0 K; w4 p M ~9 g& s4 N凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。: T# M& k: w* p: }
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。
2 H4 R9 @8 {) @. A- E' H同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
3 o/ `- C9 G3 y1 R) m4 r t2 K+ t; ^) G* [ `$ a- o( `( T
" U8 R5 f1 H( { Y s2 _凹面GOMBOC 平面图.
6 N6 w8 Y$ ]1 h" L0 C+ }0 f0 L1 Z7 K' _& V+ _
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。( g% }9 x0 o/ [- N
GOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。
1 w3 q: V( f5 y0 m* J$ W4 P+ O p8 ~ X) ?# F
3 Q' N+ |9 F, \/ F平面GOMBOC9 t' k1 B& n. ^8 n
8 ~9 J6 i3 ?4 o; _2 e( l8 s由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 ( r# w% ]- W2 {% f7 J- f8 W+ x9 Y. e
- ]! H( V6 O, v0 O7 A在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
& F9 [ v) d$ k9 I8 b. \6 ~6 e, l8 y# Y
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明：
& i# o; @& r5 O! T4 X5 y) \
9 F. i( r5 d% l/ u$ C( J. p7 j3 x& ]5 A
原理 1:+ ~5 @# y6 {$ R% q
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。
`" D( _3 e1 h9 o. C$ X4 S1 \2 x2 x5 R1 z8 `# G: ~
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 ' C: Q2 C5 H; L3 Z+ l
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
5 T' }+ Z5 i- q# L- e
6 V# G* V& m) s" c" \0 p相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，
6 u# l* w. w$ I$ Q1 ~* M, C8 t支撑面沿着直线。
) r! o. f1 N5 r9 W L6 Y$ ^但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。 3 q6 M1 k8 [8 Z9 r6 A
+ J+ t& q' p7 Q0 ^
, Z1 G, g3 ^5 j3 c3 H$ D4 J
! O* L; o. R5 e/ w编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
: x3 f0 k2 N8 e# l正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
. A, B; x0 Z. ~' s0 _- `, R! h四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值
6 O3 j2 z" e1 D
! @) ^, w2 Q" l" u8 T. B
7 Y" A+ m# ~# [; _有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。
5 [, ]' X5 q) ^4 u+ v. m如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。 y2 i! M8 y l) k0 ^
* }; m% ~6 O- _5 a* f6 }; w; K有关GOMBOC的基本概念
3 q' S' W" D5 Z& D4 v, X0 I, O. F8 [4 i8 E' `) z# N
: E, ^2 K; [( q" x. a
* f: T7 f+ n- ~& |' {2 E. i类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)% Z+ @; a: H" U: H4 C. N, v
) _9 f3 V: G! R# f* n* @ `3 X% P T0 @. \* [8 m5 _
4 M( q2 Y, J- B4 i& F
三维体在球面坐标系中的定义
, S3 X) a. _7 ~4 X9 i# I
) p) Q- N8 ^% Y ) y! m \! `# A3 q( y* {2 o
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。. T' i: ]: U( z, T
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
' d, n1 C* }: f9 h9 p; l9 m, Y9 S' C% s* } Y Z4 |8 X
8 i0 h& V/ w. b/ s( N
! G: D9 u$ n* T
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
8 g% I5 { B/ D8 u4 ^) {
) O0 o& Y0 y- z n9 h5 [3 w7 la) 和 b)很容易被驳倒. K; k2 u/ v8 N: {
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否， - x& y4 x# A7 r
0 l+ h' U, ^9 p7 Q* T0 @9 o) Y$ f c. ^4 P4 v7 [+ E$ I
8 e _) S6 G* s! e; k" _! b H0 r+ l6 s. j* W# D
$ n6 }9 y. s8 qi > 1 时 u = t = 1, s = 2! l% P9 \' b9 D; x2 T' G6 L% ^( l1 ?
5 ]( Y. C7 `, Q4 [, n( g3 N6 ~2 `
4 ~- i" A0 ?' f5 e) a. {" J: p
1 Y. i% b( Y) g
* D, j1 u! g `/ S; J- G5 a y
& d# f8 ~; v6 O" x& W( l3 e0 I5 R, m' B
第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？0 g0 a- [2 g/ s" M4 h
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。+ R! ^$ x w3 k* |1 z" H& V1 g3 `
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
5 l1 q* P6 A( ^) B' g, f平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。
: d" M' q9 c8 G* k如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。& |7 k) z8 b! I1 r+ `* P" W
如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。; l# O# O/ Q# U5 [* B$ {7 X0 _6 _
物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
8 D9 _: `; r4 {) l. b. M由此得出平面理论并不适用于三维体。; {* r" ^ _& T$ B" `. t
7 K# F% v& d' y' h) B, e5 l
4 S/ z6 Z1 v5 U# n
8 V1 K) m* s6 r8 _. I4 S" C$ `2 Q2 d# k. a
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
; x1 E. W& ^3 p# p1 I# H8 s
0 V L' N0 C; R4 z2 E ]1 N论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
3 x$ k/ r; v, E运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。
1 W1 ?6 O" L% @% A受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。' M* s% f0 A. K
构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。6 [1 Q7 r/ J. ?' b" c5 F( q" X
+ J: { u0 B& d/ A8 N
], V) e* s- d& T: R0 D! T9 O0 o
) O! Z4 Q; O* n! h' M4 @" i1 o% @5 g
t# k1 T0 w' h; L; [0 ^$ R: \应用于论证的双参数物体图形
; }/ n9 G# z: }( {. z7 H% Q! Y- U/ E/ A( S! x) V1 e: e
“真正的"GOMBOC' f. C q' Y1 A) j" f7 v8 z7 c
" J/ ]$ {7 Q' o0 H# s% T, N. g1 e* I
通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？$ Z" d9 P0 c1 I( i. E
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
# r5 l) I& d+ c9 }2 C+ K' [' }GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
9 l. c% q; t( ]4 Q. F, \7 e. K* k# O- R
! D4 h; ~* m2 ?5 b& m; N
* Y! ~( s9 I; [0 b. \: k简单的图块拼接到一起构成GOMBOC# w( m+ l; z" A1 m/ @6 q7 {* {5 G. n
4 y7 z3 v! n; ]& [
( O/ `& U q4 T+ [; ^0 X4 V6 d0 o
" j5 c& Z% \3 M* H: P! c0 A/ w/ u6 R2 e
, l; f7 D& h. P6 f' z8 \2 x2 Q, e在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 8 @- R. U3 ~* |* j& a, L5 q# e
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发表于 2010-11-15 08:49:53
