在纸上画三角形，无论是怎样画，把三角形里面的3个角加起来，都会等于 180度 即使是画100个、1000个，也绝对不会有一个例外。有谁不信，不妨动手画上1万个，再用量角器去量一量。 那么，能不能找到一种三角形，它的内角和不等于180度 呢？
6 k1 Z5 w' ^. x 在200年前，如果有谁提出了这样一个问题，准会有人对他嗤之以鼻："哼，这也用问，三角形的内角和等于180度，这是几何书中的一个定理！"
* s8 O4 r: q: D8 b; c+ Q( h" n 定理就是经过逻辑推理证明是正确的数学结论。如果有谁不信"邪"，仍要问一声："这个定理就一定那么可靠吗？"那么，人们就会搬来经典著作《几何原本》，翻开头几页，指着"第5公设"对他说："瞧，这个定理的正确性可以由它来保证。" . F; t$ ^- |" I3 z5 q
公设也就是公理，是一些最基本的数学结论，它们的正确性经过了实践的反复证明，是不证自明的。不朽名著《几何原本》中的全部定理，都建立在10个公理的基础上。有谁敢怀疑"三角形的内角和等于180度 "这个定理，也就等于是怀疑第5公设有问题。如果连公理也有问题，岂不是所有的几何定理都值得怀疑了吗？3 J7 k" u0 R4 ~. M2 j) g
第5公设也就是"平行公理"，它的意思是："在平面内，过已知直线外的一个点，可以作而且只能作一条直线与已知直线相平行。"试试看，过直线外的一个点，你能作出第2条平行线来吗？
6 T O7 P# b& {, F2 |1 ? 既然有第5公设作保证，三角形的内角和看来也就只好都等于180度 了。/ N9 y/ C$ j$ @' ^, V- h
不过，数学家们对这个"第5公设"是不大满意的。这倒不是怀疑它有什么错误，而是觉得它不像其他的公理那样一目了然，很像是一个定理，于是试图用其他的9个公理把它证明出来，进而将它从公理的行列中赶出去。
$ s) m, a" m8 m1 h 《几何原本》问世后的2000多年里，数学家倾注了无穷无尽的智慧，始终也未能证明出第5公设。虽然有不少人曾宣称解决了这个问题，但一检查就发现，他们不是证明过程有错误，就是用一个更不明显的公理代替了第5公设。无可奈何之下，大数学家达朗贝尔称它是"几何学中的家丑"。
0 P/ g/ m. [; x1 @1 U 19世纪初，有个叫亚诺什·波里亚的匈牙利青年，决定献身于第5公设的研究。他父亲是个数学家，听到这个消息给吓坏了。尽管父子俩天天生活在一起，老波里亚为了郑重其事，竟用笔给儿子写了一封劝告信。: O6 z* m. F X7 ]
波里亚深知父亲的苦恼和失望，但他没有知难而退，义无反顾地闯进了这个"毫无希望的黑夜"。他很快就发现，只要改变第5公设，就可以创造出一种新的几何学来，于是提出了一个新的平行公理：
+ e( k9 G/ Q' ] ?% C "在平面内，过已知直线外的一个点，至少可以作两条直线与已知直线相平行。
! t- n" [0 U5 _ 这个新公理否定了平行线的唯一性。以它为基础，再加上原来的9个公理，就组成了一门新的几何学，叫双曲几何学。凡是与旧的平行公理有关的定理，在双曲几何学中统统变得面目全非，产生回许多闻所未闻的新结论。例如，在双曲几何学中，不存在矩形，也不存在相似三角形。最有趣的是，不同的三角形就有不同的内角和，而它们又都比180度 小！
3 f( o5 I9 k; @) O, E 能够作出一种三角形，使它的内角和小于180度？对于习惯在传统几何的框框里生活的人来说，这不啻是个"荒诞无稽"的海外奇谈。连老波里亚也无法理解儿子的创造，断然拒绝了帮助发表的请求，直到1832年，由于儿子的再三请求，老波里亚才勉强同意将它作为一个附录，随同自己的著作一起出版。
% t! e4 m+ o& B. i 老波里亚与"数学王子"高斯是大学时代的同窗好友，他把"附录"的清样寄给高斯，想听听这位数学权威的意见。1832年3月，高斯在回信中热情称赞小波里亚"有极高的天才"，但同时又说，他不便公开赞许，因为称赞波里亚就等于称赞他自己。
3 j# [) S: X+ e3 o% p2 K. j( L 原来，在此之前16年，高斯就已作出了同样的发现。但他小心翼翼地隐藏了自己的研究，唯恐这种新几何学在直观上的"荒诞无稽"而遭到人耻笑。2 D- H$ \$ b: b, H; ]* X" Z
捍卫真理是需要勇气的。0 r! `; @4 ? c. [8 `# e$ P
早在波里亚著作发表之前6年，在遥远的俄罗斯大地上，已经有位叫罗巴切夫斯基的勇士，率先亮出了这门新几何学的旗帜。
m& d" w' S% U9 n u" \ 罗巴切夫斯基是一个伟大的俄国数学家。他独立地作出了同样的发现，并为捍卫新几何学战斗了一生。当时，数学家们不理解他，认为内角和小于180度的三角形是一个"笑话"，有人嘲笑他是"对有学问的数学家的讽刺"。而一些仇视革命思想的人，更是趁机对他进行恶毒的攻击和下流的谩骂。这一切都没有使罗巴切夫斯基退却，他接二连三地发表数学著作，甚至当他已成为一个瞎眼老人时，仍然念念不忘口授了一部《泛几何学》，为这门新几何学在数学王国里取得合理的地位而大声疾呼。由于罗巴切夫斯基最先昭示了新几何学的诞生，所以双曲几何学又叫罗氏几何学。
+ a1 O1 G- k; K% P 罗巴切夫斯基、波里亚和高斯，用他们创造性的工作，动摇了"只能有一种可能的几何"的传统观念，为创造不同体系的几何开辟了道路。1854年，就在人们仍在抱怨罗氏几何学"不可思议"时，高斯的学生黎曼，又给几何王国增添了一种新的几何学。! g& s3 u2 c' P3 K
黎曼提出了另一种新的平行公理：
& k3 ?: `$ M( x "在平面上，过已知直线外的一个点，不能作直线与已知直线相平行。", U; {/ k4 W. S
这个新公理干脆否定了平行线的存在性。以它为基础，再加上原来的9个公理，就组成了椭圆几何学，也叫黎曼几何学。
* j+ g7 J, Y; o0 W- ]: r 在这种新的几何学里，三角形的内角和等于多少度呢？有趣得很，它既不等于180度 ，也不小于180度，而是大于180度 。
; N' ^7 t" E6 a( k 黎曼几何学中还有许多奇妙的结论，例如，"直线的长是有限的，但却无止境。"要弄懂这些理论非常困难。据说，当黎曼第一次宣读这方面的论文时，除了高斯以外，会场上竟找不出第二个能够听懂的人。! Q& s5 P0 `% N h7 A# \
罗氏几何学与黎曼几何学都是"纯粹人造的"几何学，与人们的常识相悖，乍看起来都显得非常不可思议。实际上，它们比传统的几何学更加深刻地反映了现实世界的空间形式。举一个最著名的例子：爱因斯坦创立的广义相对论，就是以黎曼几何学的空间概念为基础的！根据相对论学说，现实空间会发生弯曲，到处是新几何学的用武之地。
% }+ M3 }+ N" o) U4 @* u! l 相传高斯做过一次有趣的实验，他把相距很远的3座山峰，看作是三角形的3个顶点，然后计算它的内角和，发现它竟大于180度 。这正是黎曼几何学的结论。也许有人会说："这不是一个三角形。因为它不在一个平面上，而是在地球这个曲面上！"那么，哪里去找平面呢？运动场是平面吗？池塘水面是平面吗？它们都是地球这个曲面的一部分。这样，又上哪里去找平面上的三角形呢？如果没有三角形，怎么会有内角和等于180度呢？* H# v4 g6 |- F
罗氏几何学与黎曼几何学更精确地反映了现实空间，但是，在我们的日常生活里，传统几何学已经足够精确了。在我们的视野范围内，水平面是非常接近于平面的。实际上，我们也根本无法测出它的弯曲度。这样，测量水面上一个三角形的内角和，虽然它实际上并不等于180度，我们却无法测出它与真值之间的误差。所以，在我们身边这个不大不小的空间里，传统的几何学仍然是适用的。: `! H' {& j/ a
因此，在纸上画三角形，无论是怎样画，把它的3个内角加起来，都会等于180度 。但我们也应当知道，在数学王国里，确实还有一些"稀奇古怪"的三角形，它的内角和是不等于180度 的。
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发表于 2012-3-16 20:00:04
