7 \5 }; {3 R6 E7 r! |" d4 a
凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
" L; Z. r# L' a! u. d3 F( z不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。
4 d* y) j2 F: R; D7 H. y同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体; p2 q' T/ m$ R! g6 l9 E1 ?
; t% F8 f' ~) `9 P1 W
 7 y8 S6 g. |+ `# n% {% |' H
凹面GOMBOC 平面图.
( U* `4 c; E" o; ~8 z# M只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。
" O" c& O1 Z, Y- a* p `- m2 tGOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
0 e2 [+ w* `( O, d: n, d& I1 J
; z9 \; b: T, x3 r; L2 q- Q
+ h6 L3 A# C( i; y; f平面GOMBOC
( F! {$ W6 K+ ~$ P+ I' }! l: Z9 V( d8 {- p, ^
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。
" D9 W8 q$ y1 B2 P' W; s @
% K4 Y+ j- {, Y. r在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
% J h7 ]- x* o- ~2 N5 q! O Z/ ^9 q8 t; G) r7 c/ c
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
/ z* O1 D, n' G. U) C2 R2 ?% b+ o8 w# ~; J4 }8 i% u
. i/ Q; |% V1 q原理 1:% R1 O: E. c+ \# w8 w7 t7 c
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。
$ T& A3 D3 p) d; I
! |' W1 t M5 [如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
; _% H+ V& w$ a) r用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
, E* Z2 ^; G! U' L) ?8 A) Y: d3 t7 c$ }, S/ l. o3 z
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
) e1 r2 c; k- A2 b支撑面沿着直线。5 a p2 L6 r2 O3 H3 X& ~& ~
但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
5 `2 I7 m6 t8 v: h$ c. K# q9 _
: e' H! X+ q' o) U' ~
% L5 D* q7 ?! i6 f! O
编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） 9 ^2 m$ J; M5 x
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟： 2 J) ?2 B% g# t
四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 + Z6 b. t7 x* m3 D6 S
; j1 S' g2 Z' J) n, V0 h7 x
+ _# I: l( m8 z1 v; O+ |有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。. `. R; b' P5 E) v( Q- z- W
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。) Z4 [6 D$ ^8 p% U
3 s8 |9 X+ n; b
有关GOMBOC的基本概念3 i& x" I7 M! l( C) X
0 y4 W! e, ~# T( R3 o0 P2 O: k$ h7 x9 e# H% Q! |; R
0 e3 b9 L( h3 L) O* c$ m/ V类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)
9 E: Q1 m% y- d% A6 I% m- N, @% L+ J& X
6 |4 d/ W2 r6 \/ n! F+ J: d- }$ L+ b
三维体在球面坐标系中的定义
( e& Z" C% e" A7 Z: v# j6 x) v5 z0 g3 c
h- s, j2 R* M9 v, L' k3 y区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。
% Q2 F6 {9 D1 `2 K4 E根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： 3 }8 D4 U R7 \
8 H6 c |' Y* D; E. Z7 o
( a1 n+ w3 B9 e2 G C" q: F4 b
* H+ E' m6 |2 n
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,; A' c( n5 T' Y) P! p
( H+ y) t: p: L& P1 |/ Y* Ka) 和 b)很容易被驳倒( f5 m. ]9 S: o% f
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否， 4 e0 U! \3 }* S9 L# m
8 w6 a: d! K" w( z( ]! d& K. `4 o
* ]2 B8 y, G) A6 G
! J# y2 a, k: x3 |- `' V0 @ a: l2 o7 \: F. O' X- f0 J$ t
i > 1 时 u = t = 1, s = 2) w% ^2 v/ f( _% g
% w" E% _; r; K" G
4 C. z3 y2 R" C" r& d1 u) J- |- u5 @7 p# \7 G
' @' R: u# J' ?2 d+ k" s
/ _% z( j. d' l% l' L! y& l第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？4 ?0 u/ R) j( @3 m
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。& f! [9 u% J$ y# I2 d# N+ T
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。' T9 f) K+ V: c- ?* I
平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
6 M6 e5 R' d0 L' i; F* U# `如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。# i1 g# O3 K3 q" o% X2 i
如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
/ s& e6 P+ O; F: a9 c/ x4 C物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
f' E$ v+ e( v- w' ^由此得出平面理论并不适用于三维体。4 C9 j' X+ b" h9 r/ t
O# V' n) J+ F& X7 B; h
: p' b0 J8 E7 n0 a
. E% y% H' J0 A i6 I
T4 g+ \, V2 n; V5 A
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
" l5 g, O5 {& s- Y, v* R0 ~# |0 ~; V: [! V6 w. L: `
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
! x0 B2 V* \* V& t运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。
+ c5 |. X, |% y( Z3 V" G" J; t受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
2 _" Z3 b. @" ?8 c8 r6 e( m构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。! ]& I: `. I2 s |/ i! i
8 D" g) p: N2 x1 c4 r( \- K R
9 `# S- D( d5 Z! Z" V2 D
0 |$ s3 R- X* o" A4 Z% a1 I" J
a4 @' P: u# D) I4 ~: b
- j7 a' {% z9 k2 j+ y应用于论证的双参数物体图形
/ ?& g7 H0 Y9 x ~: D @
/ I s5 T0 f- C0 O0 c4 j8 p/ F! E5 g
“真正的"GOMBOC
/ a: w3 P& E0 h. o6 p% H
& r8 B9 n/ x2 g6 F6 p! \通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
! H- [) P9 J- j. j是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？& I0 Q( O1 u, C- q% K1 o
GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
) z8 F+ g( [# X( `1 v3 z: K. ~/ p$ F, Y: y+ G1 b& e d; u3 o
4 \9 V4 |# S8 |5 \( W$ r" G9 {2 ]3 b, V
简单的图块拼接到一起构成GOMBOC, p8 A: n5 x+ C1 u* t7 ^8 L
1 `* _$ G2 Z" v H9 v; O0 X8 U
' Y5 p0 w \( r% e
( ]; @0 ~2 t+ l. Z: S
* W e0 g/ Z e5 t# @% }在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 9 D) |( `% E7 ]" m5 g7 _8 z K
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发表于 2010-11-15 08:49:53
