关于极限和连续的两个数学问题

螺旋线 · 发表于 2011-4-20 22:54:58

还是不要讨论这种问题吧。
数学这东西，学不来，知道结果和懂是两回事。
作为工程师，需要的就是知道。

未完不续 · 发表于 2011-4-20 23:49:08

本帖最后由未完不续于 2011-4-20 23:50 编辑

第一个问题：要想蛙跳不出去，前提条件是井要足够深，大于等于蛙单次跳跃高度的2倍。
第二个问题：以A点为原点

T1= B1/Va

T2= (B2-B1)/Va = Vg*T1/Va = Vg*B1/Va^2

T3= (B3-B2)/Va = Vg*T2/Va  = Vg^2*B1/Va^3

……….

Tn=(Bn-Bn-1)/ Va  =    Vg^(n-1)*B1/Va^n    =    B1 * ( Vg/Va)^n/ Vg

   当Vg/Va<1时，( Vg/Va)^n→0, Tn→0,说明阿喀琉斯能追上乌龟。

风追云 · 发表于 2011-4-21 09:04:18

这两个问题是名副其实的“长驱鬼魅”问题。哈哈。

扫街 · 发表于 2011-4-21 09:10:18

1除以0等于神马

andyany · 发表于 2011-4-21 09:18:02

数学如果不和物理结合，就是奇技淫巧。

fmdd · 发表于 2011-4-21 09:27:53

第一个：无限等比数列求和Sn=a1/(1-q)
a1=1/2 q=1/2 Sn=1
说明青蛙是能跳出井的，只是在它有生之年没法完成，抛弃理论不说，从事实上来考虑，青蛙的前脚已经出了井口，后腿虽然还在井里，它可以爬出去，不用再花无穷多的时间继续跳了

第二个：这个是哲学上的诡辩，运动具有瞬时性，也具有连续性，哲学老师说，任何运动方面的诡辩，都是割裂了运动的两个特征。在这个题目里，运动只表现出瞬时性，所有的分析点都是一个片段。这个问题需要有比物理学和数学更高层次的哲学理论来解释，那些研究宇宙的本源、人生的意义的极端聪明的家伙，才能给你揭示出这个问题背后的本质。

鬼魅道长 · 发表于 2011-4-21 09:52:17

本帖最后由长驱鬼魅于 2011-4-21 09:52 编辑

这两个问题，必须计算“重心”，即没有实体的点，不然，就会出现楼上说的，前腿出井，后腿留在井里的事情。

可以先分别提出假设以建立数学模型：

1.青蛙第一次能跳到井的一半，而且1/2^n次跳的时候，所耗费时间也是1/2^n秒，那么当它跳到第n次的时候，与井口的距离差为1/2^n。
2.阿基琉斯时速为1m/s，乌龟为0.5m/s，两者相隔1m，所以第一次经过1s，距离差为1/2，第二次经过1/2s，距离差为1/4，不断往复，则第n次，距离差为1/2^n。

那么可以得出，两个的距离数列是基本一样的：即1、1/2、1/4、……、1/2^n。

但是得到的结论却是两个答案。

kongping · 发表于 2011-4-21 10:24:31

本帖最后由 kongping 于 2011-4-21 10:31 编辑

第一个问题：先决条件是要看井口的高度和青蛙第一次跳跃的高度，青蛙有可能跳出或有可能跳不出。不能一概而论。
第二个问题：先决条件是谁的速度快，如果阿基琉斯的速度大于乌龟的速度，那阿基琉斯一定会追上乌龟，只是时间问题。如果速度小于或等于的话就不用说了。

luyupei · 发表于 2011-4-21 11:54:09

第一个问题是距离的极限，所以跳不上去。第二个问题是时刻的极限，过了那个时刻就超过了。

鬼魅道长 · 发表于 2011-4-21 17:47:22

长驱鬼魅发表于 2011-4-21 09:52
% r$ C; f! f/ V这两个问题，必须计算“重心”，即没有实体的点，不然，就会出现楼上说的，前腿出井，后腿留在井里的事情。 ...

刚才打了一大段字，想不到网络出问题，一下变成未登录状态，辛苦白费了……555

其实距离数列已经说明白了，是完全一样的，之所以答案不同，是因为缩短距离而花费的时间的关系。

1.青蛙第一次跳，花费时间1/2s，由于中途会停歇1s，所以第二次花费1+1/4s，第n次则为1+1/2^n s，那么花费的时间数列为：

1/2、1+1/4、……、1+1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数也是无穷大，青蛙永远也跳不出去。

2.第一次缩短距离，花费时间1/2s，第二次花费时间1/4s，第n次花费时间1/2^n s，那么花费的时间数列为：

1/2、1/4、……、1/2^n，n无穷大，则消耗时间的总数是1s，根据前述假设，在速度为1s/m，相差距离为1m的情况下，在1s的花费时间终结之时，阿基琉斯与乌龟就站在同一位置了，而下一个t时间，无论有多么小，由于速度上的优势，他必然会超过乌龟。

对比一下，就发现两个数列的差距就在“每次停歇1s”这个地方，换句话说，如果阿基琉斯每次都要休息，那么他也永远追不上乌龟。

之所以想起来把这个问题发上来，就是想说一下昨天讨论的结果，那就是，追赶别人是不能停的，如果天朝每次追赶米国都要停歇，那么，即使发展速度比人家快一倍，也将永远追不上。

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