本帖最后由 zerowing 于 2013-4-29 06:17 编辑 + ]1 M# T6 d+ ]6 Y8 n3 }; B
8 |! L" l H2 ^" L$ {/ y' _这是我许诺过的最后一个题目。许诺的原因来自那个大秤秤象。1 f+ U' Q& ]8 ~1 A# n4 ]2 \
好了，我们不讨论这个象应该怎么秤，这里根据杠杆原理讨论“国粹”——杆秤。( \! z; E0 Y# A
生活中，我们经常遇见市场上小贩卖菜，“你看，2斤6两，还高高地呢！”。为什么“高高的”代表买家占了便宜呢? 我将通过这个帖子让你真正认识我们的“国粹”。
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首先，简单说下杠杆原理。如图。* j9 v; Y0 V) ?# I" d8 ^( g
* [5 J- k9 o5 V2 N' o% O$ Y' e* A杠杆原理的实质是，支撑点力平衡+支撑点力矩平衡。（注意，这里说的是一种质点分析法，理想状态。）为什么要强调力矩平衡？原因就是，在验证杠杆原理时候，支撑力是一个我们无法确认的未知数（当然，你可以说我把质点挂在弹簧秤上），因此为了确定另一个未知数，力矩平衡是唯一的解题思路。
0 U) r9 J2 N# I. y. C那么，按照杠杆理论，只要力矩平衡了，那么在适当范围呢，无论杆偏转多少，原理上不都应该平衡，即两侧力不变吗（右图）？呵呵，对于理想杠杆是这样，但是，必须要说，应用了杠杆原理的中国杆秤，其实际问题远没这么简单。
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我们来说正题，杆秤。
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: P: Z' c" I' y4 j; q3 D L( ]分析杆秤问题，这里我将分两个部分来讨论。! r: r' e; }+ W5 w. b2 u( W
1。不考虑“秤杆”本身的重力问题。只分析最简单的两个力。(被秤物体重力G1，秤砣重力G2）请看分析图。
1 i/ C* p- c- ~/ d* h& q; k3 H1 }& g# G
; f# {6 b$ B7 w' w6 X3 b 由分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*l1……(1); M右=G2*l2……(2); M左=M右 …… (3)
6 ]+ j% w' o/ _' p/ ?1 \8 t( A, f 推论：G1*l1=G2*l2……(4); / P( E' n4 x& K- D. ^% b+ W$ k
但是我们需要注意一点，这是在水平情况下的结果。如果是不水平呢？如下图。: `* b: g3 _# r* V0 j3 A
# K! J2 x/ A$ U/ j0 O9 r5 l6 g
分析图我们可以得到下面的结论：M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(5); M右=G2*l2"*cos(a)……(6); 8 |% Z& V& b# z
M左=M右 ……(3)
3 H* B" w% F- w2 T3 C 推论： G1=G2*l2"/(l1-l1')……(7); ' J. n) g% c* {( a2 t* x) U
联立4，8得：l2"=l2*(l1-l1')/l1 ; 即: l2"<l2
; U9 J: }+ g9 I$ h/ V# Q3 G 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值小于被秤物体重量。
# I9 U: G) G6 R7 n! `8 L如果换一种情况呢？秤砣位置低呢？请大家自己推理。但是我这里把结果说出来:我们实际读出的数值大于被秤物体重量。
: `" Z' q, }6 M# w& t
" U. T2 m. X* E* D( L9 N( Q# {" G) M2。考虑“秤杆”本身重力问题。（新增秤杆重力G4）
; C# X2 j7 ~2 P. q同样，按照之前的方法分析。2 Y! I4 L3 n9 Z* S" J0 _4 i
水平态：- ~2 L- ?9 Z7 H* s+ r: d x0 F$ Q
: c- |; q w- @* z
M左=G1*l1+G3*l3……(8); M右=G2*l2+G4*l4……(9); M左=M右 …… (3)
' d5 I5 U' N$ x% Y3 O 推论：G1*l1=G2*l2+G4*l4……(10); # I2 ?. h% P5 l* o7 {. n
因此有：(G1*l1-G4*l4)/G2=l2……(4.5)( J$ C) {; j) g
* z- o3 m/ A7 m/ T* j2 [
对于非水平态：/ B3 o+ s1 L, e- F7 K4 B6 {) }9 E
$ G9 C7 r7 V* j- s# e9 ^/ q M左=G1*(l1-l1')*cos(a)……(12);
6 t( v5 Z0 V8 Z: i5 y r M右=G2*l2"*cos(a)+G4*(l4+l4')*cos(a)……(13); M左=M右 …… (3) % C" [% l/ _9 e) y( V, }2 e, }: I
联立(4)(12)(13)(3)得: l2"=(G1*l1-G4*l4)/G2-(G1*l1'+G4*l4')/G2+ D6 v2 Y: f; `
结合4.5得：l2"=l2-(G1*l1'+G4*l4')/G2+ c: a" y* A7 l
即: l2"<<l2…… (14) 也就是说，这种情况下，我们实际读出的数值远小于被秤物体重量。而且，杆自身重量越大，这个误差就越大；杆越粗，这个误差也越大！& [( l, @# R' _* p
; a! A0 N& R" |: J" }. y; H以上，希望大家喜欢。5 u Z4 D# h3 x. {, [ E0 ?' Y8 z
3 g/ @/ i, C; l" `7 Z5 \+ b# o! GPS。发现里面有些过程的设定可能不大合理，做了优化，但不影响结果。 | 
发表于 2013-4-28 09:46:46
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