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常在雨中跑,如何淋最少——帝都工程师专用

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发表于 2012-7-22 07:05:04 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 扫街 于 2012-7-22 07:07 编辑 " T( ^9 a- j* l  }/ q1 @

2 {) W1 p; @6 S7 `昨天帝都工程师在公司干了一天的活,终于熬到可以回宿舍了,结果出门发现下起了大雨,而这时你既没有带伞又没有人替你撑伞,在这样的情况下如何才能使自己淋到的雨量最少呢?6 c' f2 t  \  J/ F
有一种很自然的想法,那就是尽可能快的跑回宿舍。但是这样也不见得是最好的,因为在你拼命往前跑的时候,有很多本来落不到你身上的雨滴会被你迎面撞上。那么究竟怎样才能淋雨最少呢?奔跑速度和身体倾斜角度是两个最关键因素。# S, I& N9 D' F6 y2 o" \/ }
" L6 X" j, N1 |% s4 }
为了简化计算,我们近似的认为人体是个长方体,长 a 宽 b 高 h。假设雨滴匀速下落,水平速度 vx(vx可正可负),竖直速度 vy。设跑步速度为 u(如图1)。在地面上看,雨滴也在动,人也在动,看起来并不直观,于是我们切换到人参考系。在人参考系中,人是静止的,而雨滴的速度变为:竖直方向 vy,水平方向 vx(如图2)。如此一来,人应该以怎样的角度跑就显而易见了:在人参考系内,尽量让自己的身体和雨下落方向保持平行就可以了(如图3)。因为这样的角度可以保证只有头顶受雨淋,身体的其他侧面不会迎面撞上雨以及被雨打上。
! p; M0 A4 X! O容易算出身体的倾角 α = arctan [ vy / (vx+u) ]。8 a% m. X2 f1 j# Y
接下面来就要确定最优速度。假设人要走的总距离是一个定值,设为D,设在雨中被淋的时间为t,显然 t=D/u。再假设雨滴是均匀分布的,设其质量密度为 ρ。我们现在要计算落在你身上的雨水总质量 m。有哪些雨最终是落在你身上的了呢?从图3可以很清楚看出:以头顶(即长方体的顶面)为底面,高为 v’* t的那个长方体内的所有雨滴,就是落在你身上的所有雨滴。于是
% b- w9 v$ @# l' T6 j; Im = ρV = ρab * v’* t
6 [8 k- l- U: N6 u+ Q代入 v’的具体表达式:
$ {' |3 g. G0 P2 L
; a3 m: v3 [; K+ T2 C+ |8 _2 u所以:& b2 l: [& I  K1 X9 s
3 y7 e( e2 S0 L4 i  A
* E3 z. t2 @2 Q% v) {7 I
于是我们剩下的任务便是求出上式的极小值。学过高数的人都知道用求导的方法就能算出来。具体细节这里就不写了,结论是:
* p0 w# G, ^; J当vx ≥ 0 时,也就是迎着雨跑时,那么 m 随着 u 的增大是一直减小的,也就是说,跑得越快淋雨越少,当然前提是你得按照上面的身体倾角去跑。
- D% X' d9 S5 K5 w3 S当vx < 0 时,也就是雨从背后打来时,那么情况稍稍有些复杂,当 u = -vy&sup2; /vx-vx 的时候淋雨量最小。我们可以大概的估计一下 u 的值:假设 vy = 3 m/s,vx = -1 m/s,得出 u = 10 m/s。这已经是100米跑的速度了,一般人都是跑不到这么快的。当 vx 的绝对值更小一些的时候(通常情况下vx绝对值就是更小),u 的极小值将会更大。
( G% j/ f$ q/ c8 T3 c4 y' V于是可以得出最后的结论:在雨中无论什么情况,只要尽可能的快跑,身体角度就按照 α = arctan[ vy / (vx+u) ] 的角度倾斜,就可以使总淋雨量最小啦。
4 A: U- c  Q( t5 \# Z4 T
. c& q) I& x- n# F. v

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jinqizaiwo + 1
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发表于 2012-7-22 08:07:35 | 显示全部楼层
考虑过这个问题,但是没这么仔细的算过,高{:soso_e179:}
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发表于 2012-7-22 08:10:55 | 显示全部楼层
没有考虑刮风的因素啊

点评

不刮风就没那个角度了...初中的物理题目。  发表于 2012-7-31 10:20
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发表于 2012-7-22 08:32:39 | 显示全部楼层
3吧。不愧是高人
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发表于 2012-7-22 09:02:47 | 显示全部楼层
能这么斜的应该只有迈克杰克逊吧
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发表于 2012-7-22 09:09:11 | 显示全部楼层
可以弄个系列,高数日常应用之XXX。{:soso_e100:}
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发表于 2012-7-22 09:14:27 | 显示全部楼层
才人,无处不科学,LZ强人!!!顶一下
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发表于 2012-7-22 09:42:28 | 显示全部楼层
很有价值的研究课题,可以申请国家专项基金支持。/ m+ p( ~& l( p8 i
0 I/ W" Q+ @" I2 S- c* x0 h1 m
帝都如今一下大雨就好像发生一场战争。
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发表于 2012-7-22 09:47:40 | 显示全部楼层
一场大雨教训了北京的地下排水。
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发表于 2012-7-22 10:11:07 | 显示全部楼层
人才啊{:soso_e179:}
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