本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑
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这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。5 F: d, V4 k5 P& B! I8 P+ X3 v
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。
% \$ \+ x. H* T& P; S' ?: w生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。$ J# d8 J9 v: X1 H, |
2 Q- c/ n5 s, P' y& O0 \! h1 Y8 ~
首先，简单说下杠杆原理。如图。1 g6 d" e; \( v4 `
$ L: M6 [$ i8 {. g0 V& m
杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。0 |7 P- R: b& [1 o4 r( w0 n
那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。0 W* G$ E9 b4 q0 J- D0 t, Z
9 y0 T; ^( y, P t0 @
我们来说正题，杆秤。8 _2 E0 I# ?3 X1 ~
; h- N* l$ ?. m5 T3 O: x$ ^5 x' {1 [分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。
* ~; B5 L6 F( A1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。& b5 B: C- n0 V& d0 ~. m
) K; [" [0 L1 \3 q! P
1 X- F, N* l. r- H0 U: F+ k
由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3) ! R | \8 |1 z# Z; R8 P
推论：G1*l1=G2*l2……(4); 3 K0 \: ~& [- @3 _
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。. J3 o: i8 z' R9 J, {
3 |! K( E4 c5 ^: m" }
分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); ) B1 d* i; H3 x
M左=M右 ……(3)
9 u3 J0 K2 E: }2 {* J3 P% o 推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); 1 d$ d6 m& B! c1 h; _2 r
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l27 A' r' w) Z3 z4 m2 L5 l) X
也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
, ^' x$ _& A S# s+ O+ Z如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
% y8 U- x$ {- n6 F2 l- z6 H9 Q+ w1 q; J) c9 G! [6 U
2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
, [( K) w& F! h5 p9 U3 N同样，按照之前的方法分析。
/ ]/ m1 B$ @9 v4 p9 E% I水平态：: R% m. [% z0 W) b$ \6 H5 R% U8 M) Z
; I! Q! v" Z% G1 _0 S M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3) : |. g. ~1 k- ~. v7 ^1 c
推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); # l5 S" I$ K9 S
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)
) {5 o0 M+ P) g3 k- Z7 P4 b
" l& m2 Y: m# Z对于非水平态：3 _' L' ^3 d9 u
/ E4 T/ z% O- v2 W9 W- H, O
M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12); 9 d& P8 E4 c6 u- Y; ]# ^7 _
M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3) / t ^3 L3 d7 ^; x
联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2# ?% n( l, ~8 u6 L3 f2 x
结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G29 a7 m8 ]3 F* H" k) f' f
即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！
4 q# P/ A0 [0 o; v+ m
- @- R1 l- M! G3 V6 c8 J+ `以上，希望大家喜欢。
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) S$ o* k/ @- |7 p5 ~PS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
楼主
