勒式测度的笛卡尔积，那么从0维到1维的过程该如何解释？毕竟点是没有维度的。