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我研究数学分析(微积分)以来,有那么一点心得,一直想写出来,帮助初学者,以跨过那些难懂的书籍,以掌握微积分,以产生生产力。+ M1 m6 _2 u [4 l2 [
" }3 S8 ^ i k h让我们把概念抛弃,先把玩法弄会,把玩法弄熟,最后再学习基本理论。- M, e' L. h3 S' k# ?9 [( p, h
本方法能从代数式一步过渡到微分式,只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。5 C' c0 d, |7 O( X3 k; R- C
7 U3 y4 |% Y8 U! t' M先从最简单的一元一次方程式开始。 V# O, p, l* p) \
y = 2x (1)/ O7 U. _8 E- q7 j- S6 J* ]$ y
我们将 y 替换成 y+dy , 将 x 替换成 x+dx,于是上式变换成:. C R7 E+ I9 T8 k2 F3 ^) g
(y+dy) = 2(x+dx) (2)' A7 n( m' R5 r( e
(2)-(1)得:
6 E {8 f- R" ^& B) vdy = 2dx (3)
0 y& A% Q# u/ ~- p- j上面这个(3)式就是(1)式的微分式。快吧?将dx从右边挪到左边就变成:: R4 H! ?3 T; R* i* P: m# T
dy/dx = 2 = y' (4)
3 G2 C Y& r0 I# n4 Q) {/ r1 b7 f上面的(4)式就是(1)式的导数式,导数就是这么求来的。5 v- I; }/ A3 L; Z& m3 U/ }
. A& `! e; q3 T: O
下面再来看一元二次方程:, A' z# }/ L8 G, ]! F) ?# X% X
y=x^2 (5)
* r2 G O1 x3 I" U Y做替换,y→y+dy,x→x+dx,得:
5 I( [8 X; `$ k% ~. \( w9 J(y+dy) = (x+dx)^2
: W& M9 p" o+ y: Z展开得:) M( D' l( `. [$ |9 O1 P% E
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2 (6)
$ c$ Z8 s$ a" a; P7 b(6)-(5)得:; V7 n9 X6 x. x. W1 m4 g7 I
dy = 2x*dx + dx^2 (7)7 s. v6 _ E9 I; W
这里介绍一个关键,微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”,而dx^2属于二阶“无穷小”,二者相加,高阶者略去,所以:& o' P: d1 r9 x5 h8 M0 s% Z
dy = 2x*dx (8). d% L, L( g* k5 j- [
dy/dx = 2x = y' (9)
; R4 g4 q9 T- s上面的第(9)式就是(5)式的导数式。7 s6 x* v; V. Y- F" k
! |2 m2 C* R& s/ ^
下面看二元一次方程:$ K1 P1 T) t4 g# ?5 q# U# u
z = xy (10)* _9 [9 k y% S( ~& W
做替换z→z+dz,y→y+dy,x→x+dx得:9 `3 |) W: b. G2 h+ i: y
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)(11)! t7 M! l; k# |+ F6 |: Z9 L' S5 Q
展开得:
0 H" M8 u1 T# C+ o, S& D; S7 g: |z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy (12)
0 j0 p2 n& y1 C5 p4 Z3 }) X9 x6 ~(12)-(10)得: f7 a5 v7 i4 C) F M( o; U/ A; a
dz = xdy + ydx + dxdy(13)' o& ^9 l7 A7 S3 G8 s
看上式,又出现了高阶“无穷小”,可以略去,所以:" C1 m( W9 ^8 N4 @7 b
dz = xdy + ydx (14)
. ^ i. ]8 x. G6 U$ c! ~; W上式即为(10)式的微分式。, l) D) e8 Y4 j, c p
. j* h$ ^! I1 V: U, o9 `" p* X
最后再举一个例子,关于流体的连续性有一个式子:) \' |7 B _6 e% C2 }! L
ρvA = C(常数)
$ n: A$ {; e/ m9 C书上说先两边取对数,然后再两边微分,得:
- G1 a( }9 f! F2 O5 Gdρ/ρ + dv/v + dA/A = 0+ M6 w6 U. l8 q5 O' r t" q% Y
用我的方法,不用无中生有去微分,一样得出这个式子,先做替换得:
9 Y& J3 p4 X2 k8 n; j0 I, X(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C. m2 C# `% k& G" n6 k
展开得:; t+ \; F( X" u P
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C+ p+ C" M% b8 c) H" H! A8 z
减去第一个式子,再略去二阶及三阶无穷小,得:
) ]; j3 P) O( VρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
# O/ L I2 N) m- n: Z5 P" C0 |两边同除以ρvA,就跟上面一样了。
; u: G2 C( R: U+ f9 f2 X* H# _$ A! X' T1 e8 K+ M
总结一下,第一步替换,第二步相减,第三步“略去高阶无穷小”,成功!( k9 E, P+ X9 K* N# [2 @
任何方程式都可以这么干,不涉及极限和无穷等概念,轻松学会微分变换。7 _, m5 ]' w+ {
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