请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，
' B- z/ S+ o) X$ P) _8 L
# |5 C7 K+ R" d1 J平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
0 c$ {* L# s+ w几何尺寸如图中所示.
请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？

李赣

1、受力
2、力矩
平衡

easylife

1、受力
2、力矩
平衡
' D2 V* T% r& t3 Blit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

' }+ k0 _. V2 f: K/ @1 N. W2 N9 m不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课  上述用平面汇交力系可解  授人与鱼不如授人与渔

请看下面  力学教材
' B& E! L% e* r! A
2.1 平面汇交力系

% n3 n- k* V0 |  W( w1 e平面汇交力系的工程实例：
9 r& B3 x7 ?: \$ j' A

3 A8 ^0 B. D# B' j( c% i
2 p* y, K) u% C7 d+ f/ z2.1.1 力的分解
( j: `7 H. M/ W9 `5 G2 {9 n
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；

但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。

6 s- v3 A6 m+ t) u2 w3 a& X4 B2 J2.1.2 力在坐标轴上的投影

) e) `4 p2 F! I. \


" L3 I. C6 F; K- a( h% M) |+ h注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

; X) ], l2 X8 s- q8 c

3 q0 I" B% c7 @9 V, [: @; E2.1.3合力投影定理

* g0 u2 ?: p3 U3 b5 H0 P


; B+ y: X; {# V( Z% k
8 s) H4 O' u! M( n
9 D  \! ?8 ?3 X. L$ h7 D6 U

7 u; M3 \. {' t! G& {# w# @, C4 Q
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。

2.1.4 平面汇交力系的平衡条件

- B! ]  ]% {. l* s+ u平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
0 G7 _& _  R- R: T7 r4 v, K
0 @  q# I9 c; U  w) B7 i
& H! _+ ^$ U! l# Y
即


% S6 q- b. e" Z# [) R
, R( ?2 K6 y0 E( f! }1 S  A, u
力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
3 k' M+ Y2 s) I5 B% f! J- Z
9 W5 f. m# n( c; k例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）

% O1 u4 @( v( s, U

例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
7 c4 a6 G' Y6 S4 f3 _$ b4 K
9 G  d; w+ h* a9 ~9 W

  [  m2 S. {. Z! U8 Q# `解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
' f' |2 X' @# ]4 c; k/ j3 r8 ^7 I$ P


解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
) {  s$ i& d6 f$ x- a/ t
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；

. ]0 f! q' b+ @2 I* Q3 I2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
5 J3 t) b  V! h$ v5 i
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
* l: p. }: ~- I
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

2 u3 y% g% W2 ^4 S6 K+ F' h& j2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

& k2 N$ E8 S; |9 X* x为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

: Q7 {" Q5 G/ s: s

力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
4 w: W5 a- j! T. q
# p# A) M6 X) h4 O+ H一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。



/ W' ~  c: H4 r# w" U1 KMo( F ) = ± 2△OAB
* P' O  Q1 h- ?% Q6 i
# K& `$ G7 t- H! m力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
' b  W9 O5 G: V, U9 s+ l" ]
矩心不同，力矩不同。
1 s: G$ O4 P$ U1 C: }# y3 ]4 U3 a
" e  j. l- l' |3 _  o1 a' t规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。

力矩的单位是Nmm。
# \/ i' @4 |1 h! y4 M# B; u) F$ m
由力矩的定义可知：

（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

  _0 j& ^' {. a" S3 d3 J（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
9 y/ P  Z& ~6 N4 J
  a6 J# B: ^2 d! Q力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
6 u" A3 E2 e. c% g- j( k
2.合力矩定理

0 B& r! I+ j8 I: P设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
. Z" @4 G# V: \% Q. n' K2 `8 N( \

5 q* P! M; |0 X
计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
, X4 m- K, p! m: u' h7 |
" [  g1 u8 ]1 q+ ?Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl

% m; Q, U! a& Q& q4 z9 y  ]Mo(F2)=F2yl
7 F9 I9 r' W" Y( c$ B# H
- T) f2 ?* i# A9 T) x& C0 VMo(Fn)=Fnyl
" e) a% v5 `8 }& g7 S5 E8 X- L
由上图可以看出，合力F对O点的矩为

Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
$ A6 a' b" N; h* W' S# K$ v( ^5 f
( e, |- U- A, T" d1 l据合力投影定理，有
8 {# t: Q% W$ p& M' P  U; l1 o
Fy=F1y+F2y+---+Fny

6 d. p; n) W2 A1 ~: X0 I% e3 XFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
+ J$ ]  C5 d$ q8 r4 y% Q
即
, ^3 J/ m! y7 `( P/ e$ l
) ^3 t' J% Z8 L$ c9 NMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
4 c( o+ x" a, U8 h' d
0 p; B( ~1 r" z4 q* @

合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
, a' o8 p) V/ f  g6 g- i
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
6 p) x* n  K) A+ C
注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?

（2）运用合力矩定理求力矩。力分解

9 {1 K1 }0 R* H' ]! D4 @) U' ?, V例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。
  t, `! u- `3 \# ~% d% ^

8 _: V9 p' f) C9 _
% k6 p! C% q4 w% c解 （1）利用力矩的定义进行求解


9 G) j* z1 b# W
如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
% i9 h% p( J  n+ O. p# ~/ S
% V: b6 G3 x5 s
( J7 d# _, g6 A& }# U( H1 @; S5 m2 ~
（2）利用合力矩定理求解
5 h- e+ P0 ^1 Q* e, u
! t2 V( f: }' r+ `" @将力F分解成一对正交的分力

( n, ^( m: R" G( s& T  C! y4 G
. U3 ~( y  D# o
# n: p& ?: p# H1 Y, n$ ?! ]5 ~5 h力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
) L* @9 r" q# j6 \: r/ _/ n3 d, d
. j0 L6 g; E3 T& q3 l- y, h4 ]4 EMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)

( w" R7 ]) @3 u" w. F( i+ U# v8 g2.2.2力偶及其性质

, {% V3 d3 W. k: _1.力偶的定义
" y- r) p8 p- K
0 `& ]9 d. M3 L9 f2 V0 O4 {在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
) w* U( o9 ~% ?/ }
# B5 G3 Y% R7 I, [# u& Y* x/ T# M
% E  l: @; j' x: I9 m, Q
3 x  y2 R0 H% D% R' ?, v力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')

. {# ?3 [, t% E, Z9 f& p0 r& E力偶作用面——两个力所在的平面

. D5 O3 S; S5 |9 c# y' D力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d

- I3 v- k5 U1 C2 e# m力偶的转向——力偶使物体转动的方向

力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？

力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。

设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为
2 g+ _# `& P$ l+ B" B9 \4 |

) m! j+ M) f# F8 l9 d# |! `
Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
9 g0 M3 N8 M2 {4 K) ?3 {
4 ^2 R$ E/ j8 }5 b( P) s由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
2 }7 x& v6 n0 V8 C* Q
! x6 @  a7 w( [. y力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
, r7 h/ p) V/ j
  R& h2 i' Y) yM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
! H) S2 _, }, \$ @
4 K. [( n2 a. ]  w0 g+ j* r力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
, }3 C, p0 q& p# ?% `
, H2 s; ]' ^5 J- XMo(F) = ± Fd

/ ]- b( E, C6 R' w% m* P: G( O力偶的三要素——大小、转向和作用平面

. N  Q. p3 ?1 }  R: @5 s2.力偶的性质

（1）力偶无合力。

7 x, h( ?# t( q, d( m4 m: j8 P力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。

可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

7 n! Q& W4 K, ]: |  l" P+ ]（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。

（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。

力偶的等效条件：

1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。

2 c8 A1 [3 P7 q  g$ }5 @2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。

2.2.3平面力偶系的合成与平衡
* A+ e, G7 d/ d) s& h5 F" J: ?
9 W& I# v- R- L! u平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
  k" f, {& q/ P1 ?' a1 |# Y
1.平面力偶系的合成

/ O" k* w8 b0 G' d例 两个力偶的合成


M=M1+M2+---+Mn
9 i% _  y% c1 L7 N" ]/ z( j

; H* _6 O3 _" t————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

2 q) y5 F! l# ?4 w5 `2.平面力偶系的平衡
7 k1 s/ n; M3 @- G8 U
2 _; Y- K/ Y( ~4 A, b) q平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
) W8 H# X+ u' _; K. a
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
1 z+ k" ^( K: o* q
5 A5 z) y8 m- Y" A: _! N. j
* v. w; n' V6 v& i* Y1 k+ o
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图

FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。

（2）列平衡方程

   
+ C# r- R4 Y% |  n. b& a
2.3 平面一般力系
/ Q( I- v' x( U5 u$ u
7 J% J8 r9 z3 o" C. s4 e$ C平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。



' J* l* \% F% i4 s3 r5 t2 w+ r上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用

2.3.1平面一般力系的简化
) c! S* {5 \8 M) q5 V: y
5 B; s, x7 X3 Z. y: k" F( T" k1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
+ _, i6 j% _" _3 e8 i& y
2 A+ i0 }4 c# c) [; z3 k问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
  T  d# S' K, j# V. \0 \4 d+ I8 B+ F1 _
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
/ e8 p) z# [: e1 I  C# v# }& l


/ f; j5 i9 H' K4 f  B5 U附加力偶，其力偶矩为

M(F,F'')=±Fd=Mo(F)

上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
. j9 K' \9 _" k, Y% _* Z
于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。

力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
) W: U1 c9 R4 k0 G
; q4 ~  ]' t1 |根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
2 c: r2 L4 V/ c: L& p" N
; G. I7 J$ J( ?
1 J8 }# k; z9 `1 Q" k( Q2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

+ F" Z2 A' M) H! B
7 V) K4 A$ V  F
/ W/ n! d5 _* t" ~. {4 M/ C
+ ~5 t  A; p  _. S8 Wα——主矢与x轴的夹角

Mo——平面一般力系的主矩
; s& d/ N0 G! s/ h6 I& F9 R/ B! R4 P5 M
主矩=各附加力偶矩的代数和。
; y( A' A  B0 x# ?8 z$ H! P
（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
" H/ x& s# ]" I$ A1 t! a
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

2 x! @0 {* Y* W6 j平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

) {, |; c* y6 s: x) `    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。
6 e, q+ U' w8 S% Y4 x4 h- J  X
( |, C: ~1 R& d7 b$ ]3. 简化结果分析
( H4 d! v: ^' K! D8 F! B
    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：
( ~# l  G- ~2 r# \  }2 ]" a
+ V8 f) `3 K3 _0 o& J, H0 DF'R =0, M o ≠0
; J5 \1 k9 d5 ], x5 S3 T2 ^* L. R: m
2 g6 y+ V4 `- c* RF'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

+ N6 ]' M# G! W( D8 X2.3.2 平面一般力系的平衡
% @! N% G6 s7 O) ^* U4 @
1.平面一般力系的平衡条件

6 {* ~1 ~- e$ O! k" l平面一般力系平衡的必要与充分条件为：
: i; `  O8 c' I$ b# J3 U% G
( g1 V: X' c  a# R& F9 x' H

- r2 X& R' q" T6 {  
9 e, V3 H0 W4 ]7 L
2.平面平行力系的平衡条件
" v# z7 t# h: L) t
平面平行力系的平衡方程为


( }' `$ T0 L8 P/ x
平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

- X6 J4 y: ?; Q例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。
2 x5 W7 P6 I' V; w  l" b$ T1 u: x
& z; b6 U  T3 r. ?
) b2 s3 k8 [( k  ]1 \4 q/ Z
2 n) [; `3 B2 D- \6 k4 C% F3 u解：取起重机为研究对象。

4 f5 [9 ?) L9 f% b. `是一平面平行力系
# _: x; I% M7 j" B4 p' H( T! Q' B/ J
3.物体系统的平衡条件
) z4 c8 H& }4 z$ g4 j; v
* n- R) y5 _5 i+ J7 _  p6 W0 S物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n
% G, Q- f9 T! n. r
物系外力——系统外部物体对系统的作用力
3 I! P, P' A+ T: c
, e$ F9 f- R' t; [; d物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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7 y8 K* N2 L6 M; i: |* r

2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

2.1.1 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
6 z! p' r' I, V% ]/ F+ J& ]- @但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
8 C/ i5 w# a9 k( E7 g' p1 x2.1.2 力在坐标轴上的投影

% q3 x% d. U- r注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。

. @, r6 u) f$ A& t0 K: p2.1.3合力投影定理
' D$ O9 y9 c1 j% H! u' Z

/ o5 b" P0 K/ T/ R8 S9 A8 I7 z, g % l1 p) F  A* {

3 ~: s" Z" `4 P  G# a合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
0 k0 D% C, Y5 O& N( @) r$ C2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即
  D( K: i7 ?9 \7 k8 e3 m/ n# J! h

( {- H0 s! t5 |  ^+ I$ x8 Y 即

2 {  Z2 Q" s3 j9 q力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
, O% _% |( F) f. U! e例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）

9 Y4 ]/ G- u0 y例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。

, A; F8 L' X2 R4 M8 E* {7 z解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有
$ b+ B. Q: ?# @* ^, }  f$ v7 l& r
8 j* a" |( ]( b5 G" P  ]1 Y解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
0 ?& r# H) n1 M  a4 G- V: b2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
( M, n7 p& ^7 C! x3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
* g+ e- p* R0 b& g- f在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。
2 X( _6 @  K/ x/ F! A7 z

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。
0 G* n) N/ ?5 a% U$ E4 g% S
Mo( F ) = ± 2△OAB
4 I2 Y* Z9 N* U0 j2 G力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
- t3 j3 V8 O4 n3 p+ h; Q矩心不同，力矩不同。
8 ~7 }* x$ R& p& E3 T规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
1 T3 o) n' `2 C2 I力矩的单位是Nmm。
2 ^4 Q  J/ ~& f由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2.合力矩定理
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
2 W$ \# ]4 X9 a* w' l- dMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
9 T8 Q5 t' V. w" J6 f! S6 GMo(F2)=F2yl
Mo(Fn)=Fnyl
$ O" q) D6 F* j; d' {: ]3 K6 C由上图可以看出，合力F对O点的矩为
7 |, e# x7 X6 F, Q9 [Mo(F)=Fd=Flsina=Fyl
3 t3 U1 a, _: o7 d据合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
4 P! e8 K5 f8 c; ?2 Y6 W0 EFyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- v+ a/ M, V2 [
合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
" j% M- v5 E3 d4 ?3 P3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
" d+ W  I4 x; u1 ~$ F! s2 {（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
( \' v8 y0 }% r9 h8 W3 @例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。

" z  l* w9 o5 V+ \/ q* G, g解 （1）利用力矩的定义进行求解
) a1 d' [" i2 v$ ^
9 D4 B: W# D* G! a2 {如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

! Z( ~' Y" J. H! l4 Y（2）利用合力矩定理求解
) C& l, E6 ?' d* \( f. [* Y将力F分解成一对正交的分力
+ ?. J/ I- a) {0 z% R& v4 m! B8 n
力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
6 \( I- D) m! Q& Q3 _Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性质
1.力偶的定义
/ p) h% H, r. @4 _8 l* d在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。
" d% ~% F& w( [" X% P2 x
力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
& u) k. \3 C4 y$ B力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
6 [, K: r/ y( L$ Q4 e设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

( s, v/ ?' h1 b0 LMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
9 d. _. V3 N4 d! S) h3 j7 uMo(F) = ± Fd
9 F3 `( S5 C4 ~: ]0 g' V力偶的三要素——大小、转向和作用平面
2.力偶的性质
（1）力偶无合力。
力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
3 D, T7 i2 v( h（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
0 o- G+ {* M/ }/ ?（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
8 w1 `6 P; J1 B0 r9 z$ Z# H0 `力偶的等效条件：
3 R( w' q& _- ?6 \' p  l  ]: R1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
: ?* {- q" H! j( i+ z" M: x1.平面力偶系的合成
例 两个力偶的合成
- Z- w. T9 N( }. X  R4 Z0 d

M=M1+M2+---+Mn " p: f$ r1 i% G/ M$ D- h% I

% Y1 v% W. {$ }5 j————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
( q" Y+ V6 a9 u) I5 R& b  ~平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。

# E4 v- Z) A# R  }0 @解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
（2）列平衡方程

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。

5 t6 _9 [+ j5 \$ Q7 \0 m上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
8 I" B6 U+ p- K/ s2.3.1平面一般力系的简化
1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
- a) L5 ]" ~+ p+ U
附加力偶，其力偶矩为
. ^! i+ l6 V6 t6 M- jM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
3 L. o9 S: d; R* L! w上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
! s- ^. t+ A1 }) W: [  j力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
, c9 c8 [) m* A5 ]: d: {' ]根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。

5 H! g  j/ A) t6 Q7 W. w2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

. o; ]9 q  s% o1 A7 ]α——主矢与x轴的夹角
Mo——平面一般力系的主矩
主矩=各附加力偶矩的代数和。
6 [  a" s/ a% b& H+ c, a( \3 Q（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
Mo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
- O7 T; z9 O, @! j; R平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
, \( F, b& }+ ], Z$ b( ]

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

) D  J9 y+ ?$ ?% q, g7 K) [
2.平面平行力系的平衡条件
平面平行力系的平衡方程为
$ H, h& Z- r% s: I

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

6 n7 s6 X/ A$ v解：取起重机为研究对象。
是一平面平行力系

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。
  k' U2 [: }5 S

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
/ \- c) w8 E5 l/ mP1+P2+P3+P4=W
WB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
, p0 t' }( ]+ a2 k0 d3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
: K% `+ {' e! x4 f* Q对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
佩服.......無言!!