) X/ E- A) {+ h3 D( F
凸面和均质是GOMBOC (字母O上面有来年各个小点哦)的主要特性。2 P# W5 t+ U* S6 N7 Y- B
不倒翁是非均质物体拥有GOMBOC一样行为的简单例子。
5 L6 s) J0 D! Y3 K% l6 ~同样，因为凹面体不能通过表面圆周滚动，也很容易创造出GOMBOC均质凹面体
: V8 l+ A- X0 Z" I L
1 F$ ~; ]/ y( A) s# A5 R
1 H0 j6 k4 J5 l2 x9 C i凹面GOMBOC 平面图.
" B. H- i% ]1 e. F
只拥有唯一一个稳定平衡点的形状称作单静态体，同时拥有另外一个非稳定平衡点的称为单一单静态体。
, ^7 E7 b9 c4 O2 s4 p" U6 N2 K; t8 aGOMBOC是第一个凸面均质单一单静态体。 - e' R* ]) |0 _' X2 l
# I5 I7 |* a; A
' g6 ^( W( m F平面GOMBOC0 ~! K, o4 [$ ?' j _& y
3 e/ V4 I* g l: T+ Z8 V
由于物体重心(G)作用，平面凸形在极坐标系中规定为函数R(a)。 $ ]& k4 h) z6 b5 c8 t% @$ Q
( z: p d8 O9 p/ j: @! }( k Y' K$ o
在水平面上，所有物体都朝着重心降低的方向滚动。 R随着地面降低而变小。
$ \; T$ m7 |5 K& k" M1 i) c- Z C, y) u \ x
当dR/da = 0时出现平衡点。R (d2R/da2 > 0)为最小值时，是稳定平衡点，当R（(d2R/da2 < 0)为最大值时，是非稳定平衡点。R最小值后出现转而最大值，反之亦然。因此，出现稳定平衡点和非稳定平衡点次数相当。另外，下面原理也可以被证明： - q/ b! x; H: Y" w6 \ r% C
u) p" m3 K' B. {" k4 D5 b9 t7 a l! i
原理 1:
p' K' k7 l! Y: j2 a* ~6 h' V所有平面凸均质体至少有2个稳定和2个非稳定平衡点。
, b4 S( a3 }% R6 V* f, O# K# X( b0 s1 `' E3 r: M$ i# [
如果物体只有一个平衡点，相应函数R(a)图就只能有一个最大值和最小值。 # Z) A: ?! f7 i3 y
用直线 R = R0 将物体分成两部分，函数 R > R0 和 R < R0 具有相等（(长度 p)水平投影。 * H( Z6 \6 ^, ?/ B
& ?/ ^2 E$ t) L8 {相当于穿过重心G的直线相应把物体切割成薄(R < R0)和厚 (R > R0)两部分，5 @# r* N. P' z: L9 m1 O
支撑面沿着直线。
% d- M4 L$ P' ]( K3 e; U; C但是达到平衡的条件是G点不在直线上，应该在厚点的这半部分，这与之前所述G点在直线上相矛盾，由此得出原理1正确。
0 w9 o R! d+ c" J5 \% {" ]5 S* T- S$ M8 R; K2 A
" W) t. x2 U4 n$ l! X
( m& i7 T1 Y U) `" X2 r5 N编号为 R(a)的函数图（右）以及相对应的物体（左） 1 X. |* m, g" @1 [' X0 e
正如我们所证明的，不存在平面的GOMBOC型物体。这个令人惊讶的简单事实是典型数学原理的物理模拟：
# t+ e8 h- B+ a+ A9 g6 a四顶点定理:: 一条简单封闭曲线曲率至少有四个局部极值 5 f, }" N0 U5 s
: |" C; z% ~! @$ O4 N$ |* }
0 ^" Q* O' C6 U8 \$ V' M( U有关四顶点定理有众多的概括和相关几何定理，有时这些统称为四顶点定理。
7 q* H3 v7 W6 T- p) j5 F# O如果不存在三维GOMBOC，这个事实将成为四顶点定理家族中的又一新成员。
; [$ O" p s; E% }' h! B1 \# k y
有关GOMBOC的基本概念
' R& C) v) j2 S+ u4 [. M5 M
" e9 n. E: U/ o5 u! @9 T I. M6 i
0 e( H, M/ @, n" ]' V7 p5 a+ e( C! C2 q3 z. v( L2 }
类似于平面物体，三维体可以定义为重心作用下球坐标系中的函数R(j,q)* [- S" W5 m4 f# s! S
: T, @$ O1 S: W
( B ^' x! o8 f% S5 u$ m5 w
|* k. z! E7 N0 Q三维体在球面坐标系中的定义
l. y/ t$ Z6 h% t( u# `3 {$ y
9 x& \8 r8 f9 y }% m' S + j6 i6 ^9 Y' \2 L& U# V0 w2 W9 e5 w
区域最小值和最大值R对应稳定平衡点和非稳定平衡点，物体在R的鞍部还有另外一个平衡点。3 z# i, m# n5 k: ~. P
根据庞加莱-霍普夫（Poincaré-Hopf）理论，球体内所有同型物体，在这三种情况下，平衡值（由s, u, t,分别代表）都满足s + u - t = 2。定理1的三种假定情况： ! `# M- o2 [2 R/ t T
7 ^) A* s6 O2 Q% ~7 G$ K% {4 B$ s
% _, c" k* L! r \4 Y9 E: U
/ J8 C7 z9 B4 l7 ]! ?3 k( ]' Z3 n- a) s > 1,
- b) u > 1,
- c) s + u> 2,
4 {/ ~. @2 w7 ^. W: q( t, D) w ; W K2 F+ |! k
a) 和 b)很容易被驳倒7 \2 i8 F; F! n- Q
s = t = 1, u = 2时，s > 1为否，
% B2 Q& H" ~& J% H# a* [ Q0 Q5 U, a1 _3 Q9 F9 Y
o. X8 Y- U4 t/ N! p5 a/ Z& N* n+ h4 A v# {
! y8 F7 x& U( h8 i, M, X1 x5 T3 ~4 Y& f( x5 Z+ x& s+ f4 y% F
i > 1 时 u = t = 1, s = 2
6 J7 t, n' E4 c, X8 |5 }8 t* c" m1 \& A, J3 |
, O. T9 A$ G8 o J+ a% l. f# Z# A; S ?% r" X$ b
, E. n# ]4 F) p# P: {; p: [
: N7 ?5 ~2 g( z3 Z2 N$ k第三种情况可能性存在于Gömböc本身：是否存在三维凸面均质s = u =1（t=0）的物体？
( b9 i' D; Y# Q, y$ Z我们可以进一步延伸平面理论来证明这种物体存在的不可能性。
0 ^9 d9 ], C0 ] V. o假设存在这种形状物体，对应函数R(j,q)就只能有一个最小值和一个最大值。$ X3 Q' {* [. \# h% F& Y$ }
平面物体用R = R0分割成薄厚相同尺寸的两部分（以重心点G作为分割，两部分的空间角度相同）。. ^4 P0 N; S1 q3 z. |2 F5 B
如果切割的线条是平面曲线（如：圆），则得出类似二维体的矛盾。' ~6 \% P' k9 l; |" T
如果是空间曲线，则是类似网球的曲线。
- A* l$ w2 c8 y0 y物体分割成上下厚薄两部分，无法证明G点一定在上半部分。
9 s8 p+ k6 H: X. m5 a, W' X9 H1 X" ?由此得出平面理论并不适用于三维体。, b5 A Q( [8 ^. Y" @. S- {; S
6 ^: Z$ P- S' D: ~# q
2 n" l! E* h4 q) C: m5 k$ O" S% B1 ]/ ^# {
% N: `. c4 ]# S* q* Y1 I# I9 C4 Y
分割单一单静态体厚（黄色）薄（绿色）两部分的直线是有可能，但并不一定在一个平面上。
+ ]. K L2 B% V( _3 ?8 D. ]5 e6 F- {4 D) b! \
论证的失败为GOMBOC的空间形状提供了新的想法。1 `3 v; z' z! Z* f7 \+ ]
运用双参数闭合公式，可以分析出适当参数值得出s = u = 1物体。$ P4 v! ?( f: E! m( |8 P; f- h4 W
受凸面体限制，构造出的物体近似于球体。
1 [( q; |8 b% I' k0 V$ l构造出的形状可以从理论推断出存在GOMBOC可能性，但是否具有单一单静态体（从视觉上可以明显看出）特性仍然是个疑问。! r' E$ D8 y" e/ e
5 N3 O. L* P7 B0 a3 y4 E
. y( v: r( i" I+ T' S
, W' B, p* L0 F. g+ U$ Z
+ ]5 J1 G) D/ m; m
' ?+ c, Y: c3 {0 T4 B- f应用于论证的双参数物体图形
0 n3 E! J% t, h+ P
( @$ E7 S& y) k: d/ F' A“真正的"GOMBOC
, k9 z4 X, X% s3 U" L6 |# @
8 M3 k9 m! X. K. V通过理论论证为什么不能找到一个具有特殊形状的物体？
3 i- F0 A; h% g" B w) `是因为论证公式不好还是因为失败背后隐藏着更深层的原因？
9 q& i# [* p; @4 p' y, E$ T/ v! ?GOMBOC具有类似球体的形状，但在罗得岛上2000多个卵石中也没能找到这种形状，这种形状如果离球体“很远"就不可能是s = i = 1。尽管寻找这种物体很困难，但是通过另一种途径却可以构造出GOMBOC的形状。以下的图示是基于网球的理念。它表面由简单图形组成（圆柱，椭圆形，锥形）和平面。显而易见，这种形状属于凸面体。通过数值积分算出其重心应稍低于原先的位置，通过这些事实，我们可以简单判断出这个形状属于单一单静态体。当然，无数的形状都可以有这些特性，而以下图形只是其中的一种。构造出来的GOMBOC样品略有不同：它由很多图块组成，这使得稳定平衡特性更健全，滚动物体的力学表现更加直观。
2 H0 F& A, U- [& _3 M! I
! n. v, W6 D* `' n# _+ B$ T; |4 ^6 X/ f0 p) c9 k3 v- s
1 J( w. K Q# R2 I: ?- P% [" n3 Y2 Z
简单的图块拼接到一起构成GOMBOC& v6 n( U1 I3 D% K% Y9 z3 B7 v
* Y7 n" A5 Y4 }, l
l5 i( E# ]4 ~$ t( h& N" V6 t: ~
" ]; _8 {% j- R7 j* P
7 }, a( M% D: p, X7 ]. o在R=稳定的情况下，GOMBOC的轮廓线能明显具有网球形状 + l! c& h7 n8 X2 s0 g s; |
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发表于 2010-11-15 08:49:53
