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求教-笛卡尔坐标

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发表于 2013-6-12 14:28:05 | 显示全部楼层 |阅读模式
仿射坐标系和笛卡尔坐标系平面向空间的推广
0 F% f& ~: l% j/ q5 t. w相交于原点的三条不共面的数轴构成空间的仿射坐标系。三条数轴上度量单位相等的仿射坐标系被称为空间笛卡尔坐标系。三条数轴互相垂直的笛卡尔坐标系被称为空间笛卡尔直角坐标系,否则被称为空间笛卡尔斜角坐标系。8 F8 R) J$ L9 }
笛卡尔坐标,它表示了点在空间中的位置,但却和直角坐标有区别,两种坐标可以相互转换。举个例子:某个点的笛卡尔坐标是493 ,454, 967,那它的X轴坐标就是4+9+3=16,Y轴坐标是4+5+4=13,Z轴坐标是9+6+7=22,因此这个点的直角坐标是(16, 13, 22),坐标值不可能为负数(因为三个自然数相加无法成为负数)。$ ^2 p, ~6 B9 g1 i# ^1 {

. g* Z* o: U3 }! {  c0 k& q; V
% @# k! v% R+ k
1 L: Z$ X( f. M) O5 Q, @4 h
红字部分没搞懂,大家能解释下吗,根据自己的理解,不要拷贝哦5 o7 N5 G  w4 `+ ]
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发表于 2013-6-12 16:47:43 | 显示全部楼层
没看懂红字想表达什么。。根本就没有指出第一个笛卡尔坐标和直角坐标的关系,上来就规定了这种奇怪的算法。
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发表于 2013-6-12 16:51:09 来自手机 | 显示全部楼层
根本就是乱写,笛卡尔坐标就是直角坐标
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发表于 2013-6-12 21:45:09 | 显示全部楼层
定义:线性变换加上一个平移称为仿射变换,笛卡尔坐标系经过仿射变换后的坐标系称为仿射坐标系. I; M! S& y, F, v/ i
- R; [( Q3 K# s! S! y4 a3 [
其实仿射坐标系就是斜角坐标系拉
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发表于 2013-6-12 21:54:58 | 显示全部楼层
本帖最后由 crazypeanut 于 2013-6-12 21:57 编辑 # f1 c: b" _  {* k$ O5 P; [

5 b6 U9 d) k$ e6 T# u6 j通俗的讲,所谓笛卡尔坐标系,坐标轴是直线的都称为笛卡尔坐标系,否则就称为曲线坐标系(注意这里的直线定义为欧式空间的直线)% ?9 I1 m2 f( B0 B9 E

; L# Z5 @& n; e! q: e因为一般默认笛卡尔坐标系是标准直角坐标系,而斜角坐标系都是由标准直角坐标系经过仿射变换而来,于是就有了仿射坐标系的说法
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发表于 2013-6-13 18:25:41 | 显示全部楼层
据查,这个红色文字的“龟腚”来自这部电影:
  N8 e( o# i# a4 w5 y& K7 k; k+ e( h
( ]  R: \, Y% D  p0 H& ?" r& Z9 }$ _8 i0 [- f3 v

( m3 {* Q. k( Y( P
7 v. k& B) q7 ?7 r7 ?& H- j; i0 d9 s8 W2 b5 m  D
6 j! F6 M) G. n$ h3 G; Y
[转]Cube中的数学原理
3 t: j' W* o7 _6 f) PKim 发布于: 2008-01-17 22:06# T  A* g! S: r7 J

5 R+ g( c* J! j4 _; m" U* I6 MCube中的数学原理
  h& D$ Y5 c4 ]; K7 W0 L6 WI. Cube的外形及房间的个数
; K4 r* C6 w- N# g+ I- A) gCube由一个巨大的立方体以及包在立方体外的一层外壳组成,两者之间存在一定空间,大立方体内还包含许多小立方体房间,类似于魔方。Cube只有一个出口,只有到达了连接外壳与内部立方体的那个房间才能走出Cube,这个房间在影片中被称为“桥”。每一个房间棱长14尺(略长于4米)。大立方体每条边有26个房间的长度,所以一共是26*26*26=17576个房间的大小。(但事实上没有那么多房间,因为房间要移动必须留有一定的空间)
  J1 W5 ?! G6 ~/ {5 p1 gII. 如何识别房间内是否有陷阱# S. C( f. T' V1 l+ a$ @. l, D
·识别房间是否安全, i% v" z7 H5 X4 r8 o( P1 d
Cube中的每一个房间都标有三个三位数的数字。因为每个房间的数字都不同,Holloway一开始认为这表示房间的序号(她从而认为一共有几亿个房间,但她错了)。Leaven随后认为他们可以凭借这三个三位数的数字来识别房间是否有陷阱,Leaven的记忆力很好,她记下了他们经过的每一个房间的数字,归纳以后她得出结论:凡是三个数字中含有质数的房间存在陷阱(这个理论一开始很好用,但之后在一个不含质数的房间内同样存在陷阱,至此这一理论被推翻)。最终在影片尾声时真相才被挖掘出来:识别陷阱的不是质数,而是质数的乘方。Leaven让Kazan报的是每个数字的质数因子数。* y2 T: M: \/ z
·质数的乘方
+ C4 v) A0 ~! S4 w! o每个自然数(1, 2, 3, 4...)如果本身不是质数都可以由质数相乘所得,比如120=2*2*2*3*5。如果不计质数的前后顺序,这种表示法是唯一的。现在用乘方的形式来表示,2*2*2在这里被表示成2^3,于是120= (2^3) *3*5。若一个数只含有一个质数因子,那它就是质数的乘方,显然每一个质数本身也是质数的乘方(这也解释了为什么Leaven的理论并没有一开始就出错)。但是一个质数的乘方不一定是质数,比如说27=3*3*3=3^3,而27却不是质数,因为它能被表示成3乘以9,也就在这种情况下,Leaven的理论失效了。( h& r0 X; U% e
III. 房间的空间位置及移动方式7 y; i; _/ w5 x5 e2 w
无论房间是否存在陷阱,三个三位数的数字并不表示其本身,经过下面的介绍后你会发觉它们表示了房间的空间位置和移动轨迹。. c9 N3 Q# f/ J* c  ~; B* G
·房间的坐标$ E# D' [: X8 |
每个房间的数字其实是笛卡尔坐标,它表示了房间在空间中的位置,但却和直角坐标有区别,两种坐标可以相互转换。举个例子:某个房间的笛卡尔坐标是493 ,454, 967,那它的X轴坐标就是4+9+3=16,Y轴坐标是4+5+4=13,Z轴坐标是9+6+7=22,因此这个房间的直角坐标是(16, 13, 22),在此坐标单位为一个房间,所以在Z轴方向,此房间离外壳有四个房间的距离。坐标值不可能为负数(因为三个自然数相加无法成为负数),XYZ每个方向的坐标值不会大于26(除了“桥”)。Leaven他们曾经达到过一个Y轴坐标为27的房间,这其实就是通往Cube外部的“桥”。但当时他们却没有发现这一秘密,因为这个房间周围仍旧是其他房间,直到后来Worth被Quentin扔到之前Rennes死去的那个房间后看到有个通道外部什么也没有,他这才弄明白原来房间是会移动的。他说:“不是我们在移动,而是房间。……这就能解释为什么我们一直感觉到震感,我们一直随着房间在移动。”Cube此时就像个巨大的不停转动的魔方,每个房间都在不时地移动,每一个坐标只表示这个房间开始时的位置。  Q5 _7 Y, S) G& g
·房间的移动方式  ~* U" b* \" X8 b3 l! d/ N
每一个房间的移动轨迹也隐藏在了笛卡尔坐标当中,比如坐标为477, 804, 539的房间,它的直角坐标为(18, 12, 17)。要想知道这个房间的移动轨迹,可以这么做,对于每一个三为数数字作如下处理:, \0 [5 x9 u9 m8 l% G! E0 I
1. 百位数减去十位数
6 ^6 T2 G0 d5 g7 C5 i" O' Q9 M! S2. 十位数减去个位数" ~& Q+ C; y- A2 N! p
3. 个位数减去百位数
0 Y; Y' Y+ |: L1 [' C' G) ?对三个数字都进行以上操作,也就是:
5 A$ L5 ^' U3 |  f, T0 p/ }1. 477:4 - 7=-3 | 7-7=0 | 7-4=39 }7 h( f6 G: w5 _2 N" p2 k! I) U
2. 804:8 - 0=8 | 0-4=-4 | 4-8=-4* m% y- H* a/ j5 K* g
3. 539:5 - 3=2 | 3-9=-6 |9-5=4" p" B! `2 ]" ^6 p. [
这样就得到了三个向量(- 3, 8, 2), (0, - 4, - 6)和(3, - 4, 4)。 这三个向量表示了这个房间的移动轨迹,将转换成直角坐标的表示房间初始位置的坐标(可以看成向量)依次加上这三个向量,即:. J: n0 E1 s8 g% U0 M+ {' y
(18, 12, 17) + (- 3, 8, 2) = (15 ,20, 19)
# O' C" w+ T4 g8 e+ C1 \(15, 20, 19) + (0, - 4, - 6) = (15, 16, 13)
& [( o( z; F! t9 I! S(15, 16, 13) + (3, - 4, 4) = (18, 12, 17)
0 |* C/ u8 p% F; P+ a9 n可以看到经过了三次变化以后又回到了原来的初始坐标(18, 12, 17)。每个房间也就是根据这个规律以(18, 12, 17) --> (15, 20, 19) --> (15, 16, 13) --> (18, 12, 17) -->…的轨迹移动的。
0 Z% l$ `1 E6 h$ _. n. I·一段时间内房间的位置变化
; @3 \/ ~3 q& S( ?* A根据坐标变化所显示的,每个房间其实都在周而复始地按照固定的轨迹移动。要想知道所处空间的位置,还必须有参照物,也就是必须至少知道一个邻近的房间的坐标。例如:
2 ~6 r% P& U, H坐标为320, 176, 223的房间(记为房间1),直角坐标为(5, 14, 7),以 (5, 14, 7) --> (6, 8, 7) --> (8, 9, 6) --> (5, 14, 7) -->…的轨迹移动+ {, b8 t: [8 {. P+ z
它右边的房间214, 168, 104(记为房间2),直角坐标为(7, 15, 5),以(7, 15, 5) --> (8, 10, 6) --> (5, 8, 2) --> (7, 15, 5) -->…的轨迹移动
# K- W$ L- v! b7 C& h& q它上面的房间254, 303, 017(记为房间3),直角坐标为(11, 6 , 8),以(11, 6, 8) --> (8, 9, 7) --> (9, 6, 1) --> (11, 6, 8) -->…的轨迹移动5 F4 u/ m1 d" ?' e
从这三个房间各自的三次移动中可以看到它们并不总是相邻的,换句话说,只有当房间1到达(8, 9, 6),房间2到达(8, 10, 6)时它俩才是左右相邻的,也只有当房间1到达(8, 9, 6),房间3到达(8, 9, 7)时它俩才是上下相邻的,其它时间内3个房间都互相分离。不是所有的房间同时一起移动的,但它们的移动是相互独立的。这样Cube就存在一个初始状态,这个时候所有的房间都停留在它们的初始坐标上,之后房间会各自移动,经过若干时间后还会回到初始状态,这个循环可能需要几天时间,完全取决于Cube的大小,这也会影响对到达“桥”所需的时间。
  m, v9 I8 Y5 ^. t8 o·“桥”和出口
0 y/ W9 k5 M* R3 D& o  \9 L; V“桥”其实是一个房间,这在上面已经说过了,在其初始位置时它连接着外壳和内部大立方体,出口就在“桥”内。“桥”的Y轴坐标为27,而其他房间的Y轴坐标都不大于26。“桥”也像其他房间那样按照固定的轨迹移动,这就意味着只有等它到达其初始位置时它才是真正的“桥”,人才能通过它走出Cube,其它时间内它都在大立方体内部的其他位置,因此必须把握好时机,错过初始位置之后就要再等一轮循环。Leaven把Cube比作是保险箱的锁,只有所有房间到达它们的初始位置时,锁才能打开,然而接下来只要房间一移动,锁就关上了。因此想要找到出口就必须先找到一个处于大立方体边界面的房间(某个坐标为26),然后沿着边界选择房间进入,最终找到“桥”,再等它回到初始位置,才能走出Cube。2 G5 a0 ?6 y# p

4 c5 k  P, i2 \$ d; g4 n$ u3 b. @# X1 W$ ]3 c

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点评

大侠牛逼  发表于 2013-6-22 15:29
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