0.999......到底应不应该等于1？

何为机械

感觉在钻牛角

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-15 09:45
呵呵，zero大侠，我试着解释下。
1. 无限小数不能四则运算，不代表不能进行不等式运算。0.111......

P大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
我说下我说的思路，首先，不等式的存在没有问题，你可以说1与0.9999...的差值小于0.1,0.01,0.001等等，这些都没问题。但是就如同说无限小数四则运算一样，这种无限小的比较你也无法找到一个最终的“右位”，不是吗？因为同样找不到一个最终的“右位”，那么1和0.999...的差值又该如何定义呢？魏先生的原话提到的是“差值”，而这个值是如何得到的才是关键。如果没有四则这个前提，那么这个差值本身也没有存在的意义不是吗？
( E) `' T8 y  g9 h* J5 I所以，我才会提到柯西，因为柯西收敛可以解释这个过程。或者说等比级数收敛也可以解释这样的一个过程。因为一个收敛的函数一定存在一个极限值。
, I3 P  N1 _& }7 c, R+ g) M) |* i呵呵。

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-15 15:08
P大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
我说下我说的思 ...

zero大侠：
# o/ n  Q3 x5 u$ r1. 不等式不需要具体的差值。比如0.2<0.2.....<0.3, 0.1<0.1....<0.2
     由上面2个不等式可以得到0<0.2....-0.1....<0.2。我不需要具体差值的定义，就能把2个无限小数的差值控制在一个范围了。
2. 实数理论确实有好几个体系，但零侠肯定知道这几个体系都是等价的。分析书上都有证明。所以“讨论一个数系，无论是原理还
  y3 ^0 ~* j5 ~: @0 a2 H# b    是论证方法，其引用最好出自一人”，我觉得没必要。
+ `7 U1 e0 ^: S6 y3 b: h1 D" C  Y
: A7 K& M+ Q: U7 _$ ?4 u" |
8 z6 H3 T, z- N( Q( ~

茉莉素馨

zerowing 发表于 2014-6-15 15:08
P大。争论点貌似已经清晰了，只在一个四则运算的存在意义上。呵呵，这么讨论挺有意思的。
我说下我说的思 ...

! C8 _+ L0 m# ]- I# d几位大侠其实都是在讨论实数系的构造
记得中科大 史济怀的书里面是用无限小数构造的实数系
而rudin的书里面，使用cauchy sequence 和 cuting 来构造的
总之，实数这个基础还是稳固的，没什么可争论的
论坛里，时不时就会有人拿这个问题出来讨论一下，哈哈

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-15 20:31
8 [* E& p5 G; m9 Gzero大侠：
1. 不等式不需要具体的差值。比如0.2

1.你这么写，本身要承认不等号两侧的可加减性的。你可以说我不用找到一个具体的“右位”去进位，但是却是在应用不等号两侧共加的性质，不是吗？如果这么写是成立的。那么这种性质跟是否应用不等式无关，只跟是否承认加减性有关。那么同样也可以写：
3 F; J. Z1 R$ u5 l2 m5 }; l1/3+1/3=0.333...+0.333...=0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n+0+3*(1/10)+...+3*(1/10)^n=0+2*3*(1/10)+...+2*3*(1/10)^n=0.6666.....=2/3
: Z  I9 \8 A2 o0 Z1 y% c也就是说，这个关系中，因为承认两侧共加的成立，所以，0.666...恒等于0.333...+0.333...。当然，你仍然可以说，只是等于，而没有进行实际的四则。那么这就是我前面说的，如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？岂不是成了双重标准？
4 R. y  \& }0 Q* O. Q4 @8 |: O; m当然，你也可以继续强调说，两个无限循环小数因为不能找到最终的“右位”，所以用有限位的四则运算不符合无限的要求。其根本在于不能进行“右位”的起始。而同样的，在进行1与0.999...的差值比较时，实际上在引入一个“右位”，即，无论你找到多小的一个位数值，（1/10)^a, a属于正整数，都一定存在这个差值b，b<1(1/10)^a，即，b一定为这个无限小值的右位，而同时隐带的一个条件就是，这个无限小值的右位如果可以被找到，就可以依次进行四则。呵呵，没错吧。
% Q# k  [. V  A8 u, P8 m/ c! ]那么这里就存在我说的要引用同一个源的理论的问题。
# U0 @& @( @; k5 F  y0 O  r' K对于通常可证的1=0.999...，其基础是实数的阿基米德性质。也就是不存在非0无穷小，这也是魏先生在用一个精确的描述“差值”的原因，“其差值小于任何一个设定的常数小值”。换句话说，这个定义一定是在基于不存在非0无穷小的基础上，讨论一个可以被设定的有限“右位”的情况。而这个就是同张先生理论冲突的地方。张先生认定了区间套，而不肯定有限位的四则，那么也就是说在这样的一个区间套中，你不能设定一个有限“右位”。所以，二者不可能同时应用的。
同样的，换句话说，你承认不等式及其性质。那么本身１-0.999....<0.1or0.01...这样一个不等式实际上是不满足本身定义的。
首先，不等比式四则形式的基本是比较不等号两侧的实数。那么你可以说1<a，a为一个实数。1-0.999...<a-0.9999...。这是成立的。而，对于1-0.9999...同0.1或者0.001这样的比较，本身则需要证明。不是吗？因为，你并不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则。那么，在不等式两边去比较一个实数值同一个算式的大小是没有意义的。这就好似我不能说砖<刀。
8 m( x- s: e, L+ X" M
8 P* F( v, L$ Z. ]! z; N& C7 I总之，大侠说的四则的运算意义，其实本身就是在讨论一个区间套。你定义出一个区间套，那么四则本身就要发生变化。你定义的是一个限位，那么四则本身就是另一个系统。所以，于我来说，我不能说服大侠接受可以四则的理论，而大侠所叙述的理论本身于我来说却相对矛盾。哈哈。至于数系是否等价，至少目前知道的有一些是不等的。比如P进数。因为在p进数中，可以证明....999.99999.....这样的无限小数是等于0的。哈哈。
. ~5 l& a" U" U: p

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 00:24
6 }  `# G, P* Y5 w8 S6 ~1.你这么写，本身要承认不等号两侧的可加减性的。你可以说我不用找到一个具体的“右位”去进位，但是却是 ...

zero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
2. “承认不等号两侧的可加减性”与“找到一个具体的“右位”去进位”怎么就矛盾了？
5 g, @, ]: N! _4 V, k* A3. 我不承认1与0.999..之间可以进行直接的四则，不代表我不能对差值的范围进行运算啊。

zerowing

Pascal 发表于 2014-6-16 10:49
- Q: p8 k9 H+ e) Tzero 大侠，抱歉，你这个帖子我没怎么看懂。
1. P进数，我没听说过，是实数理论之一么？
* s3 Q- Z4 `, g: w+ d7 F5 ~# {3 M2. “承认不等 ...

. U6 _1 P' {! u9 s) x$ D4 @P大，可能说得有点绕。
1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也紧限于知道。呵呵。但据说这个数域在前沿学科内应用很广。
2. 关于差值问题。首先，只有当你能判断相比较的两个实数的大小时，你才能判断其差值。也就是所谓在一个数轴上，你要先能判断出二者的左右关系。其次，当你能判断出左右关系后，你必须通过一个减法处理，才能得到一个“差值”。如果存在两个实数ａ，ｂ。你既不能判断其大小，又不能进行减法，那么你该如何定义和比较ａ-b这个代数式呢？这就是我在说的矛盾。
/ u* G5 K0 V+ G4 A$ j: r* Y同样的，对于1-0.99....这个算式，你既不能判断其大小，又不能进行加减法，你如何得到一个其差值小于0.1,0.01这样的结果的呢？你不要说因为他一定比0.1小这种话，因为这种说法在数学推理和证明里行不通的。你可以说，1<1.1。1-0.99..<1.1-0.99..
但却不能得到1-0.99..<1.1-1。对吗？对于这样一个不等式，0.99..和1的大小在你证明前，你是不能应用其大小概念的。
9 Y( ~$ b) |( o) }( A3 p8 y然后说右位问题，这里还要提那句，对于阿基米德性质的完备数系，不存在非0无穷小。也就是说，lim(1/10)^n=0，而不是一个找不到右位的小数。所以，在这个前提下，魏先生的比较说法，其实在说1与0.99...的差值是一个无穷小，即0，而0是一定小于你能设定的任意小的实数的。
' W1 S  G& R' c, d  J; O( U3 Y这里，我必须承认一点，在存在进位问题的无限小数运算中，这个所谓的右位其实是个麻烦。比如0.77...+0.33...。这种情况符合张先生所说的右位进位问题。但是实际上却不需要去找右位。因为这样的式子其实可以写成0.77...+0.22...+0.11...=1+0.11...=1.1...（先假设可以四则）。即实际上，这种无限小数的运算也在遵循基础的整数运算时的计算规律，比如7+4=7+3+1=10+1=11。为什么要强调这个，因为虽然我们常用的是10进制计数，但实际上存在12进制，8进制，2进制等多种记数法。所以，四则运算的进位本质上都是在分解和结合处一个个的可进位数，然后再逐位写出余数这个过程中进行的。而对于无限小数，其计算实质也是如此。虽然，对于无理数来说，这样的计算变得相当困难。比如pi。而对于这类无理数，实际运算中，多数时候都是按照有限位四则运算的。因为你不能最后只写一个4pi,5pi之类的代数。实际使用中，你是一定要有所取舍的。
0 I2 @7 d5 J  F$ O
: O; G  y$ A6 O: q

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 13:54
) N! E% k7 ^# Z5 ?$ ZP大，可能说得有点绕。
1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也 ...

zero侠，这个帖子写得很明白，谢谢！
9 D! T) p3 B7 J我还没想好怎么回复你，可否让我挂下免战牌？

Pascal

zerowing 发表于 2014-6-16 13:54
$ b: ~4 o  `3 NP大，可能说得有点绕。
1. p进数是有理数的一个扩展数域，但与常见的实数域拓展不同。不过我对此的认识也 ...

$ h  I% l% l! G/ c) Y# dzero大侠：
1. 数量比较是不需要具体差值的，也就不存在假定最右一位的说法。比如咱俩来比身高，零侠身高1.8......，我身高1.7.....。咱俩只要站一起，社友们立马就知道谁高了，但是咱俩身高具体差值他们不知道。社友们做了数量比较不等于他们计算了1.8....-1.7.....的差值。计算差值只是比较的一个手段。
8 }  T0 h8 X- e* N6 C- F2. 证明1-0.9...=0只需要证明│ 1-0.9...│ <任意给定正数就行了，数量比较不一定非要具体差值的。
3. 数学的证明，一步步都是有来历的，没有定义的运算不能算，但下面几个运算是可以的，因为有定义。

0.1....-0.1.....=0
    1x0.1....=0.1.....
    0.1.....+0=0.1.....

4. “如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。那么对于上述等式，其实质就是定理得充要推论，又缘何有无意义之说呢？”
   你这句话，我承认“如果存在一个公理或者一个定理，其存在一个充要的推论，那么这个推论就是可以被直接使用的。”
   可是2/3=1/3+1/3=0.333...+0.333...说明了什么？只能说明2个量相等，能说明无限小数直接加是可以的？
    比如：1+1/4+1/8+1/16+.....=(1+1/4)+(1/8+1/16)+.....，你能就此得出无穷项加法里结合律是可以用的么？


% Q4 N  E" o% o5 F& u% Q) e

少-侠

马克思教导我们 ：具体情况具体分析，我们要以辩证的目光来看问题
/ j2 F) H; Q! v- b( C* ]其实0.9999…… 与1二者是相互渗透相互转化相互影响。
$ f# I: |! G/ {3 V! a% }) z在一定条件下，0.99999……可以看作1 ，在一定条件下，1又可以看作0.9999……
综上 ， 0.999999……就是1  得证