请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，

6 z/ j2 y. z4 z  C4 V  o平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
几何尺寸如图中所示.
请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？

李赣

1、受力
2、力矩
. l/ \" Z# M2 e9 Z% Q平衡

easylife

1、受力
2、力矩
平衡
lit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课  上述用平面汇交力系可解  授人与鱼不如授人与渔
: w4 C+ e6 B, {' @' `8 i6 K
, y( i. e  ~  j5 ?请看下面  力学教材

9 `) `5 d& S. i7 Y2.1 平面汇交力系

; W2 B3 s5 z& E. [8 j平面汇交力系的工程实例：

( F& Z0 R( I( W, \5 ^9 v( D7 N
( e; O- X( D! N$ C& g  l! [+ [
2.1.1 力的分解
0 m# f+ z* {! @5 f
. O/ t) L. x, U! j" S. s( W. d1 O按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
) y! B1 {. H/ D2 J
4 u' z1 e& ?: L& x9 ]4 Q+ b: T/ i但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。

6 W, C( K, v1 \" K8 O2.1.2 力在坐标轴上的投影


( S0 P& h8 c+ R6 M* M* ]

, Z- g/ R/ U% [# x9 L  ^6 `! G注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。



' b9 T% D5 H1 x5 \. W2.1.3合力投影定理

2 e7 I' K; v" W5 Y% X

; x2 u/ P7 K% Z$ V# a
" ]  e. N, ~9 X


3 d* _' d* r& s+ t' O+ Z  s1 X

- a/ ]9 I" w% k. R" h% s# R) d合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
  W) M3 ?. U2 C; h9 k7 `1 i
- g& E8 X. ~; V8 f: h; g2.1.4 平面汇交力系的平衡条件

% j: C! V) M8 d1 M2 n& K平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即


1 Q9 S) i8 O* l$ ~( V+ ]( z
0 l8 I5 X0 c& T# w/ X即
* a9 R3 ~* K) G# y4 z
% A; b7 J# F; Y' D' u) ?
( z6 k1 I8 [* A- a- V& C

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）

6 K9 h& O5 ~1 f; r4 G& ]. x
3 @$ ]3 R, _8 s( m
6 h4 |6 ]0 a5 |' ]; u* F; Q例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。



解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
) p0 g$ n+ }# w5 M

$ U; h% K' `" q9 y
解静力学平衡问题的一般方法和步骤：

1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
' h3 T+ w) k# R/ G2 j+ U% y
2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。

. S! V$ d2 n7 L1 E) ?3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
. [  m! e4 f. ?% H$ V$ }
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

5 ]! x3 P2 }: N; a2.2 力矩与平面力偶系
. j. y5 e8 `( l6 H
# O# a- y& H% I  a2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念
4 x; c1 v8 [4 }# Y+ \
为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

' |- V, x4 B6 w, E! u; X" V1 Y7 m

" O$ U& y" y% }3 p8 D! O力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd

( R6 k  @; ?+ y  L4 R) h) }一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
, t4 z1 [' v8 z% A/ Q/ w; F% I6 M


Mo( F ) = ± 2△OAB
$ K* B1 Z/ d' r. d5 }( i
. n. Y" @& i$ s4 q力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。

) [5 b2 }2 i3 y7 F: a3 K矩心不同，力矩不同。

规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

力矩的单位是Nmm。

' U0 w0 f; G4 R2 F; k由力矩的定义可知：

（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。

力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。

4 V1 l3 |) N# o5 i2 F2.合力矩定理
. T/ G8 I) ?5 S# x. h$ \3 G9 f
- Y8 w: x8 _5 g0 G0 ]6 H设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。



% o$ s3 z7 o. Z( q5 Y, ~计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则

Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

# ?2 |1 L5 A: `+ f' M) A/ K" rMo(F2)=F2yl
. t) C1 _9 E4 j/ u. w& \) B
# I" w' K- z: k' xMo(Fn)=Fnyl
( x$ [% M. u$ Y* C! H& h5 ^
由上图可以看出，合力F对O点的矩为
8 G. J& p. V% [8 t: I; K, v* k
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl

据合力投影定理，有
6 p4 h4 t9 ~; A$ {# ^
3 G4 X% t3 k  y$ D% F  ~% @+ g8 yFy=F1y+F2y+---+Fny

Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
/ r) b2 Q& R) t1 a: \2 u
4 W3 Q. F6 e) t' h" [) o. X+ S即
7 h) `) R$ H# i7 e
: U" x' m3 u* @# N4 xMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
& q0 Y) G7 T  [/ ~/ y8 A- k

6 n  f5 S, F, ]% u6 V- W
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

7 Y8 V. ~$ }# f6 H" K8 f, w  ^3.力对点之矩的求法(力矩的求法)

0 N# z* [$ B  m* t, X5 r  U（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。

注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?

（2）运用合力矩定理求力矩。力分解

; `" ^9 o3 X# u/ k8 I例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
) u. U8 l; a' y7 X: V
1 ?5 F; K% Z0 R* p6 C1 m1 G
7 M4 |! c, O" O9 |& S* I# r' l9 d
6 h8 c/ A; N- _+ ~( y/ L1 M3 W解 （1）利用力矩的定义进行求解

0 S1 @( s' [% @( G$ S  }$ u0 r

如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
3 k0 S/ k) X: ~


（2）利用合力矩定理求解
9 O2 T# O; y. ?( m
, O0 h) j8 j8 m将力F分解成一对正交的分力

0 l9 J3 F* \5 g, Y8 p
6 r& ^1 O& P8 C7 s6 E* V
$ Z- h# {8 k( g力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
6 ^) I( \1 ~& ]6 v- I7 `) g% t
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)

1 s+ ?, s# \$ H  l* \3 w2.2.2力偶及其性质

1 ~6 [! Z( }/ v/ m: B+ ]: q1.力偶的定义

在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
  T4 n! c+ J  l; j5 b: O. Y
' `; [8 s, t# }/ l. C) u

力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
& R: w$ B, e% L* Y3 x9 \0 R* t
力偶作用面——两个力所在的平面
6 U4 g' P' @* R. s# Y& i4 O. k" h
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

力偶的转向——力偶使物体转动的方向

) d5 N4 [! O# ~7 u力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？

力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。

设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

' \  {  n0 c' a! L+ s( {

Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
! H+ j) f0 C" n7 V
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
2 A8 E/ k2 X7 D# r! E
0 K' P- O# t% G) [1 t. E力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M

M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。

* `  c- Z$ w! _/ P$ ]. n力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
( x' g' U/ ]4 ?; Z7 G
Mo(F) = ± Fd
) ]& X* d* Z6 Q# H0 k. P
- p' G) O6 c* E! ?8 j% t$ p- R力偶的三要素——大小、转向和作用平面
. L* |( y8 Z" [! R" ?" K
4 U7 p  x' X% q: B" i2.力偶的性质
! y8 }; v$ z& ^
5 B6 ~) G4 ^- F8 M. o8 X（1）力偶无合力。

/ s* r/ ?9 C: A/ r2 d力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。

可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。

/ e7 E6 Q2 A* A（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
% w1 U$ s% k3 N# P
" x5 ~8 t1 o0 Z- d+ `7 j8 F3 }力偶的等效条件：

1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
* T" J5 H# |7 n0 E7 O
8 V" Y. Y# ]3 F+ C$ k2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。

, M# \: C+ K; D$ c" g/ e' W9 ^5 z2.2.3平面力偶系的合成与平衡
, b2 L# ^! A4 U/ H& s6 v' h
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
( s) R7 t- S) B4 i8 L! I6 o
  k. Z" s4 E) X3 t  H+ [1.平面力偶系的合成

例 两个力偶的合成
5 Q, \0 h. N/ u

  e- a- \( ?( g' b9 wM=M1+M2+---+Mn
( F6 e6 K  Q6 d$ ^$ n! R$ }

( A$ U; H% q/ p$ d, [- j————力偶矩等于各分力偶矩的代数和
0 I/ Z1 e" E, F2 |1 i$ Y  w
2.平面力偶系的平衡

平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
; T9 }! w, R" v- J  H
( U: n8 \  m. l( g( z0 L例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
/ ^* |& w1 I2 |& j

! H5 r0 C$ p2 K( s" f2 }( c3 I
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
" H$ A1 L' V1 V7 [* w. C# ~' x5 s
: H( B. Y* x7 T/ eFA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

（2）列平衡方程

8 U4 S: L6 c- o0 n   
* e6 r2 G$ G/ F! ^% ]% G. ]
2.3 平面一般力系
2 N, v% |2 i# c7 w; M
平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
# o& N9 Q8 q  _& _% r7 g" i1 E

% E5 O9 X, a; d
上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用

2.3.1平面一般力系的简化

1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。

问题：如果将力平移到刚体内另一位置？

将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，



附加力偶，其力偶矩为
/ E  c3 z9 @; d8 l" g- b/ v
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
$ e: v% M0 w2 z, _/ X: I
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。

于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
; w" Q) n$ T, Q8 h- V
0 I1 n0 a' ~' t( p4 b- W: o力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
) N, A4 F+ B: G+ o0 [: d  A" D
3 p- R. F" m# [' |" f/ o根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

  Z: n, e$ K/ i# _
2.平面一般力系向平面内任意一点的简化


& H: y! k) F9 I6 r: W8 ~

α——主矢与x轴的夹角

% g1 H+ i' U- a  g7 Z$ [Mo——平面一般力系的主矩

主矩=各附加力偶矩的代数和。
! [" i8 S5 Q3 M6 U7 P8 g: T" J; W
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）

Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

$ x! C: N1 B/ `平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
; N9 `8 L/ z" }  M# ]) {  ^
    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
' w) ?! z4 X) u7 |/ B% S: k
5 p0 K5 d, F- [. q9 z9 }    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
; k5 X7 \- q+ N- Q7 f
) |/ M  I. \! @2 T3. 简化结果分析
3 Y+ g* r. B" {2 Q; y
9 [; G( F+ l& u6 _! l    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：
3 T/ A$ v8 M9 v, E
7 Q( j$ R9 @9 m% d; S+ eF'R =0, M o ≠0
/ w+ o3 ]9 S+ ]0 o/ ]7 S7 O
F'R≠0, M o =0

$ K& E' w4 j# h8 `( W, [: M1 ]. lF'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)
' G/ }$ F! n6 c! n; G5 }
2.3.2 平面一般力系的平衡
* j5 ]$ |- K9 l
, d9 \6 [# z' R4 N) r1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：



  

& d, U) _6 B# \) B2 K3 ^2.平面平行力系的平衡条件
2 P, B, U# Z, U$ L% g- \
平面平行力系的平衡方程为


) [0 i  e4 t% w
( B9 s/ P( y$ D( W% _6 w4 r9 A" ]+ |平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。
. T' M; z, o8 }" @  s# W
例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。



解：取起重机为研究对象。

是一平面平行力系
& X) w! R2 a9 w) y
3.物体系统的平衡条件
: e: ~( u- u2 M0 Y. F3 f* z
物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。
" H* Z3 I5 _: H9 n( N/ R
+ c4 R+ E& c/ G! D$ I1 N& I' S7 g9 a) [    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
& L$ c/ G9 z+ H5 ~8 r2 E9 _" t
物系外力——系统外部物体对系统的作用力

& }. E0 P# A% b& c物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

) U6 s0 b) v3 R! @0 `- k3 t  g物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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2 ]9 X' z1 L" ^

2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

. z4 U7 J! n- ~) X6 w' i2.1.1 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
" ~7 i* n- H/ A# x) T但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影
8 t' F; U5 j9 _5 r" ?6 F
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
) y* q+ t3 u9 Q2 a
% m( p8 A8 V& J; w5 f8 b+ l2.1.3合力投影定理

: \3 ~" t% |5 g! ]0 ]% n- Y) Z- W

合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
9 S; g+ K# a; w$ o* l2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
- C8 T2 J* X& J; H+ C& C7 p4 ^

即

: O! b; g9 b5 e力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
/ s& q& t0 k. \0 x例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
0 [: Y, h5 Y3 j  X8 e+ Z
; u$ C7 [2 e+ r& r- `( a例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
; W4 F8 b& o' d( H" Q
5 v) j! G& E8 k9 e6 V& G# V解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
: F! k/ q! B; V6 A
解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
- j# ?" a7 C7 i4 M/ T' u; r1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
& y& E/ |6 e5 R4 t: e9 ]/ O2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
7 o$ X6 w) n0 J' ]/ L- |3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
+ n! q" z$ H3 W4 c# d

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

5 Q4 j8 O1 I- r7 M力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
7 v+ s4 U1 y, x; \' J一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
! z' x# X0 Y) b) B
Mo( F ) = ± 2△OAB
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
矩心不同，力矩不同。
( _. Q' t1 K; q$ ~3 C规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
; j" }" \( @' t! n% _（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
- f1 Y/ m/ U' M. A2.合力矩定理
5 _5 T. h1 u1 G) `! i设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
& b; u9 T* M% h! d( h" h
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
6 Y# Q' g! F; b  `3 {+ tMo(F2)=F2yl
5 r- p- j4 u% ?9 KMo(Fn)=Fnyl
由上图可以看出，合力F对O点的矩为
; u8 v8 ~% O1 ~' l; T! KMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
, h: ?0 t" z) p据合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
8 n4 e& \# M( k1 xFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
3 g+ P/ ^7 N0 M6 X* U5 p/ rMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
+ x) C5 v6 [5 T5 L4 P  Z3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
) y: c5 A$ u! E. j注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
) b/ k, ~" V. C" i4 L( R* n" K例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。

8 ?/ x$ L9 M2 s0 y& Y: F解 （1）利用力矩的定义进行求解

7 ?8 n) W/ E7 @& W0 z7 H如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
7 r" I; T( [) v5 N- w
* }/ w3 V# Q8 T' y/ u; m（2）利用合力矩定理求解
& ]1 f3 _# r# F9 D6 q: s将力F分解成一对正交的分力

- K& F' o( Y3 n. n% U' V9 d力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
* J& C6 Q  s. h) KMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
: U% S9 x% M4 V' q8 z9 H7 z$ o$ t2.2.2力偶及其性质
' X( N; \3 e8 w$ Z, h( s1.力偶的定义
$ r. \6 T7 ~) ?; R- g在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
. j0 E) q& R; h6 G: Y! ?
& o& M" b2 U  E, _力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
( P/ q4 ?' t" J9 _& M$ x力偶作用面——两个力所在的平面
! o% w& \, j/ `0 v" i2 H* Z0 F/ G力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
力偶的转向——力偶使物体转动的方向
' r- g0 K. R2 T& g8 K3 n力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
Mo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
2.力偶的性质
2 g: S6 Z! l' }" }  v" F# x（1）力偶无合力。
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
% Y7 |" V5 W$ N2 H' X- |（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
# W, P' q6 d8 n# Q, P力偶的等效条件：
1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
* G! e7 s8 c. M2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
' c. E! ^% V. j6 W* j+ H/ O2.2.3平面力偶系的合成与平衡
+ E7 F1 m7 Q2 d; k3 r平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
8 M+ O/ ?( W( b* _例 两个力偶的合成

M=M1+M2+---+Mn 4 f2 z2 r5 ^6 {% Q7 W" ~1 Q1 ]

' X) g$ U* ~# {$ C0 D————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
' D8 d  L4 f9 l# E- X' Y
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
$ r# o% ?; p0 g/ {0 [! p8 N8 n
上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的简化
4 N  x; _3 {" E' k0 p- u2 H2 M% d0 C/ ~1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
# V8 T% Q& ?* C6 W) r6 l% U问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，

* j% D! v# m/ T) u: P附加力偶，其力偶矩为
6 P+ ?" k  a2 T) nM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
& i3 F+ K( r7 x& d9 L上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
; e/ Y' A) l* H- [6 X  H& M力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
+ O7 l4 ]# B. W$ n. t* y5 q
α——主矢与x轴的夹角
) k) E+ h5 }+ G! t, l" H+ mMo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代数和。
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
8 Z  V9 d. q5 h5 r8 eMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
: S0 x/ m: V! L' H平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

- |4 W" X9 M" }' }* h' M2 l: D2.平面平行力系的平衡条件
9 \- O' L8 G1 N! Z3 r4 k( U* S- [5 g平面平行力系的平衡方程为

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

! s- x9 M! _( u8 ?解：取起重机为研究对象。
7 S/ `( ^! B) W* b0 b是一平面平行力系
8 Y- ^# C4 S$ d( X

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。
# J, T" T0 N0 P1 C' Y% q

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
7 O3 Q; o) l/ R& c* hP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
# y8 E$ F) w9 ]  ~% Y, G/ P# J3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
5 P3 b7 }/ q' p; H' R佩服.......無言!!