啊。。。这个都成月经问题了，各个论坛上都会吵一遍/几遍。。我也吵过几次，淡定了一些，既然坛子里的兄弟们感兴趣我也就说说我的看法。. y9 q# j, a0 A; `' P" F N
有人说这个题是能看出人学没学过高数的分水岭，其实不然。这其实只关于对于极限思想的理解而已。。
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( E3 N& r7 N- ^其实0.999...999是严格=1的。" u6 ~( Q6 E6 g! S
8 b Q5 b4 S0 _4 ]一个简单的证明：
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9 T9 l; l! q# {+ T) C" b【定理】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。
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先证定理：a和b两有理数，如果a!=b,那么一定存在n个c,c=m*(b-a)/n+a, m定义域（0，n)7 Y; u' y9 C3 W! l3 ~" k% K9 G
. a" z& K" {. k( Y# t+ a显而易见吧？意思就是它们之间的小区间可以无限再分，从而构成无穷多新的有理数。
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回到题目：0.999...999和1是不是不同？( i. k' M1 ~& ?7 K3 ~/ A
! Y/ h, @/ ], p+ D1 }" ?, ^ f" i" `7 n反证法，假设不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2! f# J* q. J; K
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这个数是什么呢？那一定是有一个小数，比0.999...999拥有更多的9. 那是不是表示，这个新的数就应该是你之前的那个数？
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所以说明了什么？要么存在一个新数取代了原来的数，要么两数相等。如果新数取代了原来的数，证明你的9还不够多。
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" x' X" p: h2 y8 O所以，0.999...999和1只能相等，证毕6 N) F) o6 C' {* V1 w6 O1 q. k
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更简单的证明方式也有, 坛子里不少大侠也说过了：3 g9 s8 y* {# r5 Z0 D* U
1/3=0.33..33， 这个居然还有人质疑？小数（或者说根本不存在小数）和分数是一一对应的，或者说根本就是相等的，这个也不需要质疑的好吧？后面就不证了，有想杠一下的再说。2 q! A4 ^) u% l8 c# h/ `' Y3 K. D
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再细说一下第三种。+ p/ t% j( S/ z! M+ v
0.999...999*10=9.999...999
- [$ C5 I1 A$ q+ @& h' S这个式子成不成立？显然成立。但是是不是有一种右边小数点少一个9的感觉？为什么？
# Z# Y/ c. k' M* ^* m6 S. p伽利略悖论有一句话：正偶数和自然数一样多。
: J1 s, s1 ^0 ?( \+ h) e# o解读过来，在无穷的层面上，每一个自然数都和他的2倍一一对应，有n个自然数，就有n个正偶数。
8 B( a5 ]0 g) l# j2 ?（多提一句：上例可以一一对应，但涉及无理数和实数则不行，实数对于有理数属于高阶包含，不存在映射关系了）
$ \' s8 e( u( [4 \2 h, A) C同理，每一个左边的9，都与右边的等位的9(其实是前一个)一一对应，相当于编程里的n=n+1,没问题吧？9 q+ C% O6 W. F- r( W- W
因为是循环小数，数位后是n位，在无限的概念下，n和n+1没有区别。这一点可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖论，就很好懂了。
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# y ?& q3 ]+ C4 ]) H& e8 j另外说什么无限小数不能计算的，纯属扯淡。无限小数是位数不限，不是大小不限。再无限的小数，他的值也是有限的，不能混淆他和无穷大之间的区别。, c4 D- O2 E4 R3 D! o* \
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大家都是工程师，感觉理解能力和接受能力应该高于各门户网站的网友群体吧。有问题或者不同意见，欢迎交流。
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楼主: 冷水黄金
发表于 2021-5-20 16:38:35
这个厉害的
