本帖最后由 动静之机 于 2013-7-27 11:27 编辑
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, P @. A, i2 ~9 k原问在此，回复不多：
3 l& F: ~! T. j; d求传动比
/ l; R; W3 f6 O5 |$ Whttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=331458
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& Q, T! X* D# U& a. d, `% U单开一贴进行回复，原因： 首先，出于自私。呵呵，自己的娃儿，咋看咋好看，到理论探讨板块秀一个。 再者，没收到玉，惹到砖头，砸出点灵感，也不错。 最后，预防健忘。开个独立的帖子，将来好找 (本文末那动态gif图的旧帖就找了好久)。
8 t: c3 X& _5 x- V# Q, B) y7 [原问题可以简化（变形）成这样： . P! F9 u4 h/ g
) I: B' q. T- _: e) K3 ]
AB为齿轮1偏心量，长度为r BC为连杆1，长度为b，等于齿轮1分度圆半径R1+齿轮2分度圆半径R2 CO为连杆2，长度为a，等于齿轮2分度圆半径R2+齿轮3分度圆半径R3 OA为输入输出轴间距，长度为s ! K/ z+ D4 o1 ?
齿轮1偏心转角记为α* w' i y; w' W% Y( D M' ~" `
两个连杆夹角记为β 作辅助线OB，其与水平方向夹角为φ，与CO即连杆2夹角为θ0 G( v& U' ]7 n0 Q
过C点作水平作辅助线，与BC即连杆1之夹角记为δ 0 ]. V+ x- m9 ?3 r6 V
这个图是随便画的，和原问题不太一致，反而藉此发现了个尺寸链问题： a+b>s+r （偏心轮转角α为零度时，两连杆足够长，不然为无法连续运转） s>r+R1+R3+2m (m为模数，偏心轮转角α为180度时，齿轮1、3不得相撞) 1 ^0 x% ]9 V0 ?( y
/ J* G( |+ ^) B: n8 V: f 继续： 设齿轮3的圆心O为坐标原点，齿轮1的圆心B的坐标为（x，y），则： x=s + r Cosα ------- 1 y=r Sinα ------- 2
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3 L E3 q8 x. ]' h+ b9 J! ~$ i/ N6 }. q' {6 G( N8 L6 _
齿轮1动作可分解为绕自身圆心的转动(作为输入转速)+自身圆心沿着 偏心作平动(引起了连杆1、2角速度的变化)。 齿轮1绝对角速度为转 角的导数，记为α' 9 F1 b% {9 W& A! E: D" k4 Y3 k T6 y
6 `3 ?: M2 T# }* L& k+ ]
连杆1的绝对角速度为转角的导数，记为-δ’。为嘛是负的？呵呵。 连杆2的绝对角速度为转角和θ的φ导数之和，记为θ’+φ’ ; p. t8 `4 k" a; S0 ~! Y1 l4 \
, t, d4 p# D$ J5 m1 L$ U ^; R3 P1 N 现在，大家都站到连杆1上面来看： 齿轮1相对连杆1的相对角速度为 α'-(-δ’) =α'+δ’ 则齿轮2相对连杆1的角速度为 -u(α'+δ’)这个u是连杆1上的传动反比(z1/z2) 则齿轮2对地的绝对角速度为 -u(α'+δ’)+(-δ’) ，简记为T ) g9 g2 P- o: j: h" y; ^
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然后，大家都站到连杆2上面来看： 齿轮2相对连杆2的相对角速度为 T- (θ’+φ’) 则齿轮3相对连杆2的角速度为 -v[ T- (θ’+φ’)]这个v是连杆2上的传动反比(z2/z3) 则齿轮3对地的绝对角速度为-v[ T- (θ’+φ’)]+θ’+φ’ 3 ~ N! u* A" }" U' U& k/ p; \; h
! u o( k4 ?7 d2 A6 Z 由于原例子中u=33/30，v=30/33。如果马虎一些，可以认为u≈v≈1 于是，齿轮3对地绝对角速度可以简化为 -1[T-(θ’+ φ’)] +θ’+φ’ =-T+2θ’+2φ’ =-[-(α'+ δ’)+ (-δ’)] +2θ’+2φ’ =α'+2δ’+2θ’+2φ’ = α'+2(- β'- φ'- θ')+2θ’+2φ’ = α'-2β’ ) Q4 U) v* E3 C% ?/ P0 R% ?) F
一句话概括：输出轴的转速约等于输入轴的转速减去连杆夹角变化率的两倍。 3 D$ J" x/ p1 _# E7 X3 \6 z
好吧，如果两级的传动反比u≠v≠1，那精确结果将是：3 @& @$ h& f9 Q& l6 h' |! k0 z$ ^0 X
-v[-u(α'+δ’)+ (-δ’)- (θ’+φ’)] +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1)δ’ +vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1) (- β'- φ'- θ') +vθ’+vφ’+θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'- (vu+1)φ'- (vu+1)θ'+vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'+ (v-vu) θ’+(v-vu)φ’ = vuα'- (0.5vu+1+0.5v) β'+(v-vu)φ’ 注：θ’= -β'/2 汗 % d2 a. N8 q; V" v
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不可信？ 这就是俺发这个练习贴的原因，是对这个问题的简化: 一个简单的考题考倒一大片! ---- 续IV
4 }+ F5 _2 C- l$ e, Z% i; o心算即可解决这个简化问题，分四步操作：+ p h% b. `2 E1 w- v
1. 把摩擦轮1用绳子绑定在连杆上。无视板砖，直接把右部连杆1从水平态 顺时针折120度，直到轮1轮3接触。那么轮2跟着转了120度，因此轮3逆时针转了120度。 2. 绕轮3中心整体逆时针转60度，达到终点的位置。此时由于轮1还被绳子捆牢，因此轮3继续逆时针转60度。 3. 由于轮1 被绑住，被迫先顺时针转了120度逆回60度，因此现在解开轮1 的绳子，必须先将轮1继续逆时针转60度，才能恢复到起始位置的角度。 由于摩擦轮之间的纯滚，轮3继续逆时针前进60度。当然轮1得轻微脱离轮3，不然转不动。 4. 然后轮1继续转动(2r/2πr)360≈ 115度，以模拟滚过来的过程，那么轮3还得逆时针转115度。 因此轮3逆时针转过了120+60+60+115=355度。 : }8 z- u4 y7 v0 F: q# X+ D8 B4 Y
: h# U- _" B$ D8 N 若用前面推导的结论直接计算(因为此例干脆没有偏心的疑虑)： 轮3转过的角度等于轮1转过的角度115度减去连杆角度变化量的2倍（前面不是说转速的吗？两种转速同时积分，就变成转角啦），但因为变化率是负的(夹角减小)，所以最终又变成加喽。 即轮3转过了115-(- 2x120)=355度
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前面的证明中设了那么多参数，最后都没啥体现，有点那个小遗憾。 这和盖楼差不多，大厦建成后，脚手架就可以拆除了。。 禁止联想：帮忙打下江山了，也就该滚蛋了。。。 : \. ~2 p- n. \ P+ y" _0 G u
附：输出即时转速精确表达式里 Β和φ的导数求解过程： 2 j: }$ x% r% d. m
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大汗淋漓:L:L:L:L:L:L
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% F% O6 G0 B+ F最高转速和最低转速及其位置？ 转速式子继续求导（即角加速度），令结果为零，找到极值点时的α值，代回。。。。。。 ' l- U' Y5 ?: M' m0 N! D/ |
位置、速度、加速度图像？综合使用上述系列数据，用N多种软件绘图。
" b) V7 }- t7 _5 W; c) R感兴趣的同学继续啊~~~俺就要支持不住了。 : K' n) A+ C. _
" g! m a* i) K3 T8 T2 e6 p# x
8 j4 z; B. S5 e) O7 ] f1 B- ]4 X% H Q) Z" A5 \. I( G9 W/ G
! ], B7 A8 C3 y这是上回用这个搞笑图的帖子:+ a- Z3 Z* d' s: f( d
这个六杆机构滑块的位移能不能用函数表示出来- O& [; |" {+ [
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=2672057 n7 Y8 m- r. A9 Y' S# M' G. g
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觉得有启发的，给点支持哈~5 J& ]- u$ _ J! }+ @: z. [4 J
: C& c+ C/ t6 H; c
后记： 桂花暗香同学给了Proe模拟视频，转成GIF如下：
" a3 i* _) r' d$ p g; |: G（请注意，动画只是循环播放主动轮第一圈的情况。）/ V; }7 P4 Y4 l8 M, ~- c0 Y8 Z( p# l) G
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发表于 2013-7-20 23:01:24
，忙了大半宿，发现得返工了。
