啊。。。这个都成月经问题了，各个论坛上都会吵一遍/几遍。。我也吵过几次，淡定了一些，既然坛子里的兄弟们感兴趣我也就说说我的看法。
. N [2 @. Q, }# g9 U有人说这个题是能看出人学没学过高数的分水岭，其实不然。这其实只关于对于极限思想的理解而已。。% m% ^0 d# V) A( F+ Z6 i9 A* Q
+ R* W8 l/ e9 p# ~7 S: [
其实0.999...999是严格=1的。$ u; k1 e5 \ _
n! W! }& C- q4 P3 H9 {
一个简单的证明：
2 v! S4 E2 p1 ?8 `$ z
# W D, v6 A8 a9 p【定理】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。
# a. P2 R+ B* Z& j( P+ t% X8 C" [) O2 X
先证定理：a和b两有理数，如果a!=b,那么一定存在n个c,c=m*(b-a)/n+a, m定义域（0，n)
6 n9 X$ T3 z- k$ ~) M) q, r9 q; N. |" d/ d" ~/ u: w/ u
显而易见吧？意思就是它们之间的小区间可以无限再分，从而构成无穷多新的有理数。
+ b9 M$ A$ |( h1 \+ Z2 F* u7 j2 V v+ V6 M+ `9 G! p/ u- W
回到题目：0.999...999和1是不是不同？
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反证法，假设不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2
* U2 |* H% I8 M7 d$ u+ R0 z! e, v0 f, n% C3 Y
这个数是什么呢？那一定是有一个小数，比0.999...999拥有更多的9. 那是不是表示，这个新的数就应该是你之前的那个数？! a" T6 `/ d' R0 Q
. A- p/ v. R' a: R8 [所以说明了什么？要么存在一个新数取代了原来的数，要么两数相等。如果新数取代了原来的数，证明你的9还不够多。
. @+ b+ h% V+ U1 i) C% p. s5 B; _) R0 v0 Q1 P( @
所以，0.999...999和1只能相等，证毕# ?' E. K* _# f+ E2 [% W' U6 e( J
) m* }- J) r9 p- {( U5 c) o+ n
# i/ Q5 \6 G" U! `6 U( W, E4 |更简单的证明方式也有, 坛子里不少大侠也说过了：
! f) D5 S; ~" D; e' h7 C( c1/3=0.33..33， 这个居然还有人质疑？小数（或者说根本不存在小数）和分数是一一对应的，或者说根本就是相等的，这个也不需要质疑的好吧？后面就不证了，有想杠一下的再说。
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再细说一下第三种。
. T# Z* p. R. j0 Y! A- X7 ~0.999...999*10=9.999...999
# F9 z v! q7 W/ F" D这个式子成不成立？显然成立。但是是不是有一种右边小数点少一个9的感觉？为什么？% G9 A R' {% {
伽利略悖论有一句话：正偶数和自然数一样多。
0 Y2 ~ i2 W; ?6 w- m6 T% v解读过来，在无穷的层面上，每一个自然数都和他的2倍一一对应，有n个自然数，就有n个正偶数。
! `+ _( a) v7 w& l o* v8 o7 F（多提一句：上例可以一一对应，但涉及无理数和实数则不行，实数对于有理数属于高阶包含，不存在映射关系了）7 `: D3 ]' M1 N' z5 u C6 H
同理，每一个左边的9，都与右边的等位的9(其实是前一个)一一对应，相当于编程里的n=n+1,没问题吧？3 w6 n7 `1 D0 x
因为是循环小数，数位后是n位，在无限的概念下，n和n+1没有区别。这一点可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖论，就很好懂了。' F2 j; ?; K2 Q9 i' ?
0 [+ k9 T: {3 k+ r7 O2 E. i3 ^9 c另外说什么无限小数不能计算的，纯属扯淡。无限小数是位数不限，不是大小不限。再无限的小数，他的值也是有限的，不能混淆他和无穷大之间的区别。- i" f& j- S% b* O* @# S( o# Z
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大家都是工程师，感觉理解能力和接受能力应该高于各门户网站的网友群体吧。有问题或者不同意见，欢迎交流。0 N, X: G) {" M, f2 h/ S/ Y; y
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楼主: 冷水黄金
发表于 2021-5-20 16:38:35
这个厉害的
