【机械原理】一般渐开线直齿圆柱齿轮的齿廓绘制（续）

DaedraMech

书接上文：
http://www.cmiw.cn/thread-1074105-1-1.html【机械原理】一般渐开线直齿圆柱齿轮的齿廓绘制
说到了单个齿槽的绘制，此时以齿槽作为草图轮廓进行拉伸切除、阵列特征后即可得到完整的齿轮：

讲到这里我们先回回味儿，如果有坛友按楼主的步骤一点点做下来的话就会发现，在获取对侧齿廓这一步中，原齿廓经过镜像的草图直接变成了样条曲线，完全没有任何方程式去控制它，两齿廓之间也不会添加镜像关系约束，这显然对参数化设计是非常不利的，草图也容易在后续的修改过程中乱掉。

为应对这个问题，楼主的办法是利用线性代数知识，对原方程进行坐标变换，直接推导出镜像齿廓的参数方程。熟悉线代的朋友们都知道，坐标（或向量）的线性变换其实本质是坐标系基底的线性变换，如果能获知变换后新坐标系的基底，就可以通过左乘由基底组成的变换矩阵来使任意坐标（或向量）实现同样的变换。镜像变换也是一种线性变换，要实现它关键就是要找到镜像坐标系的基底。

如下图所示，原齿廓是从基圆上展成的，参数t是从0开始取的，不难发现原坐标系就是以轮坯圆心为原点，以水平线为x轴，竖直线为y轴；从原齿廓的起点开始，在基圆上跨过一段基圆槽宽后取点，在该点处与圆心连线，该连线就是镜像坐标系的x轴，过圆心垂直x轴朝下的直线就是镜像坐标系的y轴：

这里定义基圆槽宽所对圆心角为β，分度圆槽宽所对圆心角为φ，分度圆展角为θ，分度圆压力角为α，通过下列计算即可得出镜像齿廓的参数方程：

和之前的操作一样，将参数式输入到SW中，便可绘制处对侧齿廓：


接下来我们再探讨下变位齿轮如何绘制。
要正确绘制变位齿轮就要先搞清楚“变位”到底给齿轮的几何尺寸带来了哪些变化。
如图所示，变位后，刀具中线虽然偏移了机床节线一小段距离，但由于刀具只是位置发生了移动，其齿形角α并未发生改变，因此rb=r*cosα依然成立。变位前后，齿轮的模数、压力角、齿距和基圆都没有发生任何改变，发生变化的是齿顶高、齿根高（正变位齿顶高增加、齿根高减少；负变位齿顶高减少、齿根高增加）、齿厚和槽宽（正变位齿厚增加、槽宽减少；负变位齿厚减少、槽宽增加）。也就是说变位前后渐开线的方程式并未改变，只是在不同的变位系数下，渐开线的截取部位不同罢了。齿厚和槽宽的变化也使得上述镜像操作中的槽宽圆心角发生变化，因而产生不同的镜像齿廓。

接下来如果我们能得到变位后的分度圆槽宽和基圆槽宽，“获得镜像齿廓”这最难的一步就迎刃而解了，两侧渐开线都拿到手后再用变位后的齿顶圆和齿根圆截取，便能得到我们切除所需的齿槽草图轮廓了。

以正变位为例，如下图所示，正变位后的槽宽无非就是减少了2倍的KJ段长度，我们拿一个具体的例子计算一下：


变位齿轮的几何尺寸已经确定，我们回到SW中输入刚刚算得的数据，便可获得所需的变位齿轮了：

下图可以直观对比变位前后的齿廓变化：

回到出发点“手绘”，其实我自己见过的方法不过有三：一是开篇提到的笔栓绳子到圆柱上或者拿直尺在圆上做纯滚动，用直尺的特定刻度推动笔尖画线；二是在不同的展角下计算多处发生线的长度并画为基圆切线，再用曲率尺连接各发生线端点成为样条曲线；三是拿硬纸板制成的标准齿条，在纸上沿直线推动，每推动一小段距离就转动图纸一个小角度（距离和角度要符合纯滚动的几何关系）并描出齿条的齿廓，描画多次后便是利用范成法包络出了齿轮的齿形。不过不管哪种都相当考验操作就是了。

齿轮的绘制讲到这就先告一段落了，如果还有其他内容想了解可以回复楼主，有时间就针对性地开贴讨论。

shentu

数学功力太强。。。。。。我基本看不太懂。

DaedraMech

shentu 发表于 2024-8-27 22:41
数学功力太强。。。。。。我基本看不太懂。

大部分其实都是三角函数，老哥对照着示意图推导一定没问题的（抱拳）

Lixinwu

真正的工程师决不会纠结在具体的画这种图上，耗时间，废脑筋，现在SW的齿轮插件太多了，何必将宝贵的时间花在这上面?

FKUEDEJXSQ2

666

littlecan

Lixinwu 发表于 2024-8-28 05:39
真正的工程师决不会纠结在具体的画这种图上，耗时间，废脑筋，现在SW的齿轮插件太多了，何必将宝贵的时间花 ...

一，有时候插件乱码，生成不出来
二，有的插件是点源连线的拟合曲线，不是真正的理论齿阔，对于仿真 测绘对比都不精确
三，DIN标准的渐开线花键齿，我找了几个插件生成不了，只能是手画

来自何方

littlecan 发表于 2024-8-28 08:43
一，有时候插件乱码，生成不出来
二，有的插件是点源连线的拟合曲线，不是真正的理论齿阔，对于仿真 测 ...

就是geartrax也不行吗

卢Tiger

在CAD中生成一个轮廓，到3D成型就可以了，简单方便

littlecan

好帖啊！当初搞DIN5480的 带变位系数的渐开线花键，半年没有琢磨透参数方程该怎么搞。
最后是 从变位原理，直接径向平移的齿廓线xm，我理解这齿阔还是原来的那一段，
只是在不同的变位系数下，渐开线的截取部位不同罢了，
楼主这里是这么理解变位的，我抽空再看看。

littlecan

来自何方 发表于 2024-8-28 08:46
就是geartrax也不行吗

你可以试试，不同软件生成的齿廓线 有不一样的。尤其是带变位系数的。