本帖最后由 动静之机 于 2013-7-27 11:27 编辑 & q' j0 l- u+ S" K
4 T" Q& J+ [: h# Q6 |原问在此，回复不多： 2 f! S. t9 j! g# a, ]
求传动比
; x0 C# v9 I; @0 a2 p0 J8 ]http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=331458
& }' y$ _& J9 ~. @+ P
# \( N/ v& I Y8 l/ j J- b
5 H B7 X9 [0 D n$ {单开一贴进行回复，原因： 首先，出于自私。呵呵，自己的娃儿，咋看咋好看，到理论探讨板块秀一个。 再者，没收到玉，惹到砖头，砸出点灵感，也不错。 最后，预防健忘。开个独立的帖子，将来好找 (本文末那动态gif图的旧帖就找了好久)。 0 D# C0 W# U: W0 h2 f
原问题可以简化（变形）成这样： # O# S5 G& ]2 F2 c9 d
8 T) U$ P0 j, F
AB为齿轮1偏心量，长度为r BC为连杆1，长度为b，等于齿轮1分度圆半径R1+齿轮2分度圆半径R2 CO为连杆2，长度为a，等于齿轮2分度圆半径R2+齿轮3分度圆半径R3 OA为输入输出轴间距，长度为s 3 m* G' G+ h* R. Q9 O
齿轮1偏心转角记为α
, d/ y4 e6 }# i两个连杆夹角记为β 作辅助线OB，其与水平方向夹角为φ，与CO即连杆2夹角为θ
: h3 v I S Z; H+ A, \2 y过C点作水平作辅助线，与BC即连杆1之夹角记为δ $ O$ Z+ B9 W( x# U$ T$ j9 m. ]
这个图是随便画的，和原问题不太一致，反而藉此发现了个尺寸链问题： a+b>s+r （偏心轮转角α为零度时，两连杆足够长，不然为无法连续运转） s>r+R1+R3+2m (m为模数，偏心轮转角α为180度时，齿轮1、3不得相撞) ; r6 {; J. Z$ E" o$ p# f
; Z2 l4 i! v1 ^& H) T' s 继续： 设齿轮3的圆心O为坐标原点，齿轮1的圆心B的坐标为（x，y），则： x=s + r Cosα ------- 1 y=r Sinα ------- 2 , f3 \# { W$ X
( C& \! r M7 n w/ Q- ~+ [) N. F
+ C. f6 `1 t5 ]9 S, l5 n
齿轮1动作可分解为绕自身圆心的转动(作为输入转速)+自身圆心沿着 偏心作平动(引起了连杆1、2角速度的变化)。 齿轮1绝对角速度为转 角的导数，记为α'
# b+ q2 q( _/ d5 v; \. f1 v ?. G) o! d0 a1 q
连杆1的绝对角速度为转角的导数，记为-δ’。为嘛是负的？呵呵。 连杆2的绝对角速度为转角和θ的φ导数之和，记为θ’+φ’ 0 L! [) D/ U' A- _4 q7 ?9 E. h/ r
1 }0 x, b; ~$ Z+ z' h4 E 现在，大家都站到连杆1上面来看： 齿轮1相对连杆1的相对角速度为 α'-(-δ’) =α'+δ’ 则齿轮2相对连杆1的角速度为 -u(α'+δ’)这个u是连杆1上的传动反比(z1/z2) 则齿轮2对地的绝对角速度为 -u(α'+δ’)+(-δ’) ，简记为T ' z( p- B) ?6 r$ U5 M
& g) ?7 |* p" f
然后，大家都站到连杆2上面来看： 齿轮2相对连杆2的相对角速度为 T- (θ’+φ’) 则齿轮3相对连杆2的角速度为 -v[ T- (θ’+φ’)]这个v是连杆2上的传动反比(z2/z3) 则齿轮3对地的绝对角速度为-v[ T- (θ’+φ’)]+θ’+φ’
* g; T2 W6 e' _! b D* n1 ^1 z
由于原例子中u=33/30，v=30/33。如果马虎一些，可以认为u≈v≈1 于是，齿轮3对地绝对角速度可以简化为 -1[T-(θ’+ φ’)] +θ’+φ’ =-T+2θ’+2φ’ =-[-(α'+ δ’)+ (-δ’)] +2θ’+2φ’ =α'+2δ’+2θ’+2φ’ = α'+2(- β'- φ'- θ')+2θ’+2φ’ = α'-2β’
' m' X( v- O) G, F( m一句话概括：输出轴的转速约等于输入轴的转速减去连杆夹角变化率的两倍。 , \$ ?* H, E, Y2 [# a# c7 I l
好吧，如果两级的传动反比u≠v≠1，那精确结果将是：
, d# v8 q1 {7 i. T, Y# g6 _0 U-v[-u(α'+δ’)+ (-δ’)- (θ’+φ’)] +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1)δ’ +vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1) (- β'- φ'- θ') +vθ’+vφ’+θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'- (vu+1)φ'- (vu+1)θ'+vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'+ (v-vu) θ’+(v-vu)φ’ = vuα'- (0.5vu+1+0.5v) β'+(v-vu)φ’ 注：θ’= -β'/2 汗 9 ]3 x5 R1 E" L4 y$ i/ Z! B
" U; I; F" a0 i8 s
不可信？ 这就是俺发这个练习贴的原因，是对这个问题的简化: 一个简单的考题考倒一大片! ---- 续IV
' }0 O5 x6 y" j& R) }5 v心算即可解决这个简化问题，分四步操作：& E' x$ ^+ C) m, Z/ Y9 d8 b
1. 把摩擦轮1用绳子绑定在连杆上。无视板砖，直接把右部连杆1从水平态 顺时针折120度，直到轮1轮3接触。那么轮2跟着转了120度，因此轮3逆时针转了120度。 2. 绕轮3中心整体逆时针转60度，达到终点的位置。此时由于轮1还被绳子捆牢，因此轮3继续逆时针转60度。 3. 由于轮1 被绑住，被迫先顺时针转了120度逆回60度，因此现在解开轮1 的绳子，必须先将轮1继续逆时针转60度，才能恢复到起始位置的角度。 由于摩擦轮之间的纯滚，轮3继续逆时针前进60度。当然轮1得轻微脱离轮3，不然转不动。 4. 然后轮1继续转动(2r/2πr)360≈ 115度，以模拟滚过来的过程，那么轮3还得逆时针转115度。 因此轮3逆时针转过了120+60+60+115=355度。
; W ]8 }+ e! w6 D- E5 y! l6 ]% ]8 L5 X+ e& _" y; }
若用前面推导的结论直接计算(因为此例干脆没有偏心的疑虑)： 轮3转过的角度等于轮1转过的角度115度减去连杆角度变化量的2倍（前面不是说转速的吗？两种转速同时积分，就变成转角啦），但因为变化率是负的(夹角减小)，所以最终又变成加喽。 即轮3转过了115-(- 2x120)=355度
9 w+ Y; h. F2 Q! }* Z- [2 M0 Q3 y& Q) a" h5 F1 b
前面的证明中设了那么多参数，最后都没啥体现，有点那个小遗憾。 这和盖楼差不多，大厦建成后，脚手架就可以拆除了。。 禁止联想：帮忙打下江山了，也就该滚蛋了。。。 1 {. `# p8 }; v# Z2 B" a! j
附：输出即时转速精确表达式里 Β和φ的导数求解过程： - D( f9 X# u8 \# i$ @. X
8 m3 s- L( N! g; `$ \( b5 r+ [8 l大汗淋漓:L:L:L:L:L:L/ Y/ g1 f' m( b: v
* b/ K. S; z0 D1 h6 K2 m8 `最高转速和最低转速及其位置？ 转速式子继续求导（即角加速度），令结果为零，找到极值点时的α值，代回。。。。。。
3 i/ j p2 V2 [! T* Z9 o c) b- w位置、速度、加速度图像？综合使用上述系列数据，用N多种软件绘图。" t2 Y3 q/ _: j* K
感兴趣的同学继续啊~~~俺就要支持不住了。 ( e% M/ ~. [" @4 |+ {5 @
0 a2 W+ ~# x: G& d/ ~% d+ u$ h; }# [# c: d& G8 }- U
& `7 {2 |4 b% @* T7 t. ?% J4 b* J
3 D8 Q1 C1 X) J7 G) y% ]这是上回用这个搞笑图的帖子:
( ^5 ]" u7 G1 s( l这个六杆机构滑块的位移能不能用函数表示出来
- {* M) Z& A' k2 y1 ?7 Uhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=267205
* F+ B$ T0 L# B8 Z# }0 q8 x; C" q5 |. m* L( J
觉得有启发的，给点支持哈~
! u1 y+ I( L- z$ C
' `& c4 ]" \: O/ g! e5 [& x后记： 桂花暗香同学给了Proe模拟视频，转成GIF如下：1 B& u! A Q) R1 \# ]; ~
（请注意，动画只是循环播放主动轮第一圈的情况。）) T: `6 z( X- C
# Z' |& D) t. w! K; ]$ m1 e t, [
3 a1 z- I. V: R! T | 
发表于 2013-7-20 23:01:24
，忙了大半宿，发现得返工了。
