请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，
$ o9 m$ Q# R% ~2 F. w
4 e1 a! R* j0 a+ G. \平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
几何尺寸如图中所示.
$ b: B$ t6 P' \请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？
. v' f" S4 v0 ~/ a' `1 g5 L
% m& s1 M8 L8 M3 V  \9 r

李赣

1、受力
2、力矩
2 a- ]  P8 i2 ?7 E$ P/ s平衡

easylife

1、受力
5 \3 C6 [! N- t! ^+ }2 `2、力矩
平衡
lit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

: [# T" z6 m4 r& Q& V1 T不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
! ^% B& g5 `+ s$ {* V$ u; k谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课  上述用平面汇交力系可解  授人与鱼不如授人与渔

. d! P* m8 X; M, P请看下面  力学教材
5 F. O6 a. y; e/ D
2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：
( A7 E% o& j( S5 m( R, ?

/ l: b; p5 a- u4 Y
2.1.1 力的分解
+ s$ W( h& w2 S2 [  n$ F( @
7 n* G) C9 @+ A& l3 Q4 s按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；

但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
% R. E. X  j+ H1 W$ v/ `, E+ i
2.1.2 力在坐标轴上的投影




' c" p  e% W5 a, H& q. [% ?- l注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
( q1 b& ^7 U8 l0 Z6 M3 b6 W" k


2.1.3合力投影定理



* z& z' ?( L- G5 g0 B

5 ~: n) t3 {) ^- ~0 J) G8 J
: j6 {  o9 ]2 B' y/ I
3 C9 D+ s; X8 P
! f- E+ \: l4 z3 m5 K! b3 ~. u
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

2.1.4 平面汇交力系的平衡条件

9 e# P5 A9 W1 f  e! r* D平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即



即

( p: Y/ m/ [# s* {8 m9 U


力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）

) ~7 G. r% I/ |2 ~8 t

) ]3 G, F2 ]  t" r例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
2 A8 h9 G, b! U" z3 m6 f" ]( Y

. q) v& \9 x  m' q
解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
% ^6 ^6 W1 A$ L% \) y/ y# z$ P/ a

- w/ s4 [/ N( ]6 g8 i! }/ b
3 }9 q6 `' I$ X; y& l解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
- f( q1 b5 ?& F( a& j% W- i
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；

2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。

3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。

在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
, t3 h; i/ R9 z: h8 w& m% z, N
2.2 力矩与平面力偶系

3 y  P3 S/ T1 q5 y# u) k. A2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

# `. A. |( }1 M: m为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

. f1 ^* r! H3 I% w

力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
1 m% V. m$ M7 }2 h
' j% W; J% d9 e% l一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
3 A( Q& s( |! z2 M0 s

# {( r# N9 t! [' G8 e( t
3 _% I* C4 J  a9 m* g+ iMo( F ) = ± 2△OAB
  C. O7 X( o% n; V( k, B
+ X6 q1 l% M) m) L) f$ n( X7 i8 _; C力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
- q; s8 J4 k) ?5 V
矩心不同，力矩不同。
" o% }8 M4 `; ~5 H4 N9 g
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

力矩的单位是Nmm。

/ U* \% @  j$ Y6 s由力矩的定义可知：
; B8 k2 ]+ w  c% i' ?5 f
. i& _0 i7 E. u0 a( K& [（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

2 O, @1 n/ \' v' o* k0 C（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
% @# `. B2 W) O
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
) K7 I* O& E/ p( y( q
2.合力矩定理
7 ^  W; v/ Y1 H& [! z6 k
7 \7 p$ m0 j$ c+ p1 M3 n9 U; y3 v设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
. Q% u' `3 k3 U6 n
- ?3 @) O) d" ^) e( _2 h- W8 E

: |3 q- j, b) x" t计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
1 s) x2 t$ n! O
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

Mo(F2)=F2yl
( P+ b. ^0 T$ D  F
Mo(Fn)=Fnyl

6 F3 ^0 a7 S/ k. {1 W+ p由上图可以看出，合力F对O点的矩为
& G% O1 m' Z8 R3 h
Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
) J5 M% `8 ^. J4 A6 z$ R$ v
据合力投影定理，有
( {+ r# |8 e# a
9 t4 r$ g! v& ~3 n* OFy=F1y+F2y+---+Fny
" E* b6 H6 s# L% I4 ?0 q
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
( m4 r4 G* W6 r, D$ Z7 r- M$ G# I: t
即

Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
5 |# r/ g$ q; H9 p" [- H8 d1 Y
& S6 k' W! w4 S7 q2 h$ ^
$ S3 I8 q& F. H* X- {
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
4 v. H0 k& l5 U
+ x, ^) d+ J% {- n& Q, |. H$ O3.力对点之矩的求法(力矩的求法)

9 J1 A' [0 @. B7 h+ R0 M（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。

0 _6 H* b  j: z0 y: B: D( R注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
0 f# ?2 s( U0 W! K
（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
+ M$ @2 K, ^! [8 n
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
) h/ Z# d- X; P; r' T
7 @9 }" w1 E( c( ], @  F: \$ {
. t! [: |# B' \7 `' z/ W
解 （1）利用力矩的定义进行求解
4 w/ C5 Y! a- u' q8 @/ d
* |- V) F- i2 n7 C% |3 z9 u

如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

' u" p0 R* J: N" e( i$ T
/ i) s0 P1 g+ G# a. x$ [
( h7 t: ]# r& X- H0 e6 i& F（2）利用合力矩定理求解
: }! g' [! f0 l+ J% U/ k3 P
将力F分解成一对正交的分力


2 m/ C2 l) y+ y% V, s
# j+ x6 K0 }. ^' v% A# e/ ?" f力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即

( K8 Q1 j! \$ ]+ [- e; GMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
: O2 _' a; M& g* }
* y! j+ p8 R+ n9 F2.2.2力偶及其性质
  y+ W) ^! N+ w) N$ Y( Q+ C6 o
1.力偶的定义

在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。



+ e9 E8 n; g3 H0 z3 p- I力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
, A5 {# S% F) `
- U5 s( l1 v- L. r# F3 M2 A力偶作用面——两个力所在的平面

力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
; g0 P4 q+ N  S( ~7 W( f, r- i
/ ?3 k- b- D6 h% t& o& A; w* O力偶的转向——力偶使物体转动的方向

3 G5 C. Z( S0 ?7 W7 p9 Q力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
: Q) X/ Q  a/ }# P. H
8 `4 T- b% ]& l+ ^5 C7 n) ]% R力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。

: O% N( W6 F  u  R, e设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
' Q$ A+ f( X. e


0 j# P1 O6 N' DMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
% a8 q5 [2 V7 W) j: j6 i
. S, f- A8 N1 Y" g由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
$ y" O* O. P( B9 M4 P
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
1 N. Z1 n8 W# r5 U/ I
9 H/ _6 `8 O8 @8 r$ mM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
' w3 L. }2 V- }8 P0 d+ {
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
. H9 |/ Z) f; ?
( v( h9 v$ @9 i" eMo(F) = ± Fd
. l! R6 i2 _- \2 p
4 ]7 l% `' q# k: V0 [$ e0 l+ q力偶的三要素——大小、转向和作用平面

+ C+ @4 ~% u+ p7 C9 ~5 F2.力偶的性质

  x, b4 F' a# ^1 G( |5 J（1）力偶无合力。
, k4 b1 J* ^& S
1 ?) p7 ~' W/ @1 E1 [# L力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
& e" r/ p+ R$ s7 s$ G3 P) v
4 i" O0 C/ ~% w# o$ B) F* Z可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
  @7 C" h  r1 V2 m2 O8 P# T
# A0 [* y) n9 w4 G1 i+ z* p- C（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。

; }/ M1 w/ ~/ D（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
8 r1 L% S* \% W8 w6 p  n. z
1 q' F% y  z) m* E力偶的等效条件：
$ H+ ]5 [$ T6 w+ r& o5 b2 q4 U
+ i7 r7 L9 `5 c3 Z* h- D- G1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
- k! S( ^; M. K6 T$ q
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
: e7 I2 S! p1 ]& j7 @8 L
. F+ q. G/ W0 `: k) e7 F2.2.3平面力偶系的合成与平衡
. W; g, F% }9 H$ X+ m
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。

1.平面力偶系的合成

5 a3 E* k4 b2 M3 @. ^$ J$ r例 两个力偶的合成


4 u2 b, K% g1 U6 j5 rM=M1+M2+---+Mn

% n# B% X( z/ u' G7 f
————力偶矩等于各分力偶矩的代数和
% h4 Z5 {$ V& a
. }" s; c' n  j8 _% {: L2.平面力偶系的平衡
9 A0 s- T, w8 ^: W
# z1 j- F  Z8 y% b  v2 [& Z0 a平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
. n9 X: X: F7 b* S! ]! j
/ G( l( A% r8 ]: T/ q5 C例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

+ S& M0 h4 z5 N" `- P6 x
+ F7 v4 ^5 G" c* t
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
0 O; r6 P+ ~" P; ?3 G6 d* y2 h
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

（2）列平衡方程
+ R- S- i) a! \8 R6 k: [
, O, q8 ?* _# X/ u; V; V  l6 q   
8 Q4 n, w1 }- ]$ E$ W
2.3 平面一般力系

( w* h7 F; t( e5 G* t  m5 ~4 j平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
( q1 o6 v2 J# B& ^, H) g" p
+ h' Q3 E4 p" U8 w

: L4 v! V9 n. I上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
3 m# [2 K5 b/ L3 c+ O3 |; O: Q
2.3.1平面一般力系的简化

1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。

问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
3 E' Y, S4 l" @. A: J  L% U
6 l0 x/ Z. Q5 h$ {7 q( ^将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，



; k6 A1 x9 b5 c附加力偶，其力偶矩为

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
3 g: n* @: K3 [4 q. i
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。

于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
1 O9 u* K! m# u  ?5 w, {
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。

根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。


2.平面一般力系向平面内任意一点的简化


& R: F7 ]/ x# L# ^" @5 {% m0 g
  W# @5 q, [: }- D
α——主矢与x轴的夹角

' G+ h! _% W9 G0 ]% ~, Q. bMo——平面一般力系的主矩
6 c5 d" ?" i& ~+ p- G, m! O
主矩=各附加力偶矩的代数和。

: e) N& r* H, ~0 x7 y, S+ ~2 w4 `（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）

) @6 L6 {& G" b+ ?Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
' h7 q/ T9 g+ n% O4 g. e+ e
! Q0 S) u% e" t3 v/ d7 G平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
) e8 v, |: R" }/ J0 j
    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
2 V& X; m4 c; X% b; y" b8 w- t
: H, r% Y# v& w6 u    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

; Y  g- A" [6 u: b3. 简化结果分析
! S" g" W: g3 z1 U3 u* t  U
    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：
( q% i7 M3 M7 o  N+ G: ^' M( r! A
F'R =0, M o ≠0

- a, V, z; u, e: K7 F/ aF'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

  _7 k" N" K' pF'R=0, M o =0(力系平衡)
1 }, a  a2 N7 r3 p. U
2.3.2 平面一般力系的平衡
* R' t/ g: m6 E& K8 V3 h: c
1.平面一般力系的平衡条件
" C! h2 V1 g* X" h' N9 q3 K- K
平面一般力系平衡的必要与充分条件为：
$ }. X8 |# l# L* Y. ]
+ `2 S! o) j( j  q

  

2.平面平行力系的平衡条件

. ?- Q4 v0 {' E" e7 j0 t' a6 G平面平行力系的平衡方程为
9 O4 S3 v+ c$ d7 R+ U
, \& A! ]& z1 h
4 w2 h6 o* ~/ D7 L; D
/ H0 e& l  }# z6 S+ H% ~平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。



! N% @3 f* I4 Y5 f: S解：取起重机为研究对象。

1 @& N% v4 [$ B. Q5 ]' ^2 C" O9 Y是一平面平行力系

$ [+ ]. m4 o* q) }% k# F3 f3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

2 j) k7 p2 ~+ n) f% }    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
. R9 U9 y( Z8 A
物系外力——系统外部物体对系统的作用力
1 L% |* R) R- C8 H- @5 y
! \5 S$ c- `) u% }物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力
# P' g: y6 i, \4 @( z
物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

2.1.1 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
4 G  R6 O6 t7 }& ?8 H' J2.1.2 力在坐标轴上的投影
+ g9 _) x* H) S9 q
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
& c- k* b9 J' r
2.1.3合力投影定理
6 v; u9 c6 f% p) b  n4 h

- A* z( Y" s1 }

6 l9 t: E6 v* n' N$ Q( J合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
2 U+ m% k# @& ]+ ~

* G1 V" A3 v1 i# T6 q 即

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
5 G  e2 F2 R# ?& e' r' d3 v5 d
例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。

! g  h; `  T) P  w解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有

解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
& I  _0 X- g# a0 n. f$ n1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
% w/ c: T2 }. @3 a. h9 X2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
/ |  U4 X3 c  e. y& q. w6 p: K

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

+ I8 ~& O* h+ v' z' A1 i* X( U力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。

Mo( F ) = ± 2△OAB
1 O$ R8 ?& I: o; c% G力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
: l  r7 L5 T! O5 p% |; T0 q! b  t矩心不同，力矩不同。
规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
力矩的单位是Nmm。
4 p5 y' e' R  p) g, v- P由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
6 Z9 b8 K- y/ y& ^# [) Q: h力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
* y9 E2 d. j( f  o: `
: ]- V- e9 Z+ ~. a% q9 |* w' _计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
- F5 C) }0 i5 e1 T6 N' KMo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
由上图可以看出，合力F对O点的矩为
  G' z4 {- m" @Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
据合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
( c( @+ f( X; SFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
5 l& j6 G1 c  i' R! ?! x( U9 R即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
9 K; f' G/ w& J7 T) K! ~, @) o' _( z3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
# f# o0 F7 \: ]. Y（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
! M( k, L* x7 D6 |" a（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。

解 （1）利用力矩的定义进行求解

如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
* [. \! k9 }9 A/ Q
（2）利用合力矩定理求解
将力F分解成一对正交的分力
% w1 b7 l; i. L# O- U; H
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
9 A$ u$ F5 T. e& hMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
. U  M2 Z! f0 |2 |! H2.2.2力偶及其性质
0 r  \/ E2 w8 c1.力偶的定义
6 u. L8 H4 h8 R, u在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。

力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
9 G# @' I6 y/ T: v* o力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

+ q' s) `' ^  m& wMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
. ^/ m6 i& W4 h力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
4 l8 t: u* u4 [' p3 P/ E  {M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
3 o8 O' Y0 l; n9 C; |% qMo(F) = ± Fd
力偶的三要素——大小、转向和作用平面
- Y! k  Q: F) A) v: C8 {2.力偶的性质
（1）力偶无合力。
* D" Q4 R* R: e+ o6 e- h# T力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
7 |8 K( h6 L& J; n（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
; j6 ], a' {# _# K# P2 n力偶的等效条件：
+ j' p% s  ^; ~5 C9 w1 v1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
  [9 j: P9 V6 L- U2.2.3平面力偶系的合成与平衡
  I& z: H6 g1 \平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
7 m4 Y% I& }7 ~3 u3 L2 P1.平面力偶系的合成
例 两个力偶的合成
& l1 z; S; i  L* h/ L8 G( Y

M=M1+M2+---+Mn

0 P: _: Q2 D; a————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
! A% W& u3 b3 ]( X* kFA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
- ~/ \( c- r, D3 x! l
上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
% |( W( k1 F7 X5 o2 F! G4 b$ _2.3.1平面一般力系的简化
# w; D" ]0 k, ~4 z1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
( }- G, \/ j; S1 d# g问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
, ]- e$ y: g3 h5 W7 z8 @将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
* l' `) P9 i; c1 ?5 ?
附加力偶，其力偶矩为
  ^- F, c9 }) O1 \8 B2 \; @M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
  P( r% W/ O+ t' W* c6 ~上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
$ n- j5 Y8 ^& N9 r3 h; j. ]" _/ I7 K  _于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
% t! F2 f# \% D, k' L/ v! g6 P: l
* h. `/ K$ e( y3 ~/ S0 E6 f( {2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

3 m" q: S7 i) ]α——主矢与x轴的夹角
0 l2 _6 }/ T) [1 I: {3 M- k5 RMo——平面一般力系的主矩
( k  _* r2 O  [7 N( C1 H2 J/ b) D主矩=各附加力偶矩的代数和。
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
# e/ k' F0 v; ?& dMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
; K1 l/ [7 H% w* u

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

& Z2 C4 Q+ X2 _+ L# ~9 k
$ J7 I  z/ D# Z2 @" B& c2.平面平行力系的平衡条件
7 o: ~- X- h7 y6 C9 C; ~' n平面平行力系的平衡方程为

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

解：取起重机为研究对象。
5 ~$ Q$ `- v5 r% ~9 B是一平面平行力系
  ^  D/ ^; W) q" X* ^0 Y

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
5 h7 |- m/ R5 mP1+P2+P3+P4=W
* }0 }/ K8 f3 l- P5 bWB=(P2+P4)A
( e4 k, S' \. X" X) B) C0 S$ o; `) Y3 VWD=(P1+P2)C
( p6 [5 D, N3 [; k) x. g  q; d6 q3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
佩服.......無言!!