3 T4 x0 P# @4 c凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。& ~5 `- V* w0 k$ Z0 Z7 K
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。) A3 b# A! C6 |, N8 \; `
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
9 w, G' X- O, S
" E8 k1 H Z, e ' n# j! r3 h# h( v
凹面GOMBOC 平面图.
# K0 w/ |2 \* z
+ m) t9 F7 G) V4 B* r! c只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。5 a7 T* I2 N0 x7 I X- p
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
: }0 ]- e: c( t. a
1 O0 Y9 A7 P, s5 c% g" W
4 W" Y A* ]; i) `( R( S X d平面GOMBOC
" ~! \6 O. V+ e1 M. y- x: S8 P& g! O! b+ ?4 P: M+ a! k
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 3 F4 z& k g- ^7 i# W* e
* V! k5 a3 b7 `! `6 f M h在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 c1 E( E0 K# I" i& L! Q/ G
( w& {( T4 a9 f* M; _
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： 5 O1 |) e5 ?3 L9 a- f. a; E4 ]+ Y
# W5 {2 A8 m8 |: B& q' \% L" U/ B. b% A7 f- H
原理 1:5 g) X; D1 ?: X$ @ T8 H
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。5 Y+ w% [! G- ~
& D9 a" s) z1 j3 [$ D$ m6 |
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 3 }% e, x5 c' O$ j( w
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
' \3 `% p4 Z$ Z' ~/ E6 G
- I$ W6 W8 ]1 p. D" n8 Z相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，( ]" [* n1 |. ~; Y* I4 U7 F
支撑面沿着直线。
. S$ B3 m) G& {但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
3 v+ Q2 D2 m7 z& R# {8 N; t8 Q; F) l: z! _$ l, X! }$ A0 A
) T3 M- b" y* c+ o, i( T4 w
/ p+ h1 [- T8 d1 f) E; j( i编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
4 o S! F4 J s |( k' Z0 J8 I: P正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
6 m" }6 r, g6 O8 N四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 $ l. z, t4 _/ _% `1 \4 \* @
& v2 X8 ~+ n: x8 w' B8 y# i( Y
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。
& C) p0 O1 F* b3 Q如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。/ |+ `4 ]) E% k) {
3 Z- b& `* Q. r0 d4 k6 |" @" W( J; s
有关GOMBOC的基本概念
; Q- ?, ^0 B: l3 K+ I# X: J1 b4 c
2 y7 }" w4 f( E) h8 [. D) A' o- P$ k' b' S. T- O
# e8 u. k z4 P6 V; b9 I2 ~6 I
类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)
% Q5 i4 a2 g: _0 f5 o, A' p$ w
* Y1 C* [* D8 A+ ~; c2 }8 a* k( d G* v b7 E4 S: {5 E1 ~
, d1 S) x6 Z; N+ L. |三维体在球面坐标系中的定义
7 ~& ?0 H, K9 V
0 f. J& c9 V b2 w- n " j* C& q- S# E3 V( I
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。
% c6 k8 W, } V: z% X根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
+ S1 M3 m" J# F4 c
) b( E b' C4 p' q+ Y' j8 Z' S# d# ]1 r2 W
! |2 ?- S9 N7 u! h( Q! {
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
0 N3 h6 f9 ]7 ^/ t7 V* a& @
8 z8 \& u4 `/ Ja) 和 b)很容易被驳倒! D" l% U4 w1 g3 s- }8 B
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
# W3 \. K5 D% V9 y! K- O1 H& t4 P" t/ N" k: s* M) v
a- ?8 K" i" j3 R/ y4 l
+ X6 |0 P8 ?9 n Y
3 b0 B+ n6 `' Z: @5 V2 l4 B4 B8 ]6 p1 L/ r
i > 1 时 u = t = 1, s = 2
" s5 {5 g' m7 ?3 r: o6 e: l/ Y8 F+ m4 Z4 ~
( [" i1 c# G# q& @& l+ G& A d. n! k! `' m6 T: K
4 v4 c3 G, X6 p
( a* Z0 I0 T, G* d% p- H第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？0 T2 }3 A7 E. h" E2 v6 s2 {
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。
, V. y: s& v0 h% L: T假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
( @0 \+ _+ N' P, \" J$ W平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
9 m- }4 O+ C% ~如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
( I ~$ e: ?3 M( ~! P; g" Y如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
: v! t5 n/ }5 I. V% L7 i5 t物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。, K5 D3 D3 ] X. X7 ?
由此得出平面理论并不适用于三维体。1 c" _ s( O7 j8 k0 q$ z/ n$ |
1 k7 e2 \; Z C
" r' W" c8 w1 t8 p5 J
7 i7 A3 ^# P9 [7 V! m7 _7 \' g1 x( _$ {+ [! ?
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 1 e2 j* d, E: n5 J& U+ A ?) { E
/ A! ?/ A, u- E) J1 l; G
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
$ w9 x2 q2 d- O9 J a2 K# E9 N运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。
, X0 }; ]+ O( e" s受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
% Z+ c* a( k6 n! b构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。% @6 O' A- w0 r; X7 E
4 V7 J# u( X: ?; n8 a! j" y( J5 [8 I
) h( u8 v; f* u! @
3 `" x2 S5 y/ t7 Y4 K# g) B* `' A" v3 b0 @: T: V! S. e* F+ C
) n* X& F' d8 [3 @, I R应用于论证的双参数物体图形
! a. A4 r% e6 R$ \' N8 m
/ g: N/ B0 C- }& P% K“真正的"GOMBOC* ]! i+ J! T8 Z5 T! q" _
/ _* S3 ~$ f/ a, p
通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？$ f' d O N( M* K
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？/ a! G$ h# n# `3 K$ j. o/ T- f
GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。( M: M% ~) Z3 Y- P7 L
/ l4 v+ b) I3 O% W- z9 g9 i1 J6 m
~* W# R; n7 @# z* y. e- b+ ?
2 @( L( G* x6 P- `# _) I. _0 N) I* l简单的图块拼接到一起构成GOMBOC
0 p9 }1 g& _: l* Y. s* A8 I8 s2 n% R: Z: M6 _# ]
; n4 J% {+ R" j4 }3 X9 g) ~2 @/ r$ a
2 n- J# }# A3 h* y F- o& f ]
在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状
6 q' e6 p7 Z. i( } |
发表于 2010-11-15 08:49:53
