$ ?6 _. q. Z# I4 N8 d" C* V8 Y凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
3 C6 \- U1 ~5 b" p0 n+ F不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。6 z" } s2 m. d
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体) r, D$ S& Y, R: n! J$ [
! ]; ^4 y3 M( g6 y2 C2 } { # r" @( u# P. |( k
凹面GOMBOC 平面图.
8 ?6 ], E- k* |& W2 P7 e3 n只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。: V& j# V2 g2 d# i0 K! r
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
# ?( g( v; {5 m+ g. R& _! u1 `) Z# a( [4 q+ m( R; }6 G( h
( b- ]# [% k; ]' D5 L
平面GOMBOC
8 y$ q1 j* ^1 A* T0 j* y8 f, p C+ C, f$ j& r0 b, _; O& N; u
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 , o% Z% ?0 L- I6 Z* Z" @
2 [1 c" D- Y' \$ O在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
+ w, C( ^! q) Z) d: C
6 c9 ]9 i5 C$ l1 n& p9 Y$ H+ [当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： + K, I- T. ~3 ~ K9 ?; ?6 Q, }$ F
+ y( x2 ^7 A n2 x- d6 c3 v j
: Y! B7 D3 v( a原理 1:
, w$ F7 S, J6 s6 m7 E3 d/ d所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。
( J/ n" d4 J7 j/ Q) t* P* v3 c
- | |, T* h6 b( K5 C如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 & h8 L9 {# o, g# [
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
# F* @6 t, f+ _; n. A- g5 s1 L; g, z: Y0 D( k
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
7 \ J9 f) Y" j" E4 G1 ]支撑面沿着直线。
4 _. r0 @/ ?9 U' n6 x- [但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。 3 `1 i+ G, E6 e1 k% m3 P# ^
, s3 G4 g( P1 P6 O
3 \3 g2 B6 w9 G6 [5 L
4 `! L) j. r) F9 ~! T4 v编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
! |5 C5 @1 m- l- U正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
6 G/ E. ]4 S1 o8 q" E四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
, [) G5 l) n% T& m' V) F- ?9 w) A! \6 G! v+ Z7 l6 M: ]
P6 y- `( E$ U. _/ z" S: `5 @% e! Y
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。" L! ]' R0 o3 ~# L8 g4 Z
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。2 b) Y: H- t1 W( F
; Q* M4 [8 _* h+ v9 Q W: }3 o4 W9 ~
有关GOMBOC的基本概念
4 a+ \, ?. C! W' z% |* B
1 ? r) d/ h3 E' z0 q- K8 [- a$ @% ^' V$ N
8 P3 D# D* d" Z2 z& r0 V+ h# R7 y类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)& x, L7 U9 v) V1 M+ g7 S& ]3 O
# Q" [- C/ R7 k' R0 t8 p; d3 t4 d+ S) |8 c B z: `
& ?, B& X) D* D7 u) O
三维体在球面坐标系中的定义
+ E) J$ e# }" s
2 l& y( R4 R* q. Q: h9 [
" e" K! M) R) [7 |) C/ x! j) n区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。' [1 Q q ~' g" S) j3 j& d
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
2 m, [# f: `1 q9 U8 \
, R/ |1 b: p( \* g; C7 ?0 @" _+ t+ M4 |9 A! U; i# K5 E$ i: S
8 P. C8 n l4 P# p+ e$ r9 K& ]
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,' q1 ^6 f7 M2 y& p+ \
* |' a0 P, G. C( \% `" q9 q
a) 和 b)很容易被驳倒$ S' G: \" R5 U1 }0 V6 N; [
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
# J1 O, I2 d3 ~; r% O; x
5 k4 R1 G* U" `6 D! @2 t, E( a! k$ ^% A( e5 x
! D6 V& p) B4 [
* @3 i. n2 F: u4 F# ?
8 ?% F6 J' E( u( qi > 1 时 u = t = 1, s = 2# ~' t' i0 T% R4 h, _
8 J" ?! d1 p; i. T. {$ D. K* |$ d5 h9 m
: }- G; m* n+ R0 Z0 K" C7 q [0 Y' z h! O
( }* p6 m l3 q1 e, ^" n' r+ p4 g第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
! n3 l- y! {: h- D我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。
% d2 |0 |, E$ S2 D# x; n假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。5 A ]2 C- S" g. s2 c) B9 l
平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
8 v" P5 K/ d7 J" u4 V6 k& _; S3 o如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
- m0 P4 U* Q9 V% k' |. G/ ]( I如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
' f$ B8 ]- |7 r. z8 _4 L物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
, c7 q+ O6 U. { N由此得出平面理论并不适用于三维体。
7 p3 |1 t$ E h# {' A, S, f6 t8 J9 N6 e+ d& ]+ H0 g7 }
% w2 A/ O3 H1 v2 R8 A+ M
1 v% F6 s1 i( J# s2 }' [% C8 R' i4 Y7 b' E' n' u! [
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 ! K4 B, ?0 E* q% V J
: x3 h2 z7 K0 c4 l- `论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。- T( L/ o, x7 F7 g0 N9 j
运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。- q; S6 n8 u! c5 M) T/ B
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
2 d, t7 X5 U0 r9 ~构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。( A7 g |# @5 J& D3 j+ V
2 f6 H+ P6 n+ W: y8 J5 S
. b0 H4 t& y% t( [2 D5 y4 S8 L+ o' G7 s0 X
9 e6 o! h3 N* }; V {+ y2 Y; P
' [+ Z8 u8 J2 m7 L+ _
应用于论证的双参数物体图形
' v% ^* ? } B z( f& g B# Y
9 J3 O* y- r' `5 S“真正的"GOMBOC
; L2 c: }/ C) L8 R' u- {4 G- l; d" _& [
通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
4 w) t+ e3 o/ c5 u+ \$ g* p3 `是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
?7 i' v- g) d9 t8 EGOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。" `' r8 g9 K( l( n' ^: v$ [
& t3 @4 V V6 Y# E% s5 \4 ~$ i/ v f; S) k! p# z" U# H/ y
$ q( L: S+ n( Y8 B$ j! X
简单的图块拼接到一起构成GOMBOC* [$ @+ b' L2 E: F( O. T9 `
/ f7 G$ y; m5 A. u$ p
8 Z5 J7 f5 i2 r9 \; r% N
0 J7 ^3 x, ?& d, K
( U l% N) o4 {. `# h. t* p在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状
& x. l4 w- |: K1 C |
发表于 2010-11-15 08:49:53
