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我研究数学分析(微积分)以来,有那么一点心得,一直想写出来,帮助初学者,以跨过那些难懂的书籍,以掌握微积分,以产生生产力。1 _, w9 N4 O% x% e" _; m
7 S9 `3 t+ I, T- c7 o
让我们把概念抛弃,先把玩法弄会,把玩法弄熟,最后再学习基本理论。
& G; q9 W0 e. X- ^4 v: b本方法能从代数式一步过渡到微分式,只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。1 P8 k8 ~/ O$ l6 a. [2 o2 S" N7 G
! f: D: d$ V+ M# X
先从最简单的一元一次方程式开始。# G, g" h8 d# Y* t5 e, g
y = 2x (1)3 J- ~$ `3 ~/ x( d! `7 W5 i
我们将 y 替换成 y+dy , 将 x 替换成 x+dx,于是上式变换成:# C' \" m. V3 X% R1 f2 h
(y+dy) = 2(x+dx) (2)
5 ~7 s% U7 L, i' ^3 J(2)-(1)得:
) _2 |+ u6 m, B$ e* @9 Q1 _: R5 }dy = 2dx (3)
: o+ x/ h q6 O) B上面这个(3)式就是(1)式的微分式。快吧?将dx从右边挪到左边就变成:* m9 |6 a- c. M; l! g! Y! x8 u' v
dy/dx = 2 = y' (4)
3 X) r8 M/ U2 N/ F. k上面的(4)式就是(1)式的导数式,导数就是这么求来的。
& M0 m, c1 V1 W3 d, k( ?/ ^2 H. n, R% K( C3 G
下面再来看一元二次方程:
3 J! u+ r4 r( i* G4 J! l/ ky=x^2 (5)- t! C, j: ^ b$ ?5 t6 \4 w# W/ |
做替换,y→y+dy,x→x+dx,得:
4 \( y; I; |/ X: @4 u; D, L$ p( K, B(y+dy) = (x+dx)^2 : x. E# [5 X$ o" I( {
展开得:# F8 O: _) |2 t! E7 h3 q+ E, k) M
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2 (6)+ N9 S$ T% P- o! L
(6)-(5)得:! O4 w' u1 Y1 a; A# H" { W1 M ^
dy = 2x*dx + dx^2 (7)
\6 Y. }1 ~+ x$ P! E这里介绍一个关键,微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”,而dx^2属于二阶“无穷小”,二者相加,高阶者略去,所以:
" x5 S# [3 Z& g' a+ A+ C1 @6 A: Fdy = 2x*dx (8)
( L! J& A6 N( z( Edy/dx = 2x = y' (9)
5 ^( Y: U+ N6 e6 G: ~, D上面的第(9)式就是(5)式的导数式。
+ N" b; @. }$ [) p$ P* y: J
- T K6 W f4 a6 P# B, @下面看二元一次方程:6 t% p0 X" I7 o& ]4 j2 ^
z = xy (10)
+ o" X; V) B# i% a4 x7 F4 F$ g4 g做替换z→z+dz,y→y+dy,x→x+dx得:# r# W( \; k. t m
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)(11)
; k" a5 a! @( u" I7 ^9 n展开得:
8 p! H! N3 n) P1 ]. lz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy (12)
. l Q7 ~7 v+ B1 A) Y9 p' R5 o# q1 ](12)-(10)得:9 ?2 ^ f: S0 g
dz = xdy + ydx + dxdy(13)& W1 [: Q! C1 T& b' o* @- \& T
看上式,又出现了高阶“无穷小”,可以略去,所以:( k5 ~$ g( f% |9 ]1 a. n$ L
dz = xdy + ydx (14)
! u) @4 l7 R3 C: @6 @* U! Q上式即为(10)式的微分式。/ Q, t& ^% t# [( o: q- k! X7 M( C
) z, Z+ [! [2 w- \6 @
最后再举一个例子,关于流体的连续性有一个式子:- L2 B& i. V1 t4 E6 G$ j1 U
ρvA = C(常数)
: N& i; a4 U; B1 ~, }书上说先两边取对数,然后再两边微分,得:
+ @& G6 U% c/ ?* |0 k. \/ {dρ/ρ + dv/v + dA/A = 04 v2 A) ^7 `7 y/ C% ?
用我的方法,不用无中生有去微分,一样得出这个式子,先做替换得:& ^6 ]- [9 s. v; Q
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
+ \, g5 H: }6 v$ A展开得:
2 P- T. s" j, z, t( nρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
: ^2 x Z7 @, h0 [减去第一个式子,再略去二阶及三阶无穷小,得:
' d* F7 E5 \" f) f, ~0 {3 Y: {ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
6 M3 z% O4 S Q* E% |两边同除以ρvA,就跟上面一样了。7 z2 E) F8 m/ P6 x; r+ P" K, [5 ?8 \
% H. m( y/ P- f1 _' ^# ^0 S- N4 G
总结一下,第一步替换,第二步相减,第三步“略去高阶无穷小”,成功!
( l) ~+ w" ~. U任何方程式都可以这么干,不涉及极限和无穷等概念,轻松学会微分变换。
f3 M$ a" P6 k, g) V- O! @% U |
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