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楼主: 阿松

球面渐开线方程的理解

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发表于 2006-5-13 16:51:47 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式
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 楼主| 发表于 2006-5-14 08:30:10 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

请怀疑我公式的正确性!
; B- U, j; e# z3 n) m$ s小男孩,我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。" l! O" A# Q" p
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发表于 2006-5-17 16:36:36 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了
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 楼主| 发表于 2006-5-17 19:30:04 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

那我给你一些提示:
4 [! h* k. |% X大圆就是球的最大直径,基圆是球上任一比大圆小的圆。
6 l. V( S9 D* [# E$ }请想一下两圆相切:可以想象基圆水平,大圆倾斜并与基圆相切。! ?0 P* M/ [% c: [* b
然后基圆不动,大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。
6 l/ ^" j+ `: Z然后在某一个位子,大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。' a1 M! @! }4 T$ @' e2 U
然后构建几何图形。: o( d, H) ]: l! l' H& L
然后进行一步一步推导。
3 Z9 t0 Y5 t; }
* e0 }/ a9 A1 R9 `- ~8 q我就是这样推出来的。相信你也能推出来,可能公式比我还要简化。
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发表于 2006-5-18 15:29:50 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

我正在验证松版的公式
( |+ N' L0 C, g' ?: e6 }有一个疑问
4 u# f7 _) {/ F7 Y3 x* i按照这个极坐标系,当R趋向无限大时,也就是普通渐开线时, L  q' j! t$ ~3 d4 [7 t
方程将会变成什么样子?好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程0 n7 R/ a+ N! m7 C* r  F$ J) J
松版有没有其他坐标系的结果?
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 楼主| 发表于 2006-5-18 19:40:23 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

当R为无穷大是,eta为pi/2,; x* X3 i0 Q1 E3 ?
alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中5 C/ N: W, o1 o3 Y8 C/ P/ e- s2 }: ^
tan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则,分子和分母分别求导,得alpha=atan(theta), h& L- F  u3 d- a
omega得0,delta=theta-atan(theta),这是标准的平面渐开线函数。
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发表于 2006-5-18 23:23:43 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

我主要是看见了你说: x' y6 a5 J/ Q  }' l3 C
极坐标方程=R,delta,omega
3 I$ J& j1 o$ S  i$ N那么当R趋向无穷大,不论delta,omega变成什么
4 J4 [! X6 B6 ]  |8 K* L0 |矢径长度都会变成无穷大,也就是不能变成普通渐开线
4 S) e; E% w) f/ D' E. ?1 v你的极坐标矢径长度是R,说明你的极坐标原点是大圆圆心,所以会出现这个问题7 Z: T2 n5 s0 e  c- _% Z  v) J
是不是我的理解有误?# N; P6 I: d9 k* h& u8 n
% D# X& Z" s* t$ \  ^4 @$ f
我正在试着用矩阵推导,而且是直角坐标系,因为我将来要用程序来验证
3 l7 C* v$ F5 e( E% H8 {直角坐标系方便些,出来结果我会贴出来
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 楼主| 发表于 2006-5-19 16:56:14 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

直角坐标方程如下:(还没有化简,要变成平面渐开线方程的话,坐标原点要延z轴下移R)

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发表于 2006-5-19 23:54:17 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

为了方便叙述,我先定义三个点,在初始状态小圆,大圆和一条直线相切于一点,该点在小圆,大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点,也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动,小圆上的A1是固定的,A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线,至于A3,是起着重要的联系作用。
5 g5 r1 x! n. h: C4 g- q! p: n1 C. A/ |6 a% M* k
在1楼中
* P' g) n$ X8 ~  E+ L* leta=acos(r/R)
0 c6 E5 ~4 ~# P$ p. ealpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))2 ^) [6 }3 D# R0 l
也就是- O  c: G& v- |& ]. @
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
  O7 t# R) }9 `) I  C0 s: F
% ^6 k/ T0 ^/ x2 S' [alpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)/ T6 I; M! g+ }2 e) `* S
alpha是小圆平面内A3点的压力角,所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了(法线长)才会有上面的式子。
& G4 B8 S0 ?/ s* F. e; J8 Q考虑这段切线段在大圆平面上的情形,你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了,才会有上面的式子。
4 T2 l4 C# }( {4 U这里的theta是小圆平面上A3点的展开角,所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角,这个地方错了。' ^8 @6 W. w# @4 L
不知道我对alpha,theta的定义理解是否有误。
: s. b1 Y, w5 r7 i( \我已经推导了直角坐标系的方程,是以小圆平面为xy平面,小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证,不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大,还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下,然后再拿上来大家讨论。
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 楼主| 发表于 2006-5-21 10:55:07 | 显示全部楼层

Re: 球面渐开线方程的理解

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢
7 W8 ^( k* ]0 H我不明白A1,A2,A3如何相对运动,初始位置3点重合,然后是不是阿A3保持为切点?; D( Q6 X9 H4 O$ T  r, E
' m5 R. e/ S/ _, c; ~
我来说说我的思路:theta是小园的展开角,然后通过它算大圆的展开角。(我的资料没在身边)alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。6 V0 `* U3 v( t0 j* C7 b3 n4 Z" k
! @, \/ v2 S  B1 e* Q8 n2 F
如果你能通过CAD软件验证你的公式的话,我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。
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