本帖最后由 动静之机 于 2013-7-6 14:20 编辑 % n! M: ^9 N/ \7 |% F6 T
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这两天比较愉快。小子连闯两道关，考上了南外初中。
c% \' u+ ~$ ?' a& i3千多人抽签（绝大多数都是有备而来的主），2560人中签，然后考试，录取320人，男女各半。
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那天考完，出口处所有的孩子都苦着脸出来，说数学太难（出题也用英语）。
5 E8 r( T4 I! \- L4 U, J俺家的亦是如此，说还有大概20多题没空做（至少30分没了，总分150分的卷子）。
# n# G2 f2 R. Z3 B- O) B1 e! W不过此次考试没考这类转几圈的题目，呵呵，瞎担心了：8 \5 j" g+ d/ H4 p- \, K( C0 P
一个简单的考题考倒一大片! ---- 续I
! W( P6 J O0 l) qhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=231503
0 A9 @) y( E3 E: c; k2 y3 ?) X* r9 O3 U7 E% U9 Q. T) L: R
一周前，俺发了这个帖子：
+ j3 M5 I+ `5 c7 R4 T怎样车椭圆
. m, p; C8 G4 Y- n3 L1 fhttp://bbs.cmiw.cn/forum.php?mod=viewthread&tid=329983
! X3 W& ]0 m# d7 m( o$ K% J( J( _
1 D& E% A, W: B: M8 y, c里面提到的德国网站http://www.volmer---ovaldrehen.de/englisch.htm里，有这么几个椭圆规：
, M; s( g, a, g7 r
3 W T& G8 |, _5 p2 Q这个就是十字滑轨式的，已经在“怎样车椭圆”帖子里说清楚了。: k" O3 n5 a ~, U7 ?5 |
+ O! z9 ^5 _9 ~8 Z9 @
/ X+ @: u3 F$ k6 ? n( `
这个显然是利用内齿轮啮合的机构，大小直径比为2，这也说过了。
4 O& H, E8 ?, Q1 p/ J0 _- K- C) i% l: c$ t6 R# T
1 L. f, f+ A3 [) e+ K对这第三个东东，俺一下子没看明白。该网站只是说该椭圆规机构' X ?. ]! L5 r5 o+ ?5 N; ^+ E
允许在机构旁边作画（切割）因此可以作很小的椭圆。
: N9 L. m2 ~% [) W3 F* f9 s/ a6 m3 O0 b3 L) I& m
图片搜索该照片的名称Kopp-Ellipsograph发现有这么一张图，简直一摸一样：
* I# G; i, D8 m U& a- o/ q（http://fr.wikipedia.org/wiki/Ellipsographe）
' F- I; p0 ~9 v/ D9 Y
& D l! c6 V/ K9 @意味着有相关文章可看，大喜，点击过去，十几秒后，页面终于打开，晕倒。 有人感慨“它认识我，我不认识它”大概就这意思。 ( ]9 b+ R" j* C
不死心，重新搜关键词，找到一个链接，对该机构有些许说明： http://tech.groups.yahoo.com/group/liveaboardlathe/message/34
3 J" K; h( F/ O7 Z& S0 n最下方提到参考书名 Mechanisms for the Generation of Plane Curves 5 |. X- ] ^) }& }
于是搜来（估计是苏联图书的英译版）。抱歉，11M，就不上传了。& r' v% z( |& |( o# k
7 L0 _5 M3 \- D; O) p
翻遍全书，发现在105，106页，有个证明（PS拼接如下）：
) C( M" A: M3 F. |% F4 x+ {" g' Y
( p9 a3 c; B) P) J2 Y
这个证明和照片里的椭圆规不太一样。: W- M& z5 r7 x- F6 q
; w6 x+ W1 H0 X& d7 |/ f5 i1 _ j好吧，为了安心，也因为今儿个高兴，把照片里的机构也画瓢地证一遍：& z/ U9 z K" c1 L3 L$ f
设仿形机构放大系数为K，即DC=K*DM，两个起点都在X轴上且都处在自身
! n8 H5 | u u" A3 \6 m圆心的右侧（计算比较方便）。左侧齿轮逆时针旋转，右侧顺时针旋转。
) T9 ]3 I c3 y) ^; s5 I
- S7 t% o0 `/ Q8 ]" J. B! n
6 ]- `' W' ^5 N& d2 D. C) i对于C点X坐标，分别从r2 r3 两条路找到关系式：. b/ s! D3 t* B, \* G' R
r2Cosα+k*DM*Cosβ=R+x
6 u# `. M; t: V! n" d: _1 r X( i0 kr3Cosα+R+(k-1)*DM*Cosβ=x 7 a3 o- }! a- C& s+ O/ ?" G" `4 |" o
消去Cosβ参数，得到:0 i4 X1 ~4 f+ O$ H) M
(2k-1)R-x=[(k-1)r2 -kr3 ]* Cosα ------------------- A
/ C; F9 Q+ Z4 q, w, N
0 x% q E+ }4 w \; L2 f5 h% O, g+ e0 Q& Q7 l* V. u
对于C点y坐标，分别从r2 r3两条路找到关系式：
9 ?; r0 `0 g+ u zr2Sinα-y =k*DM*Sinβ
/ ~8 _8 W) d( k7 l( w-y -r3 Sinα=(k-1)*DM*Sinβ
" L8 z$ z" s! C. Z. g消去Sinβ参数，得到:
% ?$ E. b+ N. s) t- Z$ @- y=[(k-1)r2 +kr3 ]* Sinα ------------------------ B
d1 o. A: u7 o b: a1 J- N- `; C; U$ w# {+ J
$ r N5 n( l B把A式和B式综合起来，就是（但愿全部步骤没错 ）:
1 x) |! k# |. w: C) K
# _; y8 }( S4 _5 L
8 }5 t2 H7 F' {% ~3 f H7 M5 `
这显然是个圆心分布于X轴(2k-1)R处，长半轴 (k-1)r2 + kr3 ，短半轴为 (k-1)r2 - kr3 绝对值的椭圆。/ N3 z* _$ z4 U- u( t
% |. z# {9 r7 \ q& G. Aα=90度时，两个驱动臂互为180度，画出椭圆长半轴最低点。
. }2 \ ]! d1 n5 f* W3 B2 @2 P2 p; `4 Q0 ]8 r" O8 T8 k9 M
若起始时，选取的某点已有初始角度，例如左侧所取得点已经逆时针转过180度，右侧尚未动，则
! u$ N2 ?0 R$ A9 W# D意味着两个驱动臂已经提前达180度角，那么当前画出的点将是长半轴，而且在X轴上。也就是说，
; u5 `# o9 y1 c1 r输出的椭圆虽然大小完全没变，但相对于例证，已经转过90度啦，即相位角是初始相位角差的一半。$ @3 x, o9 Y. z+ Y# {$ s& E" ^
7 x; [2 q/ H4 g& C( l回头再看看那个满眼鸟语的维基原图的证明，就释然了。 : ]: W; n: p% ?# c' `. E
+ ~$ u: {" o% Y' ] A- y6 l
不妨拿这个仿形机构来说明：
$ Z$ U- l( S# P; S1 @9 I/ @
6 L7 m- w) N- h5 f" D& M
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这个机构简直天生为就是两个复矢量的合成缩放准备的。
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6 v. @4 R( I% g- n, u, q5 _公式 Zm=kZb+（k-1）（-Za）意味着，若左侧输入Za，中间输入Zb，右侧输出为Zm。9 L) t O6 y6 ]- V6 j' c
假设Za不动，放大作用使Zm为K倍的Zb，假设Zb不动，则杠杆作用使Zm为k-1倍的Za，2 c7 s3 e9 S' W) P1 c
不过由于处于杠杆的两侧，动作相反，因此有个负号。" q) d+ ~7 ~+ {1 S: P. o
+ c6 ~2 J: m8 r/ o M6 q
一般的应用都把其中一个点定死，一个点输入另一个点输出，例如某些古老的仿形机床。7 j: M6 `) t' W( p* a# [
日内瓦湖畔的瑞士军刀小店用的军刀刻字机，也用这种机构。老板把客人的姓名字母凹
& |5 q* T, R- J模板（约20x30毫米，厚2毫米）在轨道上排列好，然后用仿形机构缩刻在刀柄上。
+ ]* l" a$ J" m% @ y+ _只有西文字母可选？ 嗯，下次谁有机会去的话，先带上自己名字的中文模板哦。。。0 ^* o& r. X0 j3 @3 c
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发表于 2013-7-6 13:56:53