请教：关于凸轮无因次方程的问题

luxiang821

) W% Y+ R9 A( t  r% Y; q
3 u0 b* a. {, [, g" N3 s/ v

看了坛子里大侠都在高谈凸轮，小菜鸟也想附庸风雅一下，找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化，就理解不了了。下面是无因次参数定义

9 ^5 h6 w- S, l6 z4 h0 y
, @9 s% O, x4 P4 a对于等速运动用运动学基本公式，可以推出


7 o% c& A6 t, L5 @- b但是对于等加速度运动的描述

. x9 B" Q1 _2 o2 {0 R8 j0 W却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事，请大婶不吝指教。
8 v# f  P- {8 }6 ]4 i* I2 R这还只是基本曲线都搞不定，后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

luxiang821

海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27
+ |( M7 G4 W5 I$ e) i无因次化，也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程，《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

' r$ |5 E/ d/ h* {0 f2 z大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大侠能否指点一二啊，偏微分也得有微分方程不是，我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J
由S函数对T求导，得出V、A、J，很好理解，问题是S函数怎么来的呢，拿我举例，等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢？
还请大侠帮忙解惑？

米fans

luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45
9 V- X0 D( r- v  `4 Z大侠，你在论坛上分享过这本书，我也下载了，英文太差，所以先看的中文的凸轮书籍，捧佛脚也来不及了
大 ...

; I3 |) _  i+ z8 x; m$ @5 O+ `$ q我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。看完数学，再来理解这些公式，你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会，看老师写得满满的公式，天书一样。后来陪同学一起考研，把数学又研究了一下，再看这些曲线方程，一下子就明白了。

luxiang821

按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大侠，A=4又是怎么来的呢？而且是最小，为什么不能有A=2或者A=3
或许我的问题太小白了，刚开始自学凸轮理论知识，还请大侠指教！@hoot6335   

hoot6335

0 {0 G) L! b1 C, h( b

luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
按hoot6335 大侠的说法，是先有的V、A、J要求才推出的S函数，顺序和我理解的是反的。
那还请教hoot6335 大 ...

. Q) z7 {7 N0 d/ z* b
大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
# w, d$ R  @8 ^9 S1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到底“采用何种运动规律才更合适？”这是设计人员最终要解决的问题。
2.现有的几大系列的运动规律主要是：多项式、三角函数以及拼接函数（其他曲线比较特殊不在讨论之列）。
3.要解决以上三大系列的运动规律，都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
# N7 f4 g& n* z# y8 A. ^4.明白了以上3点，那么现在就可以理解我讲的“先有V\A，再有S”的目的——对于某一设计实例，要先分析该设备对凸轮有哪些要求：除了基本的A连续外，需要对V有控制吗？此外，有没必要J也需要连续？等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后，画出加速度A的草图，并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后，根据“A的数学表达式”，对时间T求积分，推导出S曲线。
! H; {0 S! u: `/ s5.关于”理解顺序“的问题，可能并不是大侠关心的主要问题，俺说这么多就够了。
2 Q  K. W. H- ?$ m5 _' R. G) _
回到本贴，大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下：
1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式，而不再需要根据A来倒推。
2.”2次多项式“的通用表达式为：s=C0+C1*δ+C2*δ^2
3.对s(t)分别求一次导数，二次导数，可以推出:
* |" \) W/ f) y5 }6 D: f4 \                                           v=C1*W+2*C2*W*δ
                                           a=2*C2*w^2
- a2 _4 r- t* V, s# B# C4.已知边界条件(前提假设：加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。)：
                       加速段边界条件：
) ?% o8 k& v: s) F8 S                            在起始点     δ=0，s=0,v=0
                            在终点        δ=δ0/2，s=h/2
                        减速段边界条件：
                             在起始点     δ=δ0/2，s=h/2
                             在终点        δ=δ0，s=h，v=0
: K4 u1 k  M% s; I5 T8 ~7 q( y4 q
! T7 [" @* f  Y. h+ e. }' o8 t5.把4代入2和3，可以求出各段的C0、C1、C2的值
4 {! Y7 s' T! \/ s6.所以，”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数：
                        加速段：
                             s=2*h*(δ/δ0)^2
3 |3 l9 b8 Q9 K: ?                             v=4*h*w*δ/δ0^2
( l( G6 r0 V$ V6 e6 J: Z7 x                             a=4*h*(w/δ0)^2
6 r! Z4 |. C. [) i# T, C9 K                        减速段：
                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2)
. J# D2 @$ i6 e' }& m3 W                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
                             a=-4*h*(w/δ0)^2      
7.注意，以上都是有量纲的公式，下面开始无量纲化。
8.定义无量纲 ，注：大写字母为无量纲，小写字母为有量纲。th：整个位移S升程h所用的时间，
                        T=t/th   
1 a" W6 ?; ~  U                        S=s/h   
1 G# M+ v' _% u9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ，我们发现，”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;
   另已方面，在8的无量纲公式中， ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
   而这两者是等价的，所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中，取代”δ/δ0“，进行对S的无量纲化。
10.根据9的思路，同时把8中的无量纲S转化为s=S*h，代入6的有量纲公式S的表达式中，可以得到S的无量纲方程为：
) I( u3 N  s& Q; U1 C- M% r. P                     加速度段：
) }% r/ o/ F3 ]% Q5 E* \" l                              S*h=2*h*T^2
      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
11.对S(T)分别求一次、二次导数，即可得：
                             无量纲 V=4*T
                             无量纲 A=4
% H( y1 h0 x; E3 d1 [12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程，即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。
     全手打，写公式累， 至于在0.5≤T≤1区间段，LZ可按如上思路自推导。
13.注：需要说明的是，本贴”等加速等减速“的假设前提是：加/减速段各占1/2，即所谓的对称。
3 d/ I) y- m1 Y. I5 f     若不对称呢？当0≤T≤2/3，2/3≤T≤1时，该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证，就当练手好了。
14.LZ大侠的另一个问题，”为什么不能A=2或3？“。要讲请这个问题，就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
     以上纯属个人理解，若有不对之处，望海涵。
! v" a( u7 q4 [                           
                           

+ q; l, Q3 m# f; [4 k/ F& E            
6 t7 x9 I# P$ Z0 _) ~; H# Z$ M

luxiang821

hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32
, u4 Q; G+ H- u3 ]8 {8 E大侠，关于理解顺序的问题，说明如下：
1.对于设计一个凸轮机构来讲，在没有现成参考借鉴的情况下，到 ...

非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字！
$ G8 N& _) R# M* i6 W: o经大侠细致解答我总算明白了，无因次方程的内在关系。
米fans大侠说的对，用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
% Z( ~4 h4 {- W/ R2 G  l+ _看来我真得恶补一下相关数学知识，尤其我看书喜欢刨根问底，到了强迫的程度，不懂得不求甚解
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里，关于凸轮运动规律的推导也是用
角度，没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢！

米fans

米fans 发表于 2014-11-17 20:53
; C: n) ~1 ~- A2 ^6 Z我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了，就是用数学思维去理解就好了。 ...

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍，个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中，如何减小冲击（函数的连续光滑可导性等若干问题），惯量以及的问题。还有就是力学分析（比如尖端从动件受力分析时，会用到瞬心定理（这个你得明白吧，最基础的东西）。还有高速六次七次曲线、组合曲线，让你来设计，你会怎么做？怎样去优化，才能让运动更稳定，寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧，真的很有必要，磨刀不误砍柴工。