* y& M5 }: Z" J4 o$ R; k
凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
# k, J0 k# F; M- F不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。6 @, @* S2 W7 ?+ U; D
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体4 B; o7 b0 W; A* m2 k
$ i6 Z( x Y0 P) A# a' |; Y 3 j/ Z" |) t) s
凹面GOMBOC 平面图.
+ u( J- S# `) ^: F: `; ?
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。7 L# L/ ]1 a: y0 A2 c5 B! a6 ~
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
9 p0 J8 i& w% x: I. I" v9 C- J8 B3 ~2 n& [$ I/ v7 H, b0 ~6 ~
; _) G" g2 G/ A4 |' A2 E平面GOMBOC) }+ D# s- i% `' H# W4 T# s
' \1 u0 K0 H( P; c* Z# Q" V* o
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 ( Y9 B- f" n) Z+ W1 u1 v
/ [* V# c r8 g- h3 e在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 6 I! s% Q+ Y# ~2 T9 d6 Y D
$ o# g& _! z+ _# S( n1 p
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
$ Y5 I/ E- C. G, |7 M$ T4 j" `7 X3 k" U- D% y
7 }) l' A& M2 n' g8 d7 D8 C6 N
原理 1:1 P, I, {7 m; k3 Q* t
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。: z" M6 I: D0 z' x/ ]/ [
; O8 K; a7 l/ n& S- @( p如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
; d f" _/ K0 v! a; V2 H用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
) L. G1 m/ e! C6 N. s. G0 ^& c4 ?9 D5 Q9 y/ l# j3 D2 ]2 Y8 h+ f5 N8 b
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
4 e9 B6 z' z- D4 q支撑面沿着直线。
5 r! w4 x3 @3 p; n6 c* J但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
F4 }3 n/ H+ s7 z9 `" a$ F, P/ | \
+ v x7 Q Q5 w' }9 D. f4 V7 M! a4 @* U/ y" r3 d, k" ]
- B4 O( ?* f: v" |8 i
编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） 5 `% v9 Y/ `; F6 O8 Q0 \
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
8 K$ H! n7 T3 ?' L2 x9 x) ^: Z* B- I四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
6 M& m6 T7 y K' b+ J0 h4 ?! W1 i$ a- [+ t3 D0 g1 A' y7 d
3 @3 F' O$ q( x+ i' B0 \; N有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。" `9 Z1 V1 M% t2 \
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。$ \( P4 s5 _4 S% n+ O4 E
4 ?: H4 Y; K3 W9 y! D6 S
有关GOMBOC的基本概念7 t. g# F7 B# t
+ C5 g" t) r3 f- k7 V
5 C/ f% T& K: p$ E1 m# k9 ]. l" v( y7 P# M' ]' N) a3 [& ]( A
类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)
1 g* k0 |; K3 {1 \3 P, s+ Q% w2 P0 h$ }$ U2 \. S" f
$ c2 Z# U$ j* E; ?$ A* m
' d' t( s3 C0 G2 \
三维体在球面坐标系中的定义
) r7 x0 Y3 K8 t6 y1 R: n
# x* N0 S! [0 l7 r- s
& p3 F4 ~# P, n区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。
; B9 }; S: u: H7 P根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： ; _9 `) B* ]6 d: K I1 e
1 n# R% H) B3 z* }# O# W" r. `
: A1 m j: j& m" y& c# b; o
: B- f4 o$ C8 a; i
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,$ m! d0 v, c& m8 {
3 Q6 X6 @% ^7 N: }' N
a) 和 b)很容易被驳倒
2 |7 G, Q+ L& [# l5 Ms = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
1 Z* m' v. n0 q- O3 G
. E$ d0 m0 x7 ]$ A
" `5 ~1 [5 M- ]- y/ Z( R! x7 p2 g% X1 a: \5 y. X
. F5 B. S _0 k) g9 a
; K+ b5 u) `/ m( g8 t, N# fi > 1 时 u = t = 1, s = 2: V6 L ^; ^9 ?/ i& R% M
5 D Z1 ^" k- [! e+ h
9 C- W @3 M* m: y+ S( \, q2 X! z K2 A4 c/ ^0 ^
4 W5 \; V0 S+ ~ A# M+ n
# `# E$ ?4 l3 a2 P
第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
8 w' Y8 a) \+ y* q' B5 a我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。/ Y f4 e, h( W j* C( @7 u; C
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
0 k& f/ x/ G( w平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。* X# _; e8 G# T
如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
* }7 x1 H! G" |# H如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。3 T$ u. y) z9 Y" N0 j
物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
, v8 ~* }0 H) a& P. m0 M由此得出平面理论并不适用于三维体。
1 ?2 e% ^, ?/ X8 H: @# a
# K+ o2 r% s2 l: a* V% Q6 T* O7 V3 k2 @8 U' ^, X
+ d( r* Q/ r! o2 P2 y& |+ _% A! r8 r( w
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 - i* R1 R! e6 G# a
" o5 z- @6 g. D# G3 b& T) ]. F
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
0 p. v$ N! [6 S( M. P8 H% s! |运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。! B5 }' H8 J* b+ C8 V( Q% ~9 k% G; q
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
, H) w6 l( A5 h {3 S% O! }0 D构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。- z% o0 P6 v7 \/ `
4 ^6 c' A) c1 _5 Z" c- j, }7 F
( r+ Y, j' r- `1 A) x; E7 S8 P
$ N$ ^1 c$ [% B n) y! w: Y- h' f! K. O" Q3 ?& N
应用于论证的双参数物体图形
0 z$ @, ? W- o
, s. e$ l$ O5 ~) ~9 t$ i“真正的"GOMBOC- r% i, Z3 v7 D! D8 r# q
( }6 s# ]! g: \- m( o通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
: d5 h( h* o, w是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？+ d1 C% _: D0 n# n' }
GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。. `5 t' I2 M( Q6 E$ \
* b/ m8 Y6 G5 _7 |$ K2 i
/ ~$ I5 r3 G' a0 k- ^6 [& P2 W" g6 ]& l
简单的图块拼接到一起构成GOMBOC
1 v/ p) [, V. H( O/ w
) K( u% M1 s) W' K3 a' W . }: y% _. ^" e- D' k' ^
- J9 r& h' O$ W( \
$ H! a+ L$ C% @, {$ Z, M在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 3 G: Z0 o6 A# o5 B* t4 G
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发表于 2010-11-15 08:49:53
