一款另类的椭圆规 ---- 外啮合1:1传动

动静之机

/ s! ~9 [0 {( U1 c- X3 y
这两天比较愉快。小子连闯两道关，考上了南外初中。
  z* W* N* Y: J! g# N) M# N4 ]. Z3千多人抽签（绝大多数都是有备而来的主），2560人中签，然后考试，录取320人，男女各半。

" o7 s4 a5 t6 q: S' H( ?/ @0 Q那天考完，出口处所有的孩子都苦着脸出来，说数学太难（出题也用英语）。
俺家的亦是如此，说还有大概20多题没空做（至少30分没了，总分150分的卷子）。
' I) o5 Y# A! P* E不过此次考试没考这类转几圈的题目，呵呵，瞎担心了：
一个简单的考题考倒一大片! ---- 续I
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503

一周前，俺发了这个帖子：
; v! k4 u4 N5 \9 O怎样车椭圆
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983

里面提到的德国网站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有这么几个椭圆规：

这个就是十字滑轨式的，已经在“怎样车椭圆”帖子里说清楚了。
  `! M. P0 m. t: I- _
% A6 e" l/ Q3 @1 I
这个显然是利用内齿轮啮合的机构，大小直径比为2，这也说过了。
* _- U" Q& M1 Z7 V- \

对这第三个东东，俺一下子没看明白。该网站只是说该椭圆规机构
允许在机构旁边作画（切割）因此可以作很小的椭圆。
6 I& r+ [6 k4 t9 m, o& R; T9 k
, D% ~# A2 U& B. ~( {1 ~& Q图片搜索该照片的名称Kopp-Ellipsograph发现有这么一张图，简直一摸一样：
- ]4 T: K$ e5 F" X4 u& D$ e9 z（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
3 [5 J0 T" ?/ D1 c
  e8 t) j8 {' u, B

意味着有相关文章可看，大喜，点击过去，十几秒后，页面终于打开，晕倒。

有人感慨“它认识我，我不认识它”大概就这意思。

不死心，重新搜关键词，找到一个链接，对该机构有些许说明：

http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
最下方提到参考书名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
) u1 g  L' w  F% \% G于是搜来（估计是苏联图书的英译版）。抱歉，11M，就不上传了。
1 [0 y4 P- e9 r
翻遍全书，发现在105，106页，有个证明（PS拼接如下）：

5 N. G! X4 d* o( D& l1 z! d5 n5 b4 {这个证明和照片里的椭圆规不太一样。
6 U4 V: A9 s. }. {
好吧，为了安心，也因为今儿个高兴，把照片里的机构也画瓢地证一遍：
设仿形机构放大系数为K，即DC=K*DM，两个起点都在X轴上且都处在自身
圆心的右侧（计算比较方便）。左侧齿轮逆时针旋转，右侧顺时针旋转。

# [+ e, q: @3 B
对于C点X坐标，分别从r2 r3 两条路找到关系式：
  P5 j% {0 d% T1 ~r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x         
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x  
消去Cosβ参数，得到:
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα  ------------------- A


! f* W! G1 _. D2 K$ [$ i. L7 W对于C点y坐标，分别从r2 r3两条路找到关系式：
  O3 S9 m; H$ \: Fr2Sinα-y =k*DM*Sinβ         
-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
. w6 O" `0 W+ U5 @  }& M# ~6 M消去Sinβ参数，得到:
- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα       ------------------------ B


把A式和B式综合起来，就是（但愿全部步骤没错）:
' T4 w( K& K& l
) k6 q8 X; |7 N* N# A
) J2 r4 o4 u7 w/ \" v) P) J这显然是个圆心分布于X轴(2k-1)R处，长半轴 (k-1)r2 + kr3 ，短半轴为 (k-1)r2 - kr3  绝对值的椭圆。

α=90度时，两个驱动臂互为180度，画出椭圆长半轴最低点。

若起始时，选取的某点已有初始角度，例如左侧所取得点已经逆时针转过180度，右侧尚未动，则
. P5 ^" Y. K5 ~意味着两个驱动臂已经提前达180度角，那么当前画出的点将是长半轴，而且在X轴上。也就是说，
# ]( m3 d6 r$ l3 T5 P) e输出的椭圆虽然大小完全没变，但相对于例证，已经转过90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。
% }2 L: q* g& t. F6 e3 f
! U& Y, `' C; l: M回头再看看那个满眼鸟语的维基原图的证明，就释然了。
5 J/ r& S& s* V9 _
! ?- ^" V$ ^3 b* P. U* |不妨拿这个仿形机构来说明：

# x3 {' I& m6 `' y: m
. |+ [2 }( I6 W( P3 c$ k
这个机构简直天生为就是两个复矢量的合成缩放准备的。

公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味着，若左侧输入Za，中间输入Zb，右侧输出为Zm。
假设Za不动，放大作用使Zm为K倍的Zb，假设Zb不动，则杠杆作用使Zm为k-1倍的Za，
不过由于处于杠杆的两侧，动作相反，因此有个负号。

一般的应用都把其中一个点定死，一个点输入另一个点输出，例如某些古老的仿形机床。
0 A. ~2 ~! ?3 L, d6 G6 {! E: t日内瓦湖畔的瑞士军刀小店用的军刀刻字机，也用这种机构。老板把客人的姓名字母凹
模板（约20x30毫米，厚2毫米）在轨道上排列好，然后用仿形机构缩刻在刀柄上。
: y3 K- c1 Y+ S8 j1 j  K只有西文字母可选？ 嗯，下次谁有机会去的话，先带上自己名字的中文模板哦。。。

3 i5 k* ?% i1 b3 O

949457130

挺有意思！

从不孤单

挺好挺好

剑南春17385

厉害！！！
9 Y! V) H9 `- H/ v还证明。。。。佩服，真沉得下心！

low-key

真是不错

夕阳书生

好贴，顶一个
  P' N" c) x* _: y/ J0 v/ M$ Y5 h

GRL889

好强大啊

王大9997

高手啊，长见识了

shasu

平常能看到的那个 做钥匙的机器 是仿形的吧

gctdxy

厉害长见识了