+ X* ~3 d; J. i8 c
凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。
1 C- O4 J* s+ _9 f$ B5 c不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。8 h. W! h& K* A3 v( h) k
同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
" T9 P! K- I; g" j; ` E8 I( b* v+ M) b1 R1 K" D5 V; l! u) u8 }8 q
 8 C1 [& H7 d" k; Z J7 o) z
凹面GOMBOC 平面图.
6 |3 G7 Q% U% J& H1 r, Z5 t: { R- r; _( m \
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。
; K! H7 I- a) q% EGOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。 , n" u% z, L% m
. O; D9 M. _! q: b- U. B: r$ ?8 \3 c
平面GOMBOC
2 k9 c2 V5 a" G' Q! V( V! M
+ ^, ^/ d* T9 u2 @- ^" F2 j# |由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。
, R' ] k2 {4 o, M5 {8 |6 K5 n3 d4 l; @7 S% H/ }! r- D2 Q
在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。 ) s. \1 C* a- j+ m
+ L4 k: @! ^; V! z
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： & ~. A6 s! ^' L6 l, U
# D; Y/ d$ M* A9 [; c7 U9 E
* _8 Y7 i; |7 v; t& t8 n/ t/ y原理 1:# ]; }# i1 T5 G3 T
所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。3 @7 R9 h: H5 J) d6 S& S
e$ H* f8 `( J( b$ D8 E( \ X* z+ _" I
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。
( b& i+ L* p, Z# M) p5 x用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。
- U! `) k# F# h+ o: v& L$ _3 D: l: a+ ^) m
相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，* p* M ?6 q9 r+ z/ Y' Z
支撑面沿着直线。
3 n4 S! R+ w& A+ E. Q但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。 $ F$ m3 O9 l8 x! d; j1 g7 p4 t9 C
$ A9 v# `5 {: m! V5 ?* G
3 U# E$ F$ ^9 {
/ }. j/ e5 m1 z编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左）
2 W6 R. p* M" {5 H# x. p正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
5 _/ X5 ]) j5 K1 P四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 6 G" f3 W9 \4 s) L0 s
1 R7 S4 w! V9 q7 V1 b* E' t* H
/ R2 T5 o# t3 ?
有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。
- v; I3 J6 h# J+ X. c如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。
s, c4 c) B; b. ]% S) |) M, y
6 [7 i3 s h c; H4 Z有关GOMBOC的基本概念
: M! h, E6 Y" \1 C3 }* F0 ?+ s+ w- g6 l8 ^$ z9 M# ]
X( X( F0 N. A- g9 Y
9 ^( k1 t! J& M; |类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)0 e! B$ j; J- e+ d/ P3 Q. F
/ s2 x1 |# A, e. A0 Q R4 @. w2 V( Z. x7 x S, _$ y* p# V0 b# v
, z, }: q+ p! T, ]. n
三维体在球面坐标系中的定义. l+ w8 W! A$ i/ w$ s5 }# m6 `, T
- C' S9 _ J* ?/ n5 ]
# y* n/ c9 A* ^+ L8 Z, M4 V, `区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。
; T0 E' B7 j. k0 d& Z% Y. g根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况：
; N+ f* h2 K: R+ [, b1 ~8 ^6 Q( L
( l6 u8 T( A3 @7 {, I" h3 P# J5 r* S% D9 x; v6 t
- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,( e! j6 y% N5 ~; B
7 ?+ M5 B1 a1 c' {: Aa) 和 b)很容易被驳倒
. R `% E8 W0 L$ {5 ]. ss = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
( h3 t: a9 D' p9 D
' B6 A' d1 c1 R" w- x% O* M$ b" P( U% V
; h( N( R! b, ~2 ]8 l% i/ ]
; i0 h) R, k7 W* _
- G1 f, k1 h9 z/ t1 O- V: p% K) ~" I- Qi > 1 时 u = t = 1, s = 2
8 G1 c* |- ?) A+ F8 D& Z3 M6 Y' d: N5 q
, w" N# y" i4 W9 ?# n- b3 Z4 X- J! ?
3 i8 g$ a& b8 _
) @$ f0 w& P% [第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？& U+ j0 ~8 h8 e8 Y. }$ c; w
我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。6 B/ j# J; y/ e, S; v, t) }
假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。
" D2 k5 l. f/ a) b平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。! g- s- n; I- A1 t
如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。
4 p5 j% D6 |6 R( n! b如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
% z: t; ?; }! c" m* t3 _物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。! A% p7 G0 L/ t) B( l5 \( a1 i
由此得出平面理论并不适用于三维体。6 [; \, q' {' L8 B
" M3 S; I9 v* r& @, J! X+ A* p, |9 Q- |$ M6 @; p
8 c0 {6 x7 U, M) d$ a/ s- G1 r; d$ U
4 D: r9 {( Q% a' K8 a5 t分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。 % h+ l0 A; A: I
& Q& Y7 C6 E$ ]' h' K论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。
2 ]% M) B1 I0 F% h& h, S2 s# r7 ]运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。5 P# R8 z F: Y6 ^1 Y
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
' v5 ^4 n( k* Y. B! J, i5 J; i构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。4 d" g* b) l) X. R7 M& x& b4 c
2 M3 Z& {$ X; J% w) C9 x, h/ L
% i4 j3 \" ~ Y2 x8 P
4 p; a- Y/ D7 K: f: a3 L( Z; k
; _" o a2 w2 L2 Y! r1 B/ k3 P8 q- a7 ~0 L/ r
应用于论证的双参数物体图形
7 Y/ F. h2 @$ P' f/ _3 M/ F$ w: u7 ^' Z8 X6 R6 A* U
“真正的"GOMBOC' l* i8 q& G3 l
; g9 M% G) o( t% z6 N通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？0 u) |% [( k' k
是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？' m4 e0 x" m4 c- i/ \: I
GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。4 y5 x, t4 y$ b0 v& } Z0 C0 N
$ ^$ j; t6 O4 }3 I1 ?6 a; Q2 v, H+ i/ |+ r! U
+ E6 ?# r* g6 s7 \; v简单的图块拼接到一起构成GOMBOC
$ Q5 d. q5 L1 r. f/ M$ V1 S
: ]. u4 ?: Q; w6 t- s8 e7 |
7 [( t/ Z5 p2 Y- n I+ w
, d/ i* A/ v& x7 `5 W9 a4 A5 j+ }8 `% l4 F3 E! I
在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状
1 h$ o+ @1 {$ J, e6 O |
发表于 2010-11-15 08:49:53
