过F点分别做AB,BC的垂线垂足分别为I,J.连接EF.
0 V" I. O. I, h3 X5 m% ?( r7 W9 C5 K因为HF为角BHG的角平分线.
b5 P* q* |' j) v( {2 q; S所以FI=FG(角平分线定理)$ E3 A" c+ w4 Y4 ~9 y5 K
在直角三角形HIF与HGF中HF为俩三角形的公共边,又FI=GF
8 b: g( `- {6 L$ _所以 三角形HIF全等于HGF
, ~# l z4 ^7 a& F所以 HI=HG- E! B) b* n6 I4 \" d/ B$ S: q
同理可证 FI=FJ 又FI=GF
. S3 O8 D8 Z, R [0 q所以 FI=FJ=GF
% M1 e" d+ I0 E在四边形FIBJ中 FI=FJ 且FI垂直BI FJ垂直BJ
M3 K; e) r0 ?4 I$ ~所以四边形为正方形
- @) j# ^( S0 l2 T所以 FI=BI=BJ=FJ- a s- d% N+ o4 U* \+ J
在直角三角形EFJ与EFG中 EF为它俩的公共边又FJ=FG5 M8 i$ ^# p. R- Q% O
所以EFJ全等于EFG % F X3 K' b! f7 B8 w v
所以 GE=JE
: O: p% @/ \$ z% W HE=HG+GE=HI+JE=HA+AI+BC-EC-BJ=HA+AB-IB+BC-EC-BJ
8 @4 X. h$ R$ \$ V I* g( v' R8 k又HA=EC(已知) IB=BJ=FG(已证)
" P8 K" m# l' D1 X- T/ J所以 HE=2AB-2FG 3 ?7 s7 z5 t1 o' x% _5 l
所以 AB=FG+1/2HE |