请教一四点支撑平台各支点承重量计算的问题

easylife

如下面的俯视图，
- y8 l6 l5 V/ j5 a- n' m1 J
平台为一刚性水平台，由弹性支撑件P1,P2,P3,P4支撑。工作台重心为图中W点。总质量为W.
几何尺寸如图中所示.
请问怎样计算各个支撑件P1,P2,P3,P4的受力大小？
  K. X$ K" s, k6 G
: @& L. |$ d8 P, q7 A* Z; w9 B8 s

李赣

1、受力
' k3 S% Z! e2 b# q2、力矩
: t3 |# P9 R) e平衡

easylife

1、受力
) `% ]+ Q# K* r) W2、力矩
平衡
1 k% Z  [" V8 a8 y4 t+ Q" b- Flit_hiker 发表于 2009-9-28 15:51

不知道怎么建立力矩平衡方程，能详细讲下么？
3 M% E, `$ w9 \+ o5 s谢谢

小白菜

可以先把同一侧的两点当成一点，算出来后再把合成一点的两点的力再算一次，高中的同向平行力。

李赣

把旋转轴设定在两个支点上，这两点的力的力臂为零。

草原蒙狼

楼主需要补补课  上述用平面汇交力系可解  授人与鱼不如授人与渔
5 w; E+ `6 r7 l  M, e; s/ }6 m
请看下面  力学教材

- L, ]2 b& r0 i% S6 ?/ G2.1 平面汇交力系

3 s7 d; X  l0 s+ J9 U% e平面汇交力系的工程实例：
/ ^. U% q3 s1 A/ g0 w8 s


2.1.1 力的分解
* x% F0 `4 v5 U5 a7 H2 _
3 g! X3 ~: \. O4 f# P按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；

5 v$ a  d" V( S: z* V6 I但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。

2.1.2 力在坐标轴上的投影
1 W3 l4 P& v) t8 J& C
* ~/ r) U. w4 O0 X8 a2 H

3 i# m# J/ S# K
注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
9 h. B0 T: L+ e) }+ e$ D# ^- d
! t6 l4 k- A2 }+ t
5 w. D" z! V1 v0 o9 e
2 W7 H- @4 [6 S5 X% d) y% I2.1.3合力投影定理
* M3 H1 Z' C1 p# l2 `
) l" j5 ~  b/ G- M! p# F
# m2 c# U, D9 L. q( u; L+ m! P

5 n2 }, j3 j7 G2 m4 u7 [
$ r1 y' a* o2 ~9 a
3 S4 c" U% M) j. c& Z: ?' p

. ?5 ]1 `+ z+ S0 M- l( x
合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
( y* t+ @7 V. P! x! o
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
1 Q/ u) `- E, U( U0 y5 Y" W
, i4 S+ W- ^0 x0 E9 H; _平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即

  v. c  @; R2 \3 B+ i! U+ L
8 D5 k2 s4 Z$ c& f  g
  T* u) G" u  B即

. B6 z% i2 l7 B, q
: g4 W  Z. C/ \4 l% D; j/ G' Z6 y( ]  a
2 v7 l) ^! w4 u; k, o7 \
+ b! |3 V, h4 P0 l& z% c8 v2 }) ]+ H力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。

+ ], }0 h8 W3 I& Z例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
4 W4 A8 ~. e% d; v3 Z. C. M

, P5 V: g6 z0 T- ^! _2 j& B
' \! w0 A+ v7 @- q例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
5 L0 I3 Q- ~* m3 V
6 H. \  u8 f8 G* l1 X
/ D( A6 k7 `- b6 d7 H
  r* n8 n* c# b- A! Z% X3 M解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有

& v# @8 C! R5 T# b* R  P

1 l. {4 ^9 V0 K解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
2 q. i2 g, N* s1 D" }
' }5 z# U1 j. _$ n4 A1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；

8 _) c9 N- \- f3 `0 u4 b2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
* t+ q8 y0 Y" W, v" u
, e. B. O) U( F$ F1 s+ a# y; j, T3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。

在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

. C5 P7 D3 k; w# G! G: f2.2 力矩与平面力偶系
  j- H' Y! N- F0 M. z8 z
( l% M+ e  \  M' L5 [& B# q* V, |2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

3 [7 |' Y" V: U4 ]$ U* L* m7 Y. `; M! ]6 [1.力对点之矩的概念
/ u( e7 b% \$ y8 \0 V$ a1 x' ^# \
" H7 M1 ]1 o- V9 a' F为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。


$ h- f$ h3 M: Z
力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd

7 F2 I) C9 y3 q" b# N一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。



Mo( F ) = ± 2△OAB
! L5 X( c5 n" F  W; \0 v5 K
力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。

矩心不同，力矩不同。

3 D$ ?5 ^/ h& j9 R/ V/ d* K% x0 W规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
+ e5 t7 i- |, A, {- g
/ a( a  E1 @7 q2 t) Q# p; v  m9 W. s力矩的单位是Nmm。
( \+ O# P% u& |1 m5 H& ^/ V! [
由力矩的定义可知：
9 n) L* `* M# g4 D
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。

（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。

力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
- k) @8 ^3 [0 j8 \
2.合力矩定理
3 T2 |! L! |& f4 x' ^* Y4 Y
设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。
1 E& Y2 B: n, c( I
% ?7 {3 J: V+ ~

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则

Mo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
/ u6 E$ i0 [) Z( k) w
, x' }* V& U! `8 e8 LMo(F2)=F2yl

3 m( ~$ k/ X" l% Q) FMo(Fn)=Fnyl
* `# O( |5 l% i( q- ]# G7 J8 o
) l( E0 p& E! M. h0 n" y由上图可以看出，合力F对O点的矩为
9 ~( c$ V- i7 B# t( V+ t
( k0 M8 u2 W* O: Q! MMo(F)=Fd=Flsina=Fyl

2 j5 v9 F3 h+ K. O- ?7 p据合力投影定理，有
' s) t* ~2 ^/ [5 e
: G# z/ R' J  D7 @# F7 UFy=F1y+F2y+---+Fny
/ V1 L  B! J3 g! z
4 j- L) `% b8 B7 L1 }- s2 O3 v+ }Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl

即
' X$ r% B) w) E& _6 a" s
6 e& ~9 x+ Q( O9 g) |# PMo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
6 G, _" `5 H) N
- V3 D( ?7 s; Y8 r+ v4 p8 ^( t+ N

合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。

; Q6 R4 f) H9 g1 j3 m3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
% R+ m) [0 N; p+ N
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。

注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
( u3 W. n, s3 l1 F# Y# h
- q/ j$ P; U8 F' m3 F5 ~（2）运用合力矩定理求力矩。力分解

- k0 ^9 @9 e$ Z: ?例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。


( m& _* n5 f1 g* m5 s2 }; @
解 （1）利用力矩的定义进行求解



如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有
9 u6 J' v9 J' f6 x5 Z; U

: y2 K; F* ?# M4 Y
（2）利用合力矩定理求解
3 e  G9 E9 @( P: q; e; B: N( U
将力F分解成一对正交的分力

3 N- }; D' f' {" z# r' k. Z

力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
4 W! C" @. S$ U# o0 N2 \9 `; g
* Z8 C& a% I# pMo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
5 t4 n( e7 j; ~
1 I) g+ c% F  K" _$ D8 A& \! K3 j2.2.2力偶及其性质

1.力偶的定义
0 ?" i& g. \0 u8 M3 M7 _* U
- C7 G! ^% H/ [9 E/ _$ _) D在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。



  X8 n- t9 ?% q8 ?4 H$ D" h& z) Y力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')

- b3 {5 ~0 q3 Z$ E% S# G力偶作用面——两个力所在的平面

" o( e, C. \8 `, a* X- \! ?力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
8 J8 E; P6 h  R6 Y, ^
力偶的转向——力偶使物体转动的方向

力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？

力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。

: ^, }6 }* a: |1 m3 [1 D9 B5 n9 n设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为


2 V) }* K( X' Y, g4 G) z
( R! W- }) @& L0 P& L- X" M% n' iMo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd

由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）

( U% v- Y0 p' a, A/ m力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
+ H6 D5 `6 K: S3 H+ w
9 x6 P  K& p/ H* QM(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
0 o' e  m" b; `8 Z" B
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
) w+ F6 I- N; \% R; F- O" B
Mo(F) = ± Fd

* E( l: v1 j' b! ~力偶的三要素——大小、转向和作用平面

' g8 h3 S" g; f8 U( W2 G' h2.力偶的性质
/ {! Y" e) M# e# r, {
4 O+ |/ W" \$ n9 b& a9 n" L7 k+ i（1）力偶无合力。

2 d( Q. q' T1 H6 c4 }力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。

/ {0 |3 P$ n- F, x5 U可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。

（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
, R+ z  M8 }7 F3 x+ D" d
5 s) Y3 w( o, E; x（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
, _: e! z! V* Q5 p) v7 D
力偶的等效条件：

1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
+ b! G% v1 ^4 U+ y
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
4 ?+ Q% |2 v8 o9 C3 K& D$ T8 c4 `
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
' H, k! k" r" M! b5 d  U) ?% j  M
, Q- k" z5 V! |1 r: [4 m' q平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
6 g" ~. L) X' [- |
: S) n$ O3 M! h7 W% O5 O2 P1.平面力偶系的合成

' t. Q" J5 S7 K5 q+ d2 s例 两个力偶的合成


& H1 w" j. T4 A2 Q) {- s' N3 V! IM=M1+M2+---+Mn


————力偶矩等于各分力偶矩的代数和
( P4 s2 d6 U' ~8 a
2.平面力偶系的平衡

& B# Y, M* t/ u% W平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，

例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
5 L/ `% K7 F6 D1 s0 |" Z

* ?/ O3 E7 l; p8 J
解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
+ T1 ^! X2 l! S! o% B8 ]9 q
FA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
; s/ Y/ x: X% ~2 Y# Z
/ Z% ?) ]1 Y- B; R2 O% `* C5 Z. S（2）列平衡方程

! n5 I- k7 [- r! P; C& {   
2 w1 t& c! Y/ o0 _# n
2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。
) h2 C( o1 w9 [: z. P

; d% B2 ^6 t  V7 s+ |
上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用

2.3.1平面一般力系的简化
; J$ O2 W; @/ m: |% \! A
0 v' r( M9 p: v& y- J) f* w2 N1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。

; ?  h7 P) G( V问题：如果将力平移到刚体内另一位置？

8 @+ H, |+ z. d8 s) Z0 x将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
' e' B3 _8 T" K8 R7 I4 c8 Y5 C- Z
2 M( M/ N- }2 }8 B( B( v
1 S8 X2 \. F6 k! C/ P# s! r; ?
附加力偶，其力偶矩为
- Y0 U0 K2 x1 C& w5 Z
6 D4 ?* a8 [. u& B0 l$ O* lM(F,F'')=±Fd=Mo(F)
# \8 f" ?/ I$ s' s$ m. P5 {% B
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。

于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
+ k# o9 T5 z! {5 j
力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
) i; N/ ?6 e  i" J+ J
* g* B# h% |. L1 k" p' W5 c4 F根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
1 Q' Z; |9 ^% [- L8 P
6 y. l. t8 M* h: }6 t$ [! [1 `; x
2.平面一般力系向平面内任意一点的简化
9 z, F6 b3 y6 M, b, C' {" {


  Z8 y1 [6 F" ~, w: U
% K+ V2 @" H7 S3 s2 o2 J  \2 N0 Rα——主矢与x轴的夹角
6 }: t( n; X& T# B: h! p
Mo——平面一般力系的主矩
6 w* m2 w/ H# c8 ]
主矩=各附加力偶矩的代数和。

（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）

: B& y: i, m6 UMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
9 v+ y0 ~& x4 H' C+ D
- d2 v/ k4 G9 ~% g( X5 V# g6 P平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。
( h7 e* C) _9 L
" j3 h1 k5 o9 x$ M    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析
$ ]6 \$ j$ a& i5 L$ A- W! Q) T
    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0
  x! k7 m5 y' S- c- t( V  L
# m5 Q) Q7 r) X8 j% AF'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

# ]$ H) O. N2 b- j0 ~2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：



3 A- Y9 D6 p9 E7 _1 d+ M  
+ [) s+ L  w4 ]* O7 o8 s1 }
3 w, W( W2 N7 W! p6 ?) u2.平面平行力系的平衡条件
8 w' U' H+ f' O9 z; e" `
6 w1 [( o3 ?/ K! c9 q8 ]$ }) m+ |平面平行力系的平衡方程为
4 z* p) z  m" M
3 I4 h# _7 {6 m
4 l, N6 [9 V! p& b, f
平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。
3 k  M! v/ E" t/ Q2 U2 s; @

, [1 ?- X3 S4 G0 S6 }
1 a2 G4 l- M5 I4 e0 H8 E' w& o5 z) u! |/ m解：取起重机为研究对象。
# K4 v5 r/ f0 t& V8 O! `7 c' {
是一平面平行力系

% S$ B/ X$ E: C) S0 B. A& f3.物体系统的平衡条件
% i: w4 \5 N0 i( n# P) N  T
物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。
1 Z- W# X3 `3 O$ Q" [. @. a
    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力
- b5 r/ m; ~# J4 T) H+ E0 V
# k% ~3 r7 C* N# O) f; K物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力
0 r, i+ v  g0 e3 x2 W
* h! |' D9 T: ?9 t9 U物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

草原蒙狼

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1 {% k0 O4 P3 n. m

2.1 平面汇交力系

平面汇交力系的工程实例：

$ ~8 |% r' l  N2 |2.1.1 力的分解
按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；
但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
( ~) H- n! ]1 z# P" J9 a0 X2.1.2 力在坐标轴上的投影

注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
8 S5 H& M/ O% o- t
9 ?+ h: \8 M% s  ^2.1.3合力投影定理
& Q# A6 t/ f, q. L2 ~5 h

- ^$ U. [. w% _) }0 Q6 e

4 }) W+ `* y; K  V6 a' q合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件
  r, r/ O+ t1 z7 j: r7 S4 p平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。即

即

力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。（仅是求合力大小）
( K( J) n3 \) Z
9 T7 s/ k! `4 u7 i/ o例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。

; a4 \; `7 x, Z4 b/ C/ G解 因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有

- x0 Z. R, E: j解静力学平衡问题的一般方法和步骤：
1.选择研究对象 所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；
2.画受力图 根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
3.建立坐标系，根据平衡条件列平衡方程 在建立坐标系时，最好有一轴与一个未知力垂直。
在根据平衡条件列平衡方程时，要注意各力投影的正负号。如果计算结果中出现负号时，说明原假设方向与实际受力方向相反。

2.2 力矩与平面力偶系

2.2.1 力对点之矩?(简称为力矩)

1.力对点之矩的概念

为了描述力对刚体运动的转动效应，引入力对点之矩的概念。

力对点之矩用Mo（F）来表示，即 Mo(F) = ± Fd
# O7 j# w" Z* c4 j1 m. C5 L( |一般地，设平面上作用一力F，在平面内任取一点O——矩心，O点到力作用线的垂直距离d称为力臂。

( L0 u& D( R: c5 O/ h) X( Q/ rMo( F ) = ± 2△OAB
8 s3 P5 b7 @9 a力对点之矩是一代数量，式中的正负号用来表明力矩的转动方向。
矩心不同，力矩不同。
$ ~2 `* J) u- \规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩取正号；反之，取负号。
" J0 @( `+ }$ K力矩的单位是Nmm。
由力矩的定义可知：
（1）若将力F沿其作用线移动，则因为力的大小、方向和力臂都没有改变，所以不会改变该力对某一矩心的力矩。
（2）若F=0，则Mo(F) = 0；若Mo(F) = 0，F≠0，则d=0，即力F通过O点。
2 R- r0 C( S7 {: g力矩等于零的条件是：力等于零或力的作用线通过矩心。
2 o( {; y" B% j, k. ~# u5 J. @2.合力矩定理
  c2 c/ a3 }' [4 j2 ?设在物体上A点作用有平面汇交力系F1、F2、---Fn，该力的合力F可由汇交力系的合成求得。

计算力系中各力对平面内任一点O的矩，令OA=l，则
0 ~: p9 V8 U$ [7 s/ Q+ R' K8 d- dMo(F1)=-F1d1=-F1lsina1=F1yl
Mo(F2)=F2yl
: f, H+ v! |6 [& x! iMo(Fn)=Fnyl
由上图可以看出，合力F对O点的矩为
/ O$ d/ n1 e+ S3 o& `, CMo(F)=Fd=Flsina=Fyl
据合力投影定理，有
Fy=F1y+F2y+---+Fny
Fyl=F1yl+F2yl+---+Fnyl
即
Mo(F)=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)

+ u% d: c$ t5 C% p) ^5 @- A合力矩定理：平面汇交力系的合力对平面内任意一点之矩，等于其所有分力对同一点的力矩的代数和。
3 K$ S2 E1 _; g8 i! X4 e3.力对点之矩的求法(力矩的求法)
（1）用力矩的定义式，即用力和力臂的乘积求力矩。
8 K; H; ^# g( D- R注意：力臂d是矩心到力作用线的距离，即力臂必须垂直于力的作用线。?
（2）运用合力矩定理求力矩。力分解
. Y5 N& [7 Y' P3 c* ]例2-3 如图所示，构件OBC的O端为铰链支座约束，力F作用于C点，其方向角为 α ，又知OB= l ，BC= h ，求力F对O点的力矩。

8 a3 l& n/ C7 Z- O% z4 X解 （1）利用力矩的定义进行求解
  {- {( K$ E$ k0 u
8 e- a2 x7 `* J$ G4 \1 k6 j如图，过点O作出力F作用线的垂线，与其交于a点,则力臂d即为线段oa 。再过B点作力作用线的平行线，与力臂的延长线交于b点，则有

（2）利用合力矩定理求解
4 B7 {$ v! p1 M# G# Y9 R将力F分解成一对正交的分力
* |, C0 l6 Z& B" ~
! e. Z: g6 f$ ?6 p% C, s力F的力矩就是这两个分力对点O的力矩的代数。即
Mo(F)=Mo(Fcx)+Mo(Fcy)=Fhcosa-Flsina=-F(lsina-hcosa)
2.2.2力偶及其性质
8 e( v4 _1 F( c$ w- ?- x7 }1.力偶的定义
在工程实践中常见物体受两个大小相等、方向相反、作用线相互平行的力的作用，使物体产生转动。例如，用手拧水龙头、转动方向盘等。

力偶——大小相等、方向相反、作用线相互平行的两力，如图中的力F与F'构成一力偶。记作(F，F')
力偶作用面——两个力所在的平面
& ]- A) @* o" v8 w  o8 r. k; L  V力偶臂——两个力作用线之间的垂直距离d
7 u* m( n2 Z. P8 ]! S+ t0 \力偶的转向——力偶使物体转动的方向
力偶只能使物体转动或改变转动状态。怎样度量？
力使物体转动的效应，用力对点的矩度量。
3 x2 `! z' \2 G0 N2 f; D- d2 f设物体上作用一力偶臂为d的力偶(F，F')，该力偶对任一点O的矩为

( y$ r0 y( z# W' a) {8 |Mo(F)+Mo(F')=F(x+d)-F'x=Fd
由于点O是任意选取的，故力偶对作用面内任一点的矩=力偶中力的大小和力偶臂的乘积（与矩心位置无关）
力偶矩——力偶中力的大小和力偶臂的乘积，记作M(F,F')或M
M(F,F')=±Fd 规定：力偶逆时针转向时，力偶矩为正，反之为负。
力偶矩的单位是Nmm。 力偶同力矩一样，是一代数量。
$ ~. p. W. }" u7 h% I! rMo(F) = ± Fd
7 `2 {7 f* j; Z0 G% x力偶的三要素——大小、转向和作用平面
! L* c" y3 u( l0 y2.力偶的性质
（1）力偶无合力。
* T. U, X& u2 ]7 |( \4 `力偶不能用一个力来等效，也不能用一个力来平衡。
% |0 b8 G0 b% S+ J) O6 p可以将力和力偶看成组成力系的两个基本物理量。
（2）力偶对其作用平面内任一点的力矩，恒等于其力偶矩。
5 e9 N& a- N; x3 E/ {（3）力偶的等效性力偶的等效性——作用在同一平面的两个力偶，若它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶是等效的。
力偶的等效条件：
: I( y! f" |7 {- A  E2 P3 D0 }1）力偶可以在其作用面内任意移转而不改变它对物体的作用。即力偶对物体的作用与它在作用面内的位置无关。
2）只要保持力偶矩不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不会改变力偶对物体的作用。
2.2.3平面力偶系的合成与平衡
平面力偶系——作用在刚体上同一平面内的多个力偶。
1.平面力偶系的合成
例 两个力偶的合成

M=M1+M2+---+Mn

————力偶矩等于各分力偶矩的代数和

草原蒙狼

2.平面力偶系的平衡
! m# F5 v" B* D( L" W# o  }/ X平面力偶系合成的结果为一个合力偶，因而要使力偶系平衡，就必须使合力偶矩等于零，
" Z% A, I1 z; \例2-4 梁AB 受一主动力偶作用，其力偶矩M=100Nm ，梁长l=5m ，梁的自重不计，求两支座的约束反力。
. A* c0 ^  K) H' ], N0 F/ Z$ I
3 `$ J5 q. M( X7 L7 ~% }! E解 （1）以梁为研究对象，进行受力分析并画出受力图
- k. H$ n& G/ eFA必须与FB大小相等、方向相反、作用线平行。
: ?3 s9 v$ C  N; f1 b' J: z（2）列平衡方程
2 i5 N# L. K6 P1 q3 P

2.3 平面一般力系

平面一般力系——作用在物体上的各力作用线都在同一平面内，既不相交于一点又不完全平行。

上图起重机横梁AB受平面一般力系的作用
2.3.1平面一般力系的简化
1 K& }! q7 ?7 [# H' N; W+ ?1.力的平移定理力的可传性——作用于刚体上的力可沿其作用线在刚体内移动，而不改变其对刚体的作用效应。
; |- O  b6 a- v' e3 ]% f问题：如果将力平移到刚体内另一位置？
) U( K  D! z6 w; y' ]# k9 q  I6 S将作用在刚体上A点的力F平移动到刚体内任意一点O，
6 W/ H3 W- c" F% p2 m0 e4 }
6 [' _: I5 e7 b8 L- J0 A附加力偶，其力偶矩为
M(F,F'')=±Fd=Mo(F)
上式表示，附加力偶矩等于原力F对平移点的力矩。
& X8 Q: Z0 B9 c于是，在作用于刚体上平移点的力F′和附加力偶M的共同作用下，其作用效应就与力F作用在A点时等效。
1 }1 e' ?$ v* u- n力的平移定理——作用于刚体上的力，可平移到刚体上的任意一点，但必须附加一力偶，其附加力偶矩等于原力对平移点的力矩。
根据力的平移定理，可以将力分解为一个力和一个力偶；也可以将一个力和一个力偶合成为一个力。
) E$ q! _8 y/ y3 D% Q( O8 |
5 M- t+ ~' @+ Z/ R1 B) g1 w3 G2.平面一般力系向平面内任意一点的简化

( E5 \  y: W$ K5 z+ e5 Oα——主矢与x轴的夹角
Mo——平面一般力系的主矩
* o' y" E; [# Y; X3 w& L( w主矩=各附加力偶矩的代数和。
6 H) h! V: I8 j- O' l' ]8 o. |（由于每一个附加力偶矩等于原力对平移点的力矩，所以主矩等于各分力对简化中心的力矩的代数和，作用在力系所在的平面上。）
; [. K, J! O9 D! cMo=M1+M2+---+Mn=Mo(F1)+Mo(F2)+---+Mo(Fn)
1 M5 `  ?3 e5 o9 |平面一般力系向平面内一点简化，得到一个主矢 F'R 和一个主矩 Mo，
$ D& ^  }! n6 u8 t5 s  r/ s

    主矢的大小等于原力系中各分力投影的平方和再开方，作用在简化中心上。其大小和方向与简化中心的选择无关。

    主矩等于原力系各分力对简化中心力矩的代数和，其值一般与简化中心的选择有关。

3. 简化结果分析

    平面一般力系向平面内任一点简化，得到一个主矢 F' R 和一个主矩 M o ，但这不是力系简化的最终结果，如果进一步分析简化结果，则有下列情况：

F'R =0, M o ≠0

F'R≠0, M o =0

F'R ≠0, M o ≠0

F'R=0, M o =0(力系平衡)

2.3.2 平面一般力系的平衡

1.平面一般力系的平衡条件

平面一般力系平衡的必要与充分条件为：

) u) B  g& v! ]% V6 g( B; A. w6 ?# i
2.平面平行力系的平衡条件
平面平行力系的平衡方程为

平面平行力系只有两个独立的平衡方程，因此只能求出两个未知量。

例2-6 塔式起重机的结构简图如图所示。设机架重力 G =500kN ，重心在C点，与右轨相距 a =1.5 m 。最大起吊重量 P =250kN ，与右轨 B 最远距离 l =10 m 。平衡物重力为 G 1 ，与左轨 A 相距 x =6 m ，二轨相距 b =3 m 。试求起重机在满载与空载时都不至翻倒的平衡重物 G 1 的范围。

解：取起重机为研究对象。
是一平面平行力系
( W! `( ^% p- E( C

3.物体系统的平衡条件

物系——由多个构件通过一定的约束组成的系统。

    若整个物系处于平衡时，那么组成这一物系的所有构件也处于平衡。因此在求解有关物系的平衡问题时，既可以以整个系统为研究对象，也可以取单个构件为研究对象。对于每一种选取的研究对象，一般情况下都可以列出三个独立的平衡方程。3n

物系外力——系统外部物体对系统的作用力

物系内力——系统内部各构件之间的相互作用力

物系的外力和内力只是一个相对的概念，它们之间没有严格的区别。当研究整个系统平衡时，由于其内力总是成对出现、相互抵消，因此可以不予考虑。当研究系统中某一构件或部分构件的平衡问题时，系统内其它构件对它们的作用力就又成为这一研究对象的外力，必须予以考虑。

无能

依图为空间平行力系，其平衡条件是：
P1+P2+P3+P4=W
3 X& b8 B' `' v: t: Z* j) ZWB=(P2+P4)A
WD=(P1+P2)C
. t+ l$ z: }) [+ M6 H7 P* c" W3 T3个平衡方程，4个未知量，此为一次静不定结构，必须得知各个杆件的E，补个变形协调方程，方可求解。
对钢而言，因为其弹模E高达200Gpa，在静不定的情况下，某一构件长或短若干微米，受力情况就面目全非（比如Φ50X4长100的钢管，其弹变10微米，外力变动就达1吨多，不可谓不大）。所以此题若将支撑改为3个，即变身为静定结构，求解就易如反掌了。

w9049237

8# 草原蒙狼
7 G0 t- {) e* X; W" i) R0 r$ F! d佩服.......無言!!