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我研究数学一点心得:一种从代数式到微分式的快速变换法

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发表于 2013-5-22 21:56:29 | 显示全部楼层 |阅读模式
我研究数学分析(微积分)以来,有那么一点心得,一直想写出来,帮助初学者,以跨过那些难懂的书籍,以掌握微积分,以产生生产力。1 _, w9 N4 O% x% e" _; m
7 S9 `3 t+ I, T- c7 o
让我们把概念抛弃,先把玩法弄会,把玩法弄熟,最后再学习基本理论。
& G; q9 W0 e. X- ^4 v: b本方法能从代数式一步过渡到微分式,只需要简单的替换、四则运算、省略等操作。1 P8 k8 ~/ O$ l6 a. [2 o2 S" N7 G
! f: D: d$ V+ M# X
先从最简单的一元一次方程式开始。# G, g" h8 d# Y* t5 e, g
y = 2x                      (1)3 J- ~$ `3 ~/ x( d! `7 W5 i
我们将 y 替换成 y+dy , 将 x 替换成 x+dx,于是上式变换成:# C' \" m. V3 X% R1 f2 h
(y+dy) = 2(x+dx)      (2)
5 ~7 s% U7 L, i' ^3 J(2)-(1)得:
) _2 |+ u6 m, B$ e* @9 Q1 _: R5 }dy = 2dx                  (3)
: o+ x/ h  q6 O) B上面这个(3)式就是(1)式的微分式。快吧?将dx从右边挪到左边就变成:* m9 |6 a- c. M; l! g! Y! x8 u' v
dy/dx =  2 = y'           (4)
3 X) r8 M/ U2 N/ F. k上面的(4)式就是(1)式的导数式,导数就是这么求来的。
& M0 m, c1 V1 W3 d, k( ?/ ^2 H. n, R% K( C3 G
下面再来看一元二次方程:
3 J! u+ r4 r( i* G4 J! l/ ky=x^2                      (5)- t! C, j: ^  b$ ?5 t6 \4 w# W/ |
做替换,y→y+dy,x→x+dx,得:
4 \( y; I; |/ X: @4 u; D, L$ p( K, B(y+dy) = (x+dx)^2     : x. E# [5 X$ o" I( {
展开得:# F8 O: _) |2 t! E7 h3 q+ E, k) M
(y+dy) = x^2 + 2x*dx + dx^2  (6)+ N9 S$ T% P- o! L
(6)-(5)得:! O4 w' u1 Y1 a; A# H" {  W1 M  ^
dy = 2x*dx + dx^2     (7)
  \6 Y. }1 ~+ x$ P! E这里介绍一个关键,微积分的精髓——dx属于一阶“无穷小”,而dx^2属于二阶“无穷小”,二者相加,高阶者略去,所以:
" x5 S# [3 Z& g' a+ A+ C1 @6 A: Fdy = 2x*dx                (8)
( L! J& A6 N( z( Edy/dx = 2x = y'          (9)
5 ^( Y: U+ N6 e6 G: ~, D上面的第(9)式就是(5)式的导数式。
+ N" b; @. }$ [) p$ P* y: J
- T  K6 W  f4 a6 P# B, @下面看二元一次方程:6 t% p0 X" I7 o& ]4 j2 ^
z = xy                      (10)
+ o" X; V) B# i% a4 x7 F4 F$ g4 g做替换z→z+dz,y→y+dy,x→x+dx得:# r# W( \; k. t  m
(z+dz) = (y+dy)(x+dx)(11)
; k" a5 a! @( u" I7 ^9 n展开得:
8 p! H! N3 n) P1 ]. lz+dz = xy + ydx + xdy + dxdy (12)
. l  Q7 ~7 v+ B1 A) Y9 p' R5 o# q1 ](12)-(10)得:9 ?2 ^  f: S0 g
dz = xdy + ydx + dxdy(13)& W1 [: Q! C1 T& b' o* @- \& T
看上式,又出现了高阶“无穷小”,可以略去,所以:( k5 ~$ g( f% |9 ]1 a. n$ L
dz = xdy + ydx          (14)
! u) @4 l7 R3 C: @6 @* U! Q上式即为(10)式的微分式。/ Q, t& ^% t# [( o: q- k! X7 M( C
) z, Z+ [! [2 w- \6 @
最后再举一个例子,关于流体的连续性有一个式子:- L2 B& i. V1 t4 E6 G$ j1 U
ρvA = C(常数)
: N& i; a4 U; B1 ~, }书上说先两边取对数,然后再两边微分,得:
+ @& G6 U% c/ ?* |0 k. \/ {dρ/ρ + dv/v + dA/A = 04 v2 A) ^7 `7 y/ C% ?
用我的方法,不用无中生有去微分,一样得出这个式子,先做替换得:& ^6 ]- [9 s. v; Q
(ρ+dρ)(v+dv)(A+dA) = C
+ \, g5 H: }6 v$ A展开得:
2 P- T. s" j, z, t( nρvA + ρvdA + vAdρ + Aρdv + ρdvdA + vdAdρ + Adρdv + dρdvdA = C
: ^2 x  Z7 @, h0 [减去第一个式子,再略去二阶及三阶无穷小,得:
' d* F7 E5 \" f) f, ~0 {3 Y: {ρvdA + vAdρ + Aρdv = 0
6 M3 z% O4 S  Q* E% |两边同除以ρvA,就跟上面一样了。7 z2 E) F8 m/ P6 x; r+ P" K, [5 ?8 \
% H. m( y/ P- f1 _' ^# ^0 S- N4 G
总结一下,第一步替换,第二步相减,第三步“略去高阶无穷小”,成功!
( l) ~+ w" ~. U任何方程式都可以这么干,不涉及极限和无穷等概念,轻松学会微分变换。
  f3 M$ a" P6 k, g) V- O! @% U

点评

+1 模拟加分,感谢分享~  发表于 2013-5-23 13:13
风随意 +1 加分是假的~  发表于 2013-5-23 13:12
lcs
我学了几年 ,愧对江东父老!每学期都要挂!  发表于 2013-5-22 23:09

评分

参与人数 9威望 +18 收起 理由
风追云 + 1
tntk + 1 自己算了一下y=x^3,不给加分不行了!
看海的小羽 + 1 这对刚学积分的初学者挺好的
ERPIONEER + 1 热心助人,专业精湛!
沉没二十年 + 1
の小南灬 + 1 大学老师要是这么教就好了
xlf63 + 1
zerowing + 1 逍遥有空帮我算两个积分如何?哈哈
老鹰 + 10 热心助人,专业精湛!

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发表于 2013-5-22 22:08:50 | 显示全部楼层
初中毕业表示很难看懂~

点评

哈哈,受教了,不过前提 应该是 一阶微分不变性  发表于 2013-5-26 21:23
大侠您看到没?没有比这更简单的微积分教程了,真的没有了。呕心沥血啊。。。  发表于 2013-5-23 21:01
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 楼主| 发表于 2013-5-22 22:09:51 | 显示全部楼层
题目又被改了……声明一下,冒号前面的字是管理员加的。
& F6 k1 x4 z2 X& ~, a鄙人可不敢说研究数学,会让教授们笑话的。
. W: n& a4 }/ w9 w9 G! L1 p6 I7 K0 Q1 o, r) J再次声明,冒号前面的字是管理员加的。

点评

比网易公开课上还简单一些  发表于 2013-5-23 20:59
处士你总是那么谦虚。。。  发表于 2013-5-23 07:58
呵呵不要谦虚~你这么谦虚让报纸上的砖家情何以堪  发表于 2013-5-22 22:24
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发表于 2013-5-22 22:42:51 | 显示全部楼层
最近感觉到处都要用到数学呢
: p, j, q2 x- m/ J+ m往高一点研究都是要用数学的   也在看微积分 复习一下
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发表于 2013-5-22 22:59:07 | 显示全部楼层
很有意思!  I8 j2 N. p, p' v
谢谢把你研究结果与大家共享!
3 [; x" {7 x- f- x0 g我提点我的看法,请不要介意!
  J5 Y8 f3 p# ]; u你用的是数学研究的枚举法,如果要普通适用就要证明的方法过程,你所谓的无穷小项不一定是真正的无穷小。

点评

很不幸,他这可不是枚举。这是利用微分定义的推论。说白了,逍遥写的这些就是微分计算法则的推导方法。微分及一个无穷小的区间,因此,二阶微分则是这个无穷小的区间的无穷小,故可以省略。  发表于 2013-5-23 05:30
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发表于 2013-5-22 22:59:56 | 显示全部楼层
不去教数学真是浪费啊。
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 楼主| 发表于 2013-5-22 23:09:28 来自手机 | 显示全部楼层
mfka 发表于 2013-5-22 22:59& a; J5 @* f" m+ f9 I
很有意思!5 Q  W3 U6 G2 Q" }7 L/ y" U
谢谢把你研究结果与大家共享!
( l8 ?" O1 C5 H, [* q  w, y. V2 T我提点我的看法,请不要介意!+ t5 {9 ^" H) O, w$ B
9 `5 `( V; ~( m
鄙人这是综合了标准分析、非标准分析以及我国阴阳学说才研究出的结果。( Q" N8 ?' X3 s/ ?5 C1 X5 J
完全符合洋人的标准,所以不存在你说的那些问题。6 w) u1 y0 {: g

% G% Y8 z) Y1 x' X5 N! k  ]  [补充内容 (2013-5-25 22:28):* b# w- z2 S: i
这个真不是吹牛,其实我原本的想法,并不是这样。我原本的想法写出来,如果用阴阳学说来看,是很容易理解的,但现代人怎能接受?我只能写成这样,但这样更难理解。但是——无论你怎么说,这种方法的结果却是对的。) o+ w3 a$ m  u' Q5 c

) ~  ^- m- E& m/ b4 I% D补充内容 (2013-5-25 22:30):, g; E3 x- `  ]. d& ^$ o
我们不妨想一想,这种简单直接的方法,无论在什么情况下,它的结果都是对的,但它的解释学起来却无比艰难——大家想一想,问题出在哪里?就是出在对这种方法的解释上面!
$ c. g8 m# ?" g
+ H* Z) Q+ z7 `补充内容 (2013-5-25 22:33):
  f% h/ Z2 f+ M4 n$ L所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等,这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法,能让我们很容易就相信这种做法的正确性,那么,这种学问学起来是不是就会容易很多?
% s1 e+ q1 Z0 w) d  @2 ?2 i: i' a6 ?3 s5 `4 Z  F
补充内容 (2013-5-25 22:34):
9 y0 B7 k7 M6 F3 b1 r5 t9 @, Y2 J所以不管什么无穷小、极限、趋近于0等等等等,这些概念都不过是为了说服我们自己而已。如果有一种方法,能让我们很容易就相信这种做法的正确性,那么,这种学问学起来是不是就会容易很多?

点评

逍遥大侠确实另辟蹊径,我重新看了一下高数,发现书上对微积分的定义就是什么无限趋近(即是大侠所说的dx,无限分割),求极限什么的,远远不如大侠说的易懂,而且更接近其本质,早看到这个帖子,也不用痛苦的记忆了  发表于 2013-9-11 10:57
逍遥大侠果然数学功力深厚,此方法与牛-莱时代的数学家们不谋而合。他们就是这么干的。  发表于 2013-5-25 21:53

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参与人数 1威望 +1 收起 理由
Michael0576 + 1 博古通今,了不得

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发表于 2013-5-22 23:09:29 | 显示全部楼层
满新颖的
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发表于 2013-5-22 23:09:40 | 显示全部楼层
嘻嘻。以后遇到这些就简单多了。

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参与人数 1威望 +1 收起 理由
逍遥处士 + 1 大侠若有应用的地方,不妨发上来看看?

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发表于 2013-5-23 07:40:03 | 显示全部楼层
这其实就是导数公式的推导过程,用极限的方法,数学分析教材至少我学的版本就是这么处理的,这么看来不清楚极限的可以用楼主的方法,知道的可能就觉得在绕圈子了,小小评论楼主莫在意啊

点评

非常同意这位兄弟的观点,其实就是按照求导的定义来推导的,简单的函数按楼主的方法来求会觉得非常方便,但一遇到复杂的函数那就相当于是在走弯路啦。  发表于 2013-9-30 16:28
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