球面渐开线方程的理解

YPFENG

楼主我们并没有怀疑你的公式的正确与否,我们只是不知道你是如何如何推导出上面的公式,你能给我们上传点资料我们理解了,当然我们就知道怎么用了,问题是不知道如何推导出这个公式

阿松

请怀疑我公式的正确性！
: K) Q3 l. |1 \' i, v小男孩，我在6楼已经答复过你在5楼提出的同样的问题。
# |! e" T' P+ W: P2 C8 I8 z. ]

YPFENG

原理我也知道但是不知道具体是怎么推导的,要是能有一本书详细介绍一下那就太好了

阿松

那我给你一些提示：
大圆就是球的最大直径，基圆是球上任一比大圆小的圆。
请想一下两圆相切：可以想象基圆水平，大圆倾斜并与基圆相切。
* ?6 c  @2 a% n& Z0 y' h然后基圆不动，大圆滚动。有点象呼啦圈掉到地上时的样子。
5 c  S# O/ w$ x* r7 \4 X1 h然后在某一个位子，大圆上滚过的弧长等于基圆上的弧长。
然后构建几何图形。
9 d9 V: n  U) D+ ]8 U然后进行一步一步推导。
' G& B/ D1 J1 B# E! S+ n$ }. ]
我就是这样推出来的。相信你也能推出来，可能公式比我还要简化。

logxing

我正在验证松版的公式
有一个疑问
: D- k, Y# H6 I  _; {& c! j8 m按照这个极坐标系，当R趋向无限大时，也就是普通渐开线时
方程将会变成什么样子？好像不能自然退化成普通渐开线的参数方程
松版有没有其他坐标系的结果？

阿松

当R为无穷大是，eta为pi/2，
) q9 `* b: j0 h! X4 D" Ialpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta)) 中
tan(cos(eta)*theta/cos(eta))上下均为0,运用罗比塔法则，分子和分母分别求导，得alpha=atan(theta)
omega得0，delta=theta-atan(theta)，这是标准的平面渐开线函数。

logxing

我主要是看见了你说
极坐标方程＝R,delta,omega
那么当R趋向无穷大，不论delta,omega变成什么
3 r6 ?7 B# X) y; _; f7 Z" ^矢径长度都会变成无穷大，也就是不能变成普通渐开线
你的极坐标矢径长度是R，说明你的极坐标原点是大圆圆心，所以会出现这个问题
是不是我的理解有误？

% A3 s8 e% {" i. K我正在试着用矩阵推导，而且是直角坐标系，因为我将来要用程序来验证
直角坐标系方便些，出来结果我会贴出来

阿松

直角坐标方程如下：（还没有化简，要变成平面渐开线方程的话，坐标原点要延z轴下移R)

logxing

为了方便叙述，我先定义三个点，在初始状态小圆，大圆和一条直线相切于一点，该点在小圆，大圆和直线上分别对应A1,A2,A3三点，也就是说初始状态三点是重合的。然后大圆开始转动，小圆上的A1是固定的，A2的轨迹就是我们想要的球面渐开线，至于A3，是起着重要的联系作用。

在1楼中
eta=acos(r/R)
/ D9 I) h% k# t0 Y5 t. t! ~alpha=atan(tan(cos(eta)*theta)/cos(eta))
* j6 b- s, |- }* w5 Q也就是
alpha=atan(tan(r/R*theta)/(r/R))
3 i, v' F& k. C" E0 [( ]: `即
4 d# O) V7 `& a4 j$ R; b7 xalpha=atan(tan(r/R*theta)*R/r)
alpha是小圆平面内A3点的压力角，所以我想你是把tan(r/R*theta)*R当成那段切线段长了（法线长）才会有上面的式子。
2 V$ V$ `9 H2 q; |考虑这段切线段在大圆平面上的情形，你是把r/R*theta当作大圆平面内A3的压力角了，才会有上面的式子。
) a7 V$ ~9 V6 z+ v) [这里的theta是小圆平面上A3点的展开角，所以r/R*theta实际上是大圆平面内A3的展开角而不是压力角，这个地方错了。
不知道我对alpha，theta的定义理解是否有误。
/ Z& I/ P3 ^2 V& a# b3 P我已经推导了直角坐标系的方程，是以小圆平面为xy平面，小圆圆心为坐标中心的右手系。还没有验证，不过可以自然退化到平面渐开线方程。因为与你18楼的形式差别比较大，还没有证明是不是等效的。下面我打算做个程序验证一下，然后再拿上来大家讨论。

阿松

首先非常高兴你能够和我一起花时间来考虑这个问题。谢谢
' K  W2 y4 C! e我不明白A1,A2,A3如何相对运动，初始位置3点重合，然后是不是阿A3保持为切点？
+ c. z# v. ^+ {+ G( B
6 ^/ X, g; @# @- m我来说说我的思路：theta是小园的展开角，然后通过它算大圆的展开角。（我的资料没在身边）alpha 可能是大园的展开角。然后通过它们算矢径与各平面的夹角。
5 m0 E: a& V5 ~
如果你能通过CAD软件验证你的公式的话，我们的公式应该是相同的。至少可以转化成相同的。