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请教:关于凸轮无因次方程的问题

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发表于 2014-11-17 15:40:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 luxiang821 于 2014-11-17 15:47 编辑 - u7 F$ h; b8 r  P4 p( R) o3 \
* C; ^2 z* D' h
看了坛子里大侠都在高谈凸轮,小菜鸟也想附庸风雅一下,找了《自动机械的凸轮机构设计》和《自动机械机构学[1].[日]牧野 洋》想从零开始。没想到看到凸轮曲线的无因次化,就理解不了了。下面是无因次参数定义

! W  {( H9 r+ A' t, j/ z* `
+ z  _/ F/ p, l对于等速运动用运动学基本公式,可以推出0 b- i; _1 c4 t5 |1 _0 ]
" O0 O8 U" H5 S$ `$ r

* `4 e* M1 n) L# e; E但是对于等加速度运动的描述* f: F3 f) T6 t$ K
/ K4 [8 m) ~* n# x0 \' ~
却死活推不出S=2T^2,只能推出A=V  。是我方法不对还是怎么回事,请大婶不吝指教。4 n3 W7 ~* K1 f( S* y' y8 g% q4 t
这还只是基本曲线都搞不定,后面还怎么进行下去啊。苦思一天了。

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发表于 2014-11-17 16:27:25 | 显示全部楼层
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 楼主| 发表于 2014-11-17 16:45:32 | 显示全部楼层
海鹏.G 发表于 2014-11-17 16:27 - Y! ^8 Z4 p# Y3 c
无因次化,也叫无量纲化。其实就是个偏微分过程,《CAMS DESIGH HANDBOOK》论述的细一些

8 m& C( g' D7 L* \大侠,你在论坛上分享过这本书,我也下载了,英文太差,所以先看的中文的凸轮书籍,捧佛脚也来不及了  v+ u. ^4 K% s% X& X/ m
大侠能否指点一二啊,偏微分也得有微分方程不是,我发现书上都是先有的S函数然后有V、A、J0 c' i5 @4 U  J: h
由S函数对T求导,得出V、A、J,很好理解,问题是S函数怎么来的呢,拿我举例,等加速度运动规律的S函数是怎么来的呢?7 g3 ^% ~2 }) ~' Q8 O9 b( Y
还请大侠帮忙解惑?
) d) q- m& A/ m) S# N1 I4 q# Z. m' p3 v

点评

至于为什么是S=2T^2?刚刚俺说了,S是未知的.对于等加速,已知A=4,对A(T)就积分可得V=4T,对V(T)求积分就是S=2T^2.不知这样说,是否讲清楚了点。  发表于 2014-11-17 21:41
此外,也有的是B样条拟合差值。  发表于 2014-11-17 21:08
所以从设计上来讲,玩凸轮,实际上就玩的S曲线的数学模型。而该模型除了书上可查的之外,特殊场合需要根据工况自己推。所以多项式有3次、5次、7次……;三角函数、梯形函数、还有拼接函数等等。  发表于 2014-11-17 21:07
S曲线就是你所要求的目标曲线。V\A\J就是评价该S曲线优劣的指标。有时设计人员需要对V\A有具体数值要求。而目前书上可查的S曲线都是曲线中的特例,因为可以用数学模型具体描述。而该数学模型就是凸轮的核心。  发表于 2014-11-17 21:03
我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。看完数学,再来理解这些公式,你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会,看老师写得满满的公式,天书一样。  详情 回复 发表于 2014-11-17 20:53
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发表于 2014-11-17 20:53:34 | 显示全部楼层
luxiang821 发表于 2014-11-17 16:45 / Q! ^/ ]' L/ T8 ?6 ~% k
大侠,你在论坛上分享过这本书,我也下载了,英文太差,所以先看的中文的凸轮书籍,捧佛脚也来不及了. d! g5 z5 p1 K! r5 u, E6 p
大 ...

. F& h" x" ^' t  K# H# j' U+ Z  v# }我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。看完数学,再来理解这些公式,你就会有一种茅塞顿开的感觉。以前上学哪会,看老师写得满满的公式,天书一样。后来陪同学一起考研,把数学又研究了一下,再看这些曲线方程,一下子就明白了。( l( _; O0 ~9 {( ~' w0 S& F

点评

相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍,个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中,如何减小冲击(函数的连续光滑可导性等若干问题),惯量以及的问题。还有就是力学分  详情 回复 发表于 2014-11-18 17:03
大侠我也知道需要数学知识,这么说也太宽泛了,能否针对我这个具体问题给出具体建议,我刚开始自学凸轮,还请指教,谢谢!  发表于 2014-11-18 11:09
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 楼主| 发表于 2014-11-18 11:06:21 | 显示全部楼层
按hoot6335 大侠的说法,是先有的V、A、J要求才推出的S函数,顺序和我理解的是反的。/ Q8 u  @3 d) g4 h# b) c3 x
那还请教hoot6335 大侠,A=4又是怎么来的呢?而且是最小,为什么不能有A=2或者A=3- ]" z; p: K& M3 |$ }$ O1 ^
或许我的问题太小白了,刚开始自学凸轮理论知识,还请大侠指教!@hoot6335   
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发表于 2014-11-18 13:32:09 | 显示全部楼层
本帖最后由 hoot6335 于 2014-11-18 13:48 编辑
+ k  a# Y1 y* B, G) U6 l5 z
luxiang821 发表于 2014-11-18 11:06
/ x3 k% r5 M- S5 C+ h按hoot6335 大侠的说法,是先有的V、A、J要求才推出的S函数,顺序和我理解的是反的。
  r3 M3 B  g( `1 n/ Z那还请教hoot6335 大 ...
$ f; h0 w6 [' K% m# m& k
" r1 @5 K( b0 Z& S( j! R
大侠,关于理解顺序的问题,说明如下:) P2 ]% H& Z9 Y4 U& f9 }5 U
1.对于设计一个凸轮机构来讲,在没有现成参考借鉴的情况下,到底“采用何种运动规律才更合适?”这是设计人员最终要解决的问题。
9 K- w% I/ ?0 _: f1 z* b# n7 f2.现有的几大系列的运动规律主要是:多项式、三角函数以及拼接函数(其他曲线比较特殊不在讨论之列)。) x* _( {4 P% F5 U- B* t7 R4 x
3.要解决以上三大系列的运动规律,都是有一定“套路”的——即都有现成的数学模型。
( G" S. d+ I4 l+ A4.明白了以上3点,那么现在就可以理解我讲的“先有V\A,再有S”的目的——对于某一设计实例,要先分析该设备对凸轮有哪些要求:除了基本的A连续外,需要对V有控制吗?此外,有没必要J也需要连续?等等一系列问题。设计时把这些问题都搞清了之后,画出加速度A的草图,并根据草图把加速度A的“数学表达式”——即模型写出来。最后,根据“A的数学表达式”,对时间T求积分,推导出S曲线。' L5 d6 b1 U, Y7 S& O" c) v3 J
5.关于”理解顺序“的问题,可能并不是大侠关心的主要问题,俺说这么多就够了。, g/ }7 N. z9 {3 G3 G( c& Y

* _6 b5 P$ O5 w回到本贴,大侠困惑的实际上就是”等加速等减速“曲线的推导。主要思路如下:8 A" J1 c7 M& \1 U" t
1.”等加速等减速“的实质是——其S曲线是2次多项式。明白了这点就可以直接写出S的数学表达式,而不再需要根据A来倒推。
3 F* J/ c5 b6 M1 o" }* X5 `; H2.”2次多项式“的通用表达式为:s=C0+C1*δ+C2*δ^2
1 {  N- h+ q6 D+ t  X8 q3 p* R& H7 b3.对s(t)分别求一次导数,二次导数,可以推出:0 ]3 u  C4 [) E$ L% _6 H# x) B
                                           v=C1*W+2*C2*W*δ: c6 M- v1 p- |: _" E1 D8 m
                                           a=2*C2*w^2- e8 b) ^7 P3 O/ H7 f1 W) P
4.已知边界条件(前提假设:加速段与减速段各占整个行程的1/2。当然也可以不是1/2。):8 {$ O( K8 s& Q1 y6 y
                       加速段边界条件:
9 |- E& }1 h' k0 S3 [                            在起始点     δ=0,s=0,v=0/ ~9 `  N% O; c6 l
                            在终点        δ=δ0/2,s=h/2) s: ?0 r. W' H1 y
                        减速段边界条件:# v0 q: }. b3 z; r- h+ R
                             在起始点     δ=δ0/2,s=h/2
; @# n0 G2 f3 f, z" I% q                             在终点        δ=δ0,s=h,v=0
+ C8 ^6 n- S1 j" l) X# e4 ~8 Q& H" n! @5 W# ~. L% G1 s
5.把4代入2和3,可以求出各段的C0、C1、C2的值
: z% Q& `* r( J4 U6.所以,”等加速等减速“曲线的完整方程是分段函数:
* ~5 t& g: m/ Q4 |) M3 \, }                        加速段:9 A7 e* U: K/ @3 K
                             s=2*h*(δ/δ0)^2' A/ W* N3 |. b" ?4 `
                             v=4*h*w*δ/δ0^2- ]  ~8 n6 Z1 n% |
                             a=4*h*(w/δ0)^2
! e0 r4 _3 z9 i" e1 P                        减速段:: \0 P- O) w# d. m3 |- }3 f8 @
                              s=h(1-2*((δ0-δ)/δ0)^2). C8 K9 |( Y) G3 o
                             v=4*h*w*(δ0-δ)/δ0^2
( g" S6 r3 u/ f  O" b. b3 B- Q  `                             a=-4*h*(w/δ0)^2      ; ]4 e5 }) V5 I" m0 K
7.注意,以上都是有量纲的公式,下面开始无量纲化。8 k4 b1 V& v) K+ T. [! _4 L4 M5 c
8.定义无量纲 ,注:大写字母为无量纲,小写字母为有量纲。th:整个位移S升程h所用的时间,& n" s7 f; K3 t) y/ F% [
                        T=t/th    " A" N9 w) d$ f3 L
                        S=s/h   
% M- t% N- l2 F" i9.在6 的有量纲公式S的表达式中 ,我们发现,”δ/δ0“表示了”凸轮的转角δ与整个推程区间角δ0的比例关系“ ;& H& j! o* U8 ]1 x) q
   另已方面,在8的无量纲公式中, ”t/th“表示了””凸轮的转过δ角的时间t与整个推程时间th的比例关系“ ;
- A+ a0 M& l$ @# j* v2 f0 c' B   而这两者是等价的,所有我们用无量T直接代入6的有量纲公式S的表达式中,取代”δ/δ0“,进行对S的无量纲化。
/ ~' ~$ c; o  x& ^7 R% G10.根据9的思路,同时把8中的无量纲S转化为s=S*h,代入6的有量纲公式S的表达式中,可以得到S的无量纲方程为:
! V# [$ K- v8 X# X                     加速度段:
0 [$ M6 A: H; w& g% A                              S*h=2*h*T^2
5 L: ]* t# y( ~& W, W/ l- k      (两边约去h)→  S=2*T^2          ——即S的无量纲方程
3 X9 q- ]" Q( ?% {/ e) U) W11.对S(T)分别求一次、二次导数,即可得:
$ \8 ]+ y) n0 k                             无量纲 V=4*T) [- i# H/ v) P+ y7 L! s1 n' o
                             无量纲 A=4
1 G3 z. G$ j  W* }) [  f! j+ X12.推导完成。以上只演示了在”加速度段“的无量纲化的过程,即LZ大侠附件图片中的 0≤T≤0.5区间段。7 ]) V7 A. I& \
     全手打,写公式累, 至于在0.5≤T≤1区间段,LZ可按如上思路自推导。6 h6 W2 c4 U5 f/ e1 z0 X
13.注:需要说明的是,本贴”等加速等减速“的假设前提是:加/减速段各占1/2,即所谓的对称。/ m, J6 C! b) O5 E
     若不对称呢?当0≤T≤2/3,2/3≤T≤1时,该”等加速等减速“的A是否还是A=4呢。有兴趣的可自行验证,就当练手好了。
& {) Y8 N1 m) Z5 Z% Q1 q14.LZ大侠的另一个问题,”为什么不能A=2或3?“。要讲请这个问题,就要扩展往下讲”曲线的优化“的问题了。
3 y: x9 I+ Z: }2 t1 x     以上纯属个人理解,若有不对之处,望海涵。
- y& ^; Q0 I0 l- z; }                           
7 O: d0 ?, K4 w; H$ G4 ~# T                           
1 V& s# I5 o3 x. |
$ J( n  c& m4 |" p# T  v            
1 \# s# }# u8 J7 ~5 W7 }

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 楼主| 发表于 2014-11-18 14:50:32 | 显示全部楼层
hoot6335 发表于 2014-11-18 13:32 $ }# I7 x" L! l; u6 m1 D
大侠,关于理解顺序的问题,说明如下:* z+ K& g2 X2 i9 }) t( K  l  Q
1.对于设计一个凸轮机构来讲,在没有现成参考借鉴的情况下,到 ...

* B) {4 R7 A& a! k! s0 E  ~非常感谢hoot6335大侠这么有耐心、辛苦码字!/ i7 _2 @2 @' A2 F1 J0 G9 B
经大侠细致解答我总算明白了,无因次方程的内在关系。
5 I" X4 ]0 o: _2 K' b- s米fans大侠说的对,用二项式表达曲线方程确实是数学方面比较基础的东西。
# p% H7 r: Y/ D) p$ n+ l看来我真得恶补一下相关数学知识,尤其我看书喜欢刨根问底,到了强迫的程度,不懂得不求甚解! k8 ?) |# |7 @$ ~$ U) p! F
遇到阻力就进行不下去了。之前看《机构设计--分析综合》里,关于凸轮运动规律的推导也是用3 w( L# |" y- A5 i0 [! `1 R* ]' }
角度,没有仔细推敲和时间的联系。经大侠这么一说茅塞顿开啊。再次感谢!
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发表于 2014-11-18 17:03:56 | 显示全部楼层
米fans 发表于 2014-11-17 20:53
2 k) j* N6 m" c7 `+ A+ i我建议大虾还是先从数学看起吧。一切原因都得从数学的角度来思考。说白了,就是用数学思维去理解就好了。 ...

- x5 p( f, s9 U2 |, ~2 O4 w相互学习哈。 我觉得你第一步应该把高等数学仔细的看一遍,个人觉得很有必要。应该占不了多久。然后回过头来想想刚体的运动过程中,如何减小冲击(函数的连续光滑可导性等若干问题),惯量以及的问题。还有就是力学分析(比如尖端从动件受力分析时,会用到瞬心定理(这个你得明白吧,最基础的东西)。还有高速六次七次曲线、组合曲线,让你来设计,你会怎么做?怎样去优化,才能让运动更稳定,寿命更高。回过头去看看高等数学和大学物理吧,真的很有必要,磨刀不误砍柴工。

点评

慢慢学就好了。我是菜鸟,非大虾。  发表于 2014-11-27 16:23
大侠说的是,没有基础想一口拿下不切实际啊  发表于 2014-11-27 12:09
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