【机械原理】一般渐开线直齿圆柱齿轮的齿廓绘制

DaedraMech

坛友@wugamp发表帖子http://www.cmiw.cn/thread-1074062-1-1.html探讨了手绘齿轮的问题，参考链接中拿圆弧来滥竽充数的手法实在令人大跌眼镜。楼主平时由于需要设计同步带轮（分度圆在齿顶圆外的特殊齿轮），所以多少会些齿轮绘制方法，不过当然是机绘（不使用插件，自行计算并绘制齿廓）不是手绘了。为加深自己对理论知识的记忆，也为给其他感兴趣的朋友作作参考，特此开贴讲下SW中的齿廓绘制方法，如有不足之处还请坛友们斧正。关于尺规作图意义上的手绘，楼主会在文末提几种方法，聊作本文注脚了。

楼主方法的主要思路是：直接推导出齿廓渐开线的参数方程，利用“方程式驱动的曲线”功能绘制足够长度的齿廓曲线，再用齿顶圆和齿根圆截取出来所需的曲线段。

想象一个圆筒上缠着一股线，我们固定圆筒、抻着线头，在绷紧线的前提下慢慢把线从圆筒上展开，线头的轨迹就是渐开线。

截图出处https://www.bilibili.com/video/BV1va411L7vS/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=cc6efb342cc3a5ba79504952e66b13d1

如图所示，当直线BK沿半径rb的圆周做纯滚动时，直线上任一点K的轨迹即为该圆的渐开线。该圆称为渐开线的基圆，rb称为基圆半径，直线BK称为渐开线的发生线，θk称为渐开线上点K的展角，αk为渐开线齿廓在该点的压力角。

这里不多做推导，直接上结论，渐开线齿廓的极坐标参数方程为：

然而，SW的方程式曲线只能使用直角坐标系下的显函数或参数方程，因此我们要把它转化为有容易控制的公共参量的参数方程：

（买不起mathcad正版，只好带着水印上了）

这里为了简化参数式形式，选用展角与压力角之和作为公共参量，其大小直接影响渐开线曲线段的长度，经验上楼主一般取[0, pi/4]。接下来，我们找一个特定的例子，假设齿轮的各几何参数如下，计算齿轮各个重要的“圆”。

现在，参数方程中的未知量也已求得，可以进入SW中绘制了。楼主采用切除法，故先绘制了圆柱毛坯，再绘制曲线，四个圆和渐开线绘制效果如图所示：

接着可顺势画出提高工艺性和齿根疲劳极限的齿根圆角：

由于分度圆上齿厚和槽宽相等，因此易求出单个齿上两侧齿廓在分度圆上的矢径夹角，为360°/23/2=7.826°，据此可做出角平分线。

以角平分线作为镜像的对称轴，将渐开线和齿根圆角镜像过去，即可得到完整的齿槽：


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图片达到上传限额，绘制结果以及通过代数方法求镜像的内容明日继续更新。

毋固

学习了

qq642446015

学习

xshzhh

预先收藏，学习一下

cangzhoumj

挺专业

littlecan

这个渐开线的参数方程，楼主会不会推导带变位系数的参数方程啊？

东海fyh126

详细的教程，点赞

无人机2911

学习，收藏了

1237_tingyu

学习了，值得深究

FKUEDEJXSQ2

用心了。