' v% o* ^: |7 s W J8 F( F凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。3 t# C% K! _# N Z
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。4 F! q3 _ q0 i, R/ Z! X
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体, `% J/ Q- y, H8 w5 w5 ~' H6 c
% U& _* _) N0 s. g; O' a* q
. K" e+ r; Z( J G- f% s& X凹面GOMBOC 平面图.
: \1 M/ u |* K- m* Y- \4 @* F! s只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。
8 |* G/ _+ G4 zGOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
. \# \# {% \! b% E* X& F' E
* l) |% t. u) E4 s9 @( [$ `7 E w0 E$ ]% v/ U k! P
平面GOMBOC
% e' {9 F' ]1 k" N' p( S$ s4 t- Z' a' v& ]8 i# Q( t" k) k& V' y
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 : q7 J$ l5 |* a) ?$ X
" }1 U/ u, H3 N
在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 3 q/ `6 m) g' h" e9 D2 }% w
$ M+ T- S7 k: \' Y- S( j5 v当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
# }$ P# O& B9 A# }4 ?4 f6 {( Y* ]/ F7 R; d
& j% {+ z1 b+ ^/ s; t- x' f3 ]
原理 1:5 Y& `5 j8 R5 l! ]
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。1 M9 x: s& ?. G" o, h% l: g
5 {$ {; B$ @! m) ]5 M+ B
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
4 e4 b! s& u' K" B用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
) A3 V% _$ P2 z
- i' I9 ]2 C; n2 h" Z相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
- ]! \+ ^) L8 I* u: o支撑面沿着直线。8 y" j3 }* C& S' I( ~6 `6 c+ G& N
但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
$ n. j/ Z m+ A3 F$ ^7 b. \7 |* ?4 F: @
- y- l/ B9 C9 v9 q9 G
( e, v* T7 z! C; I: H9 k+ S! w编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） : t x- X/ t7 J3 R0 e2 y7 N6 e
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
" O% ^0 e4 _* K: V+ H8 b; X四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
& K7 s7 `- e. I" k k7 a7 W% Z) }" J% q3 v) M3 V* D+ j
/ M& ?5 d# N! ]5 @有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。# ]& _: H+ w( E2 ?6 L- @+ p* Q
如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。: O% n/ S: V' `5 a% Z- @
) |! H, S# x" v有关GOMBOC的基本概念, d0 C8 h: @; m4 Z& p
: z& |! T5 m3 h1 K$ c$ s4 C+ p/ z; K& n, |
7 }) ^) i# d' e+ ^6 T' U) }类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)
) |# W' {0 @3 }* D* V- n* W; m7 f0 o3 j5 a; W9 {
T" Z; W% f& H% a1 H ?8 Z" i( F
# a8 L7 Q3 O- m0 O- ~3 F" F" ^! ?7 E三维体在球面坐标系中的定义
# Y3 ~& O: ?7 o% J
& w- o! K% N, h* Q0 y5 Z( O4 a" t 1 F5 Z/ D5 D3 \; }' [# C5 W) S5 s
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。/ e- P; o* D7 p4 ~
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
; c9 N, i; K2 P; e) c! F
& V& u4 O7 u/ V( O3 @! k+ G& p1 C, c1 Z) _1 e2 M& u# {( J
" P/ s) I& W( M( Q8 ^. c
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,( ]9 ]( y& ^# }: _
6 p5 t; r) c8 [- w" X+ @
a) 和 b)很容易被驳倒
/ H! c ]6 l4 o% O5 V0 W4 a/ [/ R+ F; @3 _s = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
: j/ t4 ]' T9 K/ y, _# N7 {) s$ D l- \2 j; W
4 z9 _! C2 a5 j8 u- z
0 O/ J [5 T E9 C/ E4 V3 i8 A/ I! f
, \: m: e- R3 l, c1 t5 P' a' G/ E' H+ h# _1 e! U
i > 1 时 u = t = 1, s = 25 W* h1 k& i6 @$ M- \7 \* T& F# c
& F q& K2 v5 I' Y: f- i
) E& [0 B Q6 z2 V0 o( H ]
7 l) }$ }( Y% v$ H9 x Q Y/ B8 r6 C
# H7 ]8 ]: p% w& F
. y! c+ P6 t" }/ G+ h第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？( I8 _7 b; u) Q& N# D2 g/ G9 l$ O
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。3 ^/ G. s% m4 i2 Y5 T/ V0 d) T
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
& m8 M- I' I) |, i$ ]1 [6 h( K平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
) C( i. p; z9 H' K5 B如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
4 }4 m& T' ~9 ^: z7 q/ {3 ^如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。0 Q9 M% B0 k; g, _! A
物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。/ M4 ]( F4 i* t2 y! b% ]2 a
由此得出平面理论并不适用于三维体。
% l. V) j1 C( D) t5 Y* s" T; k2 ~! D0 ]
: B- H! [, I' A9 T
: L; \' O0 @4 B/ c& R
1 t( g) E' p* @" }1 Q' V分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
. K1 h: k7 q; Z4 L) y7 d; w0 Z; ~
3 z* Y0 `* ]' l论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。5 |" O" c N# C; l; i
运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。7 q( h, r5 a) i A- Z
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。& {% q; [: ]6 f1 m
构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。
1 H; b2 X5 u& F: ~' m9 i0 R0 e# q2 c" c' R
4 f5 a( f* j3 x
( G+ h3 ]0 G' N" J2 i/ M1 I& B
# g) d5 k/ J: N: H! Y% y* Q
& M5 F, }2 U4 X3 [! ~1 x6 [! p应用于论证的双参数物体图形
. j" }) ?8 p" y, p0 x8 _- K/ R4 e& {
. f# ]1 K# V4 ?+ n1 ~' n5 z“真正的"GOMBOC: f8 Q. i( {/ g' h8 e
5 H, ~1 S* V' K+ O通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？* V6 @) ], v1 e; {
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
9 J$ k# e* t) K3 ~" NGOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
4 Y+ Z7 s" A8 [7 D: ]+ t. W2 \) J8 v- j2 s6 t# D, |1 x5 D
$ \. w/ O$ N* T( U2 b* D& O, l
3 N. E2 _8 l# r1 n简单的图块拼接到一起构成GOMBOC" @6 d6 Y1 ` P5 U) q. A. ~
1 W3 _/ g* S, N+ h! [
1 y+ G$ Q6 V6 Z
5 I* `! ^! i' ?: P0 G3 `- d+ I
2 f& u- _: q9 ]5 u, h在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状
1 X8 D' d) U0 j |
发表于 2010-11-15 08:49:53
