本帖最后由 动静之机 于 2013-7-6 14:20 编辑 3 Z: n% M0 \& d5 a2 Z
! G* g! h0 K# y% w$ R' G- }这两天比较愉快。小子连闯两道关，考上了南外初中。
& n, ^- D* `9 f' t/ `8 J3 r3千多人抽签（绝大多数都是有备而来的主），2560人中签，然后考试，录取320人，男女各半。: F3 g# `( m! m. A
, W- @* u) K, O% }' I( z那天考完，出口处所有的孩子都苦着脸出来，说数学太难（出题也用英语）。
- E8 j' }& O8 t0 w. Z# ^3 y5 ^俺家的亦是如此，说还有大概20多题没空做（至少30分没了，总分150分的卷子）。
. n0 m" s {$ e不过此次考试没考这类转几圈的题目，呵呵，瞎担心了：
, s, i# M' A* M& e I一个简单的考题考倒一大片! ---- 续I4 B! c' ^1 @ j9 t/ f( T
http://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
1 F. F: J0 d" G2 \5 }- o- D/ p; w
% d3 [) S7 T( U J. @一周前，俺发了这个帖子：! Z1 Y# ?4 ]! Q' E. }9 `
怎样车椭圆
4 h6 P. z: b" J j& `7 qhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
+ ~ O6 j1 O* P2 ?' b
' l) Q+ t4 v4 P8 ~# u9 o* _里面提到的德国网站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有这么几个椭圆规：8 t1 Z7 |, `: [+ F
( v1 `6 y( |! T0 u( X% H这个就是十字滑轨式的，已经在“怎样车椭圆”帖子里说清楚了。: q3 D1 r+ L( D! f; \, K- t- l
% t, e+ D9 I7 l0 d8 ^
; N6 u6 b7 K+ |3 t. N' q2 g7 |这个显然是利用内齿轮啮合的机构，大小直径比为2，这也说过了。
# P8 y3 d _" R' E" I9 E5 b: y _! W, }1 V
8 B5 L) a( [; `9 k5 ], O% V. c
对这第三个东东，俺一下子没看明白。该网站只是说该椭圆规机构3 y# T1 R, y" ?( Q0 q
允许在机构旁边作画（切割）因此可以作很小的椭圆。9 e! _. u1 S2 h) E: I5 n4 D
) g% B, B( \- C: o2 p: Y; V图片搜索该照片的名称Kopp-Ellipsograph发现有这么一张图，简直一摸一样：- q: f, r w" {0 ~( Q# F0 j
（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）3 v. r5 C% W, j) S* K
7 _2 H* j3 p- t8 A+ ~7 f& w! ?意味着有相关文章可看，大喜，点击过去，十几秒后，页面终于打开，晕倒。 有人感慨“它认识我，我不认识它”大概就这意思。 8 K9 J! p; }8 `1 f; h3 a. w
不死心，重新搜关键词，找到一个链接，对该机构有些许说明： http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/344 b9 X5 W% _0 Q/ o7 \& o' x' a
最下方提到参考书名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves
( g/ ?* u6 S9 I+ ~- K9 I6 J于是搜来（估计是苏联图书的英译版）。抱歉，11M，就不上传了。9 i" L. z, E2 A' r
1 E+ h+ s4 E; g7 Z$ C翻遍全书，发现在105，106页，有个证明（PS拼接如下）：$ ^+ b: g: Z( t9 j5 }
) A( |! d3 H, G这个证明和照片里的椭圆规不太一样。% ^) B' s# W2 X6 i
) I1 f# N# y. z7 `9 x r
好吧，为了安心，也因为今儿个高兴，把照片里的机构也画瓢地证一遍：5 l3 p8 F1 A8 V# o% W
设仿形机构放大系数为K，即DC=K*DM，两个起点都在X轴上且都处在自身
" ?4 R; J0 `5 k9 r' E2 e圆心的右侧（计算比较方便）。左侧齿轮逆时针旋转，右侧顺时针旋转。( L1 r: C5 `6 E8 a& S0 u
" O y4 _+ H K/ ]! p: g
% h0 _4 B5 k5 @9 Q对于C点X坐标，分别从r2 r3 两条路找到关系式：
; r$ M& @; k; n+ O8 sr2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x 1 A4 n' o0 z) t4 n+ L
r3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x
: w" l z; T* M( B( R: x消去Cosβ参数，得到:2 C' k' C: j3 u3 f6 U/ m
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα ------------------- A
7 Z- B: X$ O6 s7 v/ T9 N+ C1 C; O: b$ L; K
9 @' \) x' X1 @1 C, h对于C点y坐标，分别从r2 r3两条路找到关系式：& j9 A0 C/ [3 X% X9 h. {
r2Sinα-y =k*DM*Sinβ
6 p0 z: g* a/ ]2 v5 E& W-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
$ e" {+ r6 [* ~消去Sinβ参数，得到:
+ S( t! }2 E* B# H$ Y- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα ------------------------ B
: |; l. l) B8 \5 e
% _- v# @1 G% Y. m! j/ w! h% o: H5 T. R+ m
把A式和B式综合起来，就是（但愿全部步骤没错 ）:. U9 p% S- {' {! O: o; |
1 t8 v/ p0 O+ x; e% d T/ i9 o& r8 g# {7 Y
这显然是个圆心分布于X轴(2k-1)R处，长半轴 (k-1)r2 + kr3 ，短半轴为 (k-1)r2 - kr3 绝对值的椭圆。1 X- I) \ R( u% K' `7 y
$ m% d/ u y) ?5 S( wα=90度时，两个驱动臂互为180度，画出椭圆长半轴最低点。
- V) N+ A0 L# Z9 d$ A5 y; A2 y6 T! h; I% b
若起始时，选取的某点已有初始角度，例如左侧所取得点已经逆时针转过180度，右侧尚未动，则
0 Q9 T& r8 o" u意味着两个驱动臂已经提前达180度角，那么当前画出的点将是长半轴，而且在X轴上。也就是说，# _! f R- @, X. B, a
输出的椭圆虽然大小完全没变，但相对于例证，已经转过90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。/ S, f, G* P4 c" B6 }
( g" Z" m* w0 d$ C
回头再看看那个满眼鸟语的维基原图的证明，就释然了。
! U6 Z4 G6 e6 }% V* [2 |9 w5 H; ^( E$ B1 O+ _. s. I7 \, `
不妨拿这个仿形机构来说明：' [ }2 B& F( n
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0 o$ s) _3 K8 b; A! k S" @( k5 z+ s. d' K
这个机构简直天生为就是两个复矢量的合成缩放准备的。/ K" x5 p: O+ U4 g" U6 [3 I
8 D7 C" x$ s* v$ q# K) w
公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味着，若左侧输入Za，中间输入Zb，右侧输出为Zm。
, z! d: v4 S' `) I假设Za不动，放大作用使Zm为K倍的Zb，假设Zb不动，则杠杆作用使Zm为k-1倍的Za，
, V9 Z. F) d" U" E不过由于处于杠杆的两侧，动作相反，因此有个负号。
) T* t5 ?1 V& l; ?; M8 i) r, U F0 v( G6 E
一般的应用都把其中一个点定死，一个点输入另一个点输出，例如某些古老的仿形机床。
, s0 V8 W$ q; o! h& { H/ N/ }日内瓦湖畔的瑞士军刀小店用的军刀刻字机，也用这种机构。老板把客人的姓名字母凹4 Z; |% W# V$ T) n8 D
模板（约20x30毫米，厚2毫米）在轨道上排列好，然后用仿形机构缩刻在刀柄上。( p, i- x: Z' q/ t l
只有西文字母可选？ 嗯，下次谁有机会去的话，先带上自己名字的中文模板哦。。。- _6 D5 ~: ]& B$ N$ Y1 D
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发表于 2013-7-6 13:56:53
