本帖最后由 动静之机 于 2013-7-27 11:27 编辑 - h5 P5 W5 q9 A! [* F! R
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原问在此，回复不多： ) X$ O8 c# _9 l* F4 `
求传动比
" ^, s0 d9 Y9 C- l- I0 g; d: t6 xhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=331458
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! H! j, E* r$ A3 o3 X' D单开一贴进行回复，原因： 首先，出于自私。呵呵，自己的娃儿，咋看咋好看，到理论探讨板块秀一个。 再者，没收到玉，惹到砖头，砸出点灵感，也不错。 最后，预防健忘。开个独立的帖子，将来好找 (本文末那动态gif图的旧帖就找了好久)。 7 K" n3 u2 Y1 f# J
原问题可以简化（变形）成这样：
" r \- b) u3 P: x# R
. K0 g' V5 t8 b: ?1 u' ?" v' F& jAB为齿轮1偏心量，长度为r BC为连杆1，长度为b，等于齿轮1分度圆半径R1+齿轮2分度圆半径R2 CO为连杆2，长度为a，等于齿轮2分度圆半径R2+齿轮3分度圆半径R3 OA为输入输出轴间距，长度为s
; L N3 V8 b, [) q! Y/ o齿轮1偏心转角记为α( n7 n$ g1 }# J# K K/ @8 ^5 s
两个连杆夹角记为β 作辅助线OB，其与水平方向夹角为φ，与CO即连杆2夹角为θ
- @! x, {* R( O4 J过C点作水平作辅助线，与BC即连杆1之夹角记为δ
& b; y7 T4 F$ C8 [这个图是随便画的，和原问题不太一致，反而藉此发现了个尺寸链问题： a+b>s+r （偏心轮转角α为零度时，两连杆足够长，不然为无法连续运转） s>r+R1+R3+2m (m为模数，偏心轮转角α为180度时，齿轮1、3不得相撞)
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! {) b q+ [# y3 o7 ]% Q+ s 继续： 设齿轮3的圆心O为坐标原点，齿轮1的圆心B的坐标为（x，y），则： x=s + r Cosα ------- 1 y=r Sinα ------- 2 6 k5 i9 i/ G. I/ I4 a+ j
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( s% L1 l, |' G" p齿轮1动作可分解为绕自身圆心的转动(作为输入转速)+自身圆心沿着 偏心作平动(引起了连杆1、2角速度的变化)。 齿轮1绝对角速度为转 角的导数，记为α' 2 p* U5 T& K, Q$ p, \8 _2 {
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连杆1的绝对角速度为转角的导数，记为-δ’。为嘛是负的？呵呵。 连杆2的绝对角速度为转角和θ的φ导数之和，记为θ’+φ’
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& g) X/ M# I8 T5 O+ F' Y b5 o 现在，大家都站到连杆1上面来看： 齿轮1相对连杆1的相对角速度为 α'-(-δ’) =α'+δ’ 则齿轮2相对连杆1的角速度为 -u(α'+δ’)这个u是连杆1上的传动反比(z1/z2) 则齿轮2对地的绝对角速度为 -u(α'+δ’)+(-δ’) ，简记为T : G- T1 K0 R3 @; g- g- P; }$ o7 g
2 l! {0 \: p& i2 x1 r 然后，大家都站到连杆2上面来看： 齿轮2相对连杆2的相对角速度为 T- (θ’+φ’) 则齿轮3相对连杆2的角速度为 -v[ T- (θ’+φ’)]这个v是连杆2上的传动反比(z2/z3) 则齿轮3对地的绝对角速度为-v[ T- (θ’+φ’)]+θ’+φ’ + o9 c( E1 h3 U4 q6 l2 W
) f6 L k& Q) X/ m. q. b' k+ Y
由于原例子中u=33/30，v=30/33。如果马虎一些，可以认为u≈v≈1 于是，齿轮3对地绝对角速度可以简化为 -1[T-(θ’+ φ’)] +θ’+φ’ =-T+2θ’+2φ’ =-[-(α'+ δ’)+ (-δ’)] +2θ’+2φ’ =α'+2δ’+2θ’+2φ’ = α'+2(- β'- φ'- θ')+2θ’+2φ’ = α'-2β’ ! ?6 c9 X# ]; `' f4 g1 k# Y
一句话概括：输出轴的转速约等于输入轴的转速减去连杆夹角变化率的两倍。 # g7 x2 v5 G) J" A# o3 N
好吧，如果两级的传动反比u≠v≠1，那精确结果将是：# d; l5 g, V0 p: P: _4 v7 n
-v[-u(α'+δ’)+ (-δ’)- (θ’+φ’)] +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1)δ’ +vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'+ (vu+1) (- β'- φ'- θ') +vθ’+vφ’+θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'- (vu+1)φ'- (vu+1)θ'+vθ’+vφ’ +θ’+φ’ = vuα'- (vu+1)β'+ (v-vu) θ’+(v-vu)φ’ = vuα'- (0.5vu+1+0.5v) β'+(v-vu)φ’ 注：θ’= -β'/2 汗
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8 r6 w* A' m! ^3 c& ^- l& m不可信？ 这就是俺发这个练习贴的原因，是对这个问题的简化: 一个简单的考题考倒一大片! ---- 续IV
- G! Q* Y N9 J9 o: `5 w6 Z心算即可解决这个简化问题，分四步操作：
2 H- q/ G2 i2 K B* Q+ y$ k- d1. 把摩擦轮1用绳子绑定在连杆上。无视板砖，直接把右部连杆1从水平态 顺时针折120度，直到轮1轮3接触。那么轮2跟着转了120度，因此轮3逆时针转了120度。 2. 绕轮3中心整体逆时针转60度，达到终点的位置。此时由于轮1还被绳子捆牢，因此轮3继续逆时针转60度。 3. 由于轮1 被绑住，被迫先顺时针转了120度逆回60度，因此现在解开轮1 的绳子，必须先将轮1继续逆时针转60度，才能恢复到起始位置的角度。 由于摩擦轮之间的纯滚，轮3继续逆时针前进60度。当然轮1得轻微脱离轮3，不然转不动。 4. 然后轮1继续转动(2r/2πr)360≈ 115度，以模拟滚过来的过程，那么轮3还得逆时针转115度。 因此轮3逆时针转过了120+60+60+115=355度。
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若用前面推导的结论直接计算(因为此例干脆没有偏心的疑虑)： 轮3转过的角度等于轮1转过的角度115度减去连杆角度变化量的2倍（前面不是说转速的吗？两种转速同时积分，就变成转角啦），但因为变化率是负的(夹角减小)，所以最终又变成加喽。 即轮3转过了115-(- 2x120)=355度 ! i$ N, D A+ Q0 i+ e( i) ~
( m" \7 N# j$ C0 s 前面的证明中设了那么多参数，最后都没啥体现，有点那个小遗憾。 这和盖楼差不多，大厦建成后，脚手架就可以拆除了。。 禁止联想：帮忙打下江山了，也就该滚蛋了。。。 8 t3 Q/ e4 @: I# a4 {, z
附：输出即时转速精确表达式里 Β和φ的导数求解过程： ' G# x4 g4 d. {" d6 d
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大汗淋漓:L:L:L:L:L:L
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. C. p" J% O8 ~1 ^; K/ ^9 n# [最高转速和最低转速及其位置？ 转速式子继续求导（即角加速度），令结果为零，找到极值点时的α值，代回。。。。。。
* t/ ]3 G, b! {/ _# F& `位置、速度、加速度图像？综合使用上述系列数据，用N多种软件绘图。
! U4 e( m' q" \$ C' F' I感兴趣的同学继续啊~~~俺就要支持不住了。
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这是上回用这个搞笑图的帖子:
: U- ?0 z5 P$ i- L; b8 L7 L0 r这个六杆机构滑块的位移能不能用函数表示出来3 B* l, V/ }: Q# z
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=267205
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觉得有启发的，给点支持哈~; ?3 N8 N, k8 p, ]; T; U
8 i( y1 W( t9 D后记： 桂花暗香同学给了Proe模拟视频，转成GIF如下：
* u2 g( N8 ?$ ]% M0 K1 Y n（请注意，动画只是循环播放主动轮第一圈的情况。）7 L/ M* e' u; y8 s+ ]
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发表于 2013-7-20 23:01:24
，忙了大半宿，发现得返工了。
