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我研究数学一点心得:一种从代数式到微分式的快速变换法

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发表于 2013-5-22 21:56:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
我研究数学分析(微积分)以来,有那么一点心得,一直想写出来,帮助初学者,以跨过那些难懂的书籍,以掌握微积分,以产生生产力。+ M1 m6 _2 u  [4 l2 [

" }3 S8 ^  i  k  h让我们把概念抛弃,先把玩法弄会,把玩法弄熟,最后再学习基本理论。- M, e' L. h3 S' k# ?9 [( p, h
本方法能从代数式一步过渡到微分式,只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。5 C' c0 d, |7 O( X3 k; R- C

7 U3 y4 |% Y8 U! t' M先从最简单的一元一次方程式开始。  V# O, p, l* p) \
y = 2x                      (1)/ O7 U. _8 E- q7 j- S6 J* ]$ y
我们将 y 替换成 y+dy , 将 x 替换成 x+dx,于是上式变换成:. C  R7 E+ I9 T8 k2 F3 ^) g
(y+dy) = 2(x+dx)      (2)' A7 n( m' R5 r( e
(2)-(1)得:
6 E  {8 f- R" ^& B) vdy = 2dx                  (3)
0 y& A% Q# u/ ~- p- j上面这个(3)式就是(1)式的微分式。快吧?将dx从右边挪到左边就变成:: R4 H! ?3 T; R* i* P: m# T
dy/dx =  2 = y'           (4)
3 G2 C  Y& r0 I# n4 Q) {/ r1 b7 f上面的(4)式就是(1)式的导数式,导数就是这么求来的。5 v- I; }/ A3 L; Z& m3 U/ }
. A& `! e; q3 T: O
下面再来看一元二次方程:, A' z# }/ L8 G, ]! F) ?# X% X
y=x^2                      (5)
* r2 G  O1 x3 I" U  Y做替换,y→y+dy,x→x+dx,得:
5 I( [8 X; `$ k% ~. \( w9 J(y+dy) = (x+dx)^2     
: W& M9 p" o+ y: Z展开得:) M( D' l( `. [$ |9 O1 P% E
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  (6)
$ c$ Z8 s$ a" a; P7 b(6)-(5)得:; V7 n9 X6 x. x. W1 m4 g7 I
dy = 2x*dx + dx^2     (7)7 s. v6 _  E9 I; W
这里介绍一个关键,微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”,而dx^2属于二阶“无穷小”,二者相加,高阶者略去,所以:& o' P: d1 r9 x5 h8 M0 s% Z
dy = 2x*dx                (8). d% L, L( g* k5 j- [
dy/dx = 2x = y'          (9)
; R4 g4 q9 T- s上面的第(9)式就是(5)式的导数式。7 s6 x* v; V. Y- F" k
! |2 m2 C* R& s/ ^
下面看二元一次方程:$ K1 P1 T) t4 g# ?5 q# U# u
z = xy                      (10)* _9 [9 k  y% S( ~& W
做替换z→z+dz,y→y+dy,x→x+dx得:9 `3 |) W: b. G2 h+ i: y
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)(11)! t7 M! l; k# |+ F6 |: Z9 L' S5 Q
展开得:
0 H" M8 u1 T# C+ o, S& D; S7 g: |z+dz = xy + ydx + xdy + dxdy (12)
0 j0 p2 n& y1 C5 p4 Z3 }) X9 x6 ~(12)-(10)得:  f7 a5 v7 i4 C) F  M( o; U/ A; a
dz = xdy + ydx + dxdy(13)' o& ^9 l7 A7 S3 G8 s
看上式,又出现了高阶“无穷小”,可以略去,所以:" C1 m( W9 ^8 N4 @7 b
dz = xdy + ydx          (14)
. ^  i. ]8 x. G6 U$ c! ~; W上式即为(10)式的微分式。, l) D) e8 Y4 j, c  p
. j* h$ ^! I1 V: U, o9 `" p* X
最后再举一个例子,关于流体的连续性有一个式子:) \' |7 B  _6 e% C2 }! L
ρvA = C(常数)
$ n: A$ {; e/ m9 C书上说先两边取对数,然后再两边微分,得:
- G1 a( }9 f! F2 O5 Gdρ/ρ + dv/v + dA/A = 0+ M6 w6 U. l8 q5 O' r  t" q% Y
用我的方法,不用无中生有去微分,一样得出这个式子,先做替换得:
9 Y& J3 p4 X2 k8 n; j0 I, X(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C. m2 C# `% k& G" n6 k
展开得:; t+ \; F( X" u  P
ρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C+ p+ C" M% b8 c) H" H! A8 z
减去第一个式子,再略去二阶及三阶无穷小,得:
) ]; j3 P) O( VρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
# O/ L  I2 N) m- n: Z5 P" C0 |两边同除以ρvA,就跟上面一样了。
; u: G2 C( R: U+ f9 f2 X* H# _$ A! X' T1 e8 K+ M
总结一下,第一步替换,第二步相减,第三步“略去高阶无穷小”,成功!( k9 E, P+ X9 K* N# [2 @
任何方程式都可以这么干,不涉及极限和无穷等概念,轻松学会微分变换。7 _, m5 ]' w+ {

点评

+1 模拟加分,感谢分享~  发表于 2013-5-23 13:13
风随意 +1 加分是假的~  发表于 2013-5-23 13:12
lcs
我学了几年 ,愧对江东父老!每学期都要挂!  发表于 2013-5-22 23:09

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参与人数 9威望 +18 收起 理由
风追云 + 1
tntk + 1 自己算了一下y=x^3,不给加分不行了!
看海的小羽 + 1 这对刚学积分的初学者挺好的
ERPIONEER + 1 热心助人,专业精湛!
沉没二十年 + 1
の小南灬 + 1 大学老师要是这么教就好了
xlf63 + 1
zerowing + 1 逍遥有空帮我算两个积分如何?哈哈
老鹰 + 10 热心助人,专业精湛!

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发表于 2013-5-22 22:08:50 | 显示全部楼层
初中毕业表示很难看懂~
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 楼主| 发表于 2013-5-22 22:09:51 | 显示全部楼层
题目又被改了……声明一下,冒号前面的字是管理员加的。
/ O4 b# @( T* p( c* {, W鄙人可不敢说研究数学,会让教授们笑话的。1 y: M" w* i  I* q
再次声明,冒号前面的字是管理员加的。
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发表于 2013-5-22 22:42:51 | 显示全部楼层
最近感觉到处都要用到数学呢9 k% t) H- {, F
往高一点研究都是要用数学的   也在看微积分 复习一下
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发表于 2013-5-22 22:59:07 | 显示全部楼层
很有意思!
3 }  f' t+ {2 Z5 B# I" n$ \7 M谢谢把你研究结果与大家共享!' h9 s! [* E0 B. _& E
我提点我的看法,请不要介意!
" w- M# v. X3 N9 ~( e你用的是数学研究的枚举法,如果要普通适用就要证明的方法过程,你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。
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发表于 2013-5-22 22:59:56 | 显示全部楼层
不去教数学真是浪费啊。
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 楼主| 发表于 2013-5-22 23:09:28 来自手机 | 显示全部楼层
mfka 发表于 2013-5-22 22:597 ^- u8 J& Q$ L2 ?% u- r! I
很有意思!
, v  d3 q8 F; }& o  Q谢谢把你研究结果与大家共享!
0 T8 ~8 W& O- {5 f: T2 t4 q, z我提点我的看法,请不要介意!% D/ P7 }" o8 m; M7 ^: X1 o5 |
6 I. ^- y9 y% X6 q. |
鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。
: o0 X+ y; Y+ n! ~, a0 W  f完全符合洋人的标准,所以不存在你说的那些问题。% f- }5 N: w5 T3 P8 k+ w
2 _6 w% y( [& G0 X& x  S5 {7 `
补充内容 (2013-5-25 22:28):: T% {5 g9 U* S' Z: @9 {
这个真不是吹牛,其实我原本的想法,并不是这样。我原本的想法写出来,如果用阴阳学说来看,是很容易理解的,但现代人怎能接受?我只能写成这样,但这样更难理解。但是——无论你怎么说,这种方法的结果却是对的。
" B1 o7 f+ e/ Y  [/ C6 }* w. z2 z9 t+ o) F; H. s5 W
补充内容 (2013-5-25 22:30):
& O. ?7 U+ Z9 K0 _: ^) ?/ |: `" @我们不妨想一想,这种简单直接的方法,无论在什么情况下,它的结果都是对的,但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想,问题出在哪里?就是出在对这种方法的解释上面!
3 |( E: ]1 i0 e( v
' O: O( a, h/ v# \& ~5 @$ u1 M/ m补充内容 (2013-5-25 22:33):1 ?" G- T4 B/ a. E8 \& a
所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等,这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法,能让我们很容易就相信这种做法的正确性,那么,这种学问学起来是不是就会容易很多?+ `; ^+ n% C+ S  B/ e/ R
) b5 m) O7 u, _3 ~, ?
补充内容 (2013-5-25 22:34):
/ C6 K. X9 G' E+ S所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等,这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法,能让我们很容易就相信这种做法的正确性,那么,这种学问学起来是不是就会容易很多?

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参与人数 1威望 +1 收起 理由
Michael0576 + 1 博古通今,了不得

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发表于 2013-5-22 23:09:29 | 显示全部楼层
满新颖的
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发表于 2013-5-22 23:09:40 | 显示全部楼层
嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

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参与人数 1威望 +1 收起 理由
逍遥处士 + 1 大侠若有应用的地方,不妨发上来看看?

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发表于 2013-5-23 07:40:03 | 显示全部楼层
这其实就是导数公式的推导过程,用极限的方法,数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的,这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法,知道的可能就觉得在绕圈子了,小小评论楼主莫在意啊
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