啊。。。这个都成月经问题了，各个论坛上都会吵一遍/几遍。。我也吵过几次，淡定了一些，既然坛子里的兄弟们感兴趣我也就说说我的看法。% m% `7 R' t6 w9 l( L# L( h
有人说这个题是能看出人学没学过高数的分水岭，其实不然。这其实只关于对于极限思想的理解而已。。
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5 z+ G( T, Y5 m, e! h其实0.999...999是严格=1的。
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. c& e! X4 Y5 z$ j0 y3 b一个简单的证明：
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【定理】在任意两个不同的有理数之间必定存在着无穷多个有理数。
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! X: @4 J- j% u- x先证定理：a和b两有理数，如果a!=b,那么一定存在n个c,c=m*(b-a)/n+a, m定义域（0，n)' ^1 i- h1 w. Q U, R. }, [
4 G" r8 h9 v) l显而易见吧？意思就是它们之间的小区间可以无限再分，从而构成无穷多新的有理数。1 z" t* j3 v! V/ Y3 c
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回到题目：0.999...999和1是不是不同？
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反证法，假设不同： 那么一定存在a,使a=（1+0.999...999）/2* d1 @, u# L8 T$ G. O
6 X6 |+ o, A, c- V( w: h8 _# Q. _9 Z! x这个数是什么呢？那一定是有一个小数，比0.999...999拥有更多的9. 那是不是表示，这个新的数就应该是你之前的那个数？; Z: [: |. e3 p5 p& E( K' j- u
0 [# {$ R. q" C! t& U$ g8 T; w所以说明了什么？要么存在一个新数取代了原来的数，要么两数相等。如果新数取代了原来的数，证明你的9还不够多。5 `* U# ^, z5 N: @0 d/ T8 q
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所以，0.999...999和1只能相等，证毕
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# [1 @* X, ?8 L/ v6 B- y7 d& O9 N/ y/ x
更简单的证明方式也有, 坛子里不少大侠也说过了：2 p! C+ Y) S4 q' t: J z( }
1/3=0.33..33， 这个居然还有人质疑？小数（或者说根本不存在小数）和分数是一一对应的，或者说根本就是相等的，这个也不需要质疑的好吧？后面就不证了，有想杠一下的再说。) Z& j( a# S- {' R! |5 J" p# @' u, `& r
; _4 r8 Q0 y* r再细说一下第三种。
( g; R6 V! e5 Q) Y$ A0.999...999*10=9.999...9993 ?' {0 w* O& t+ g& j
这个式子成不成立？显然成立。但是是不是有一种右边小数点少一个9的感觉？为什么？) L, w9 h! o) C* Y- \
伽利略悖论有一句话：正偶数和自然数一样多。4 X. J$ y% {% h$ ]$ R: x
解读过来，在无穷的层面上，每一个自然数都和他的2倍一一对应，有n个自然数，就有n个正偶数。
) d) C/ ~ \4 Y+ F（多提一句：上例可以一一对应，但涉及无理数和实数则不行，实数对于有理数属于高阶包含，不存在映射关系了）
' s# p' Z k4 Z同理，每一个左边的9，都与右边的等位的9(其实是前一个)一一对应，相当于编程里的n=n+1,没问题吧？
! w7 @3 k- m- A* W因为是循环小数，数位后是n位，在无限的概念下，n和n+1没有区别。这一点可能不太好理解，但如果你理解了上面的伽利略悖论，就很好懂了。+ Q: V1 `( P/ a$ z m1 K, W; A
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另外说什么无限小数不能计算的，纯属扯淡。无限小数是位数不限，不是大小不限。再无限的小数，他的值也是有限的，不能混淆他和无穷大之间的区别。& w2 E/ _/ I- i
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大家都是工程师，感觉理解能力和接受能力应该高于各门户网站的网友群体吧。有问题或者不同意见，欢迎交流。# O* o/ L' d5 t, Q2 t
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楼主: 冷水黄金
发表于 2021-5-20 16:38:35
这个厉害的
