清明节作业
本帖最后由 核动力三轮车 于 2014-4-6 17:21 编辑清明节没有回老家，窗外雨下个不停。自己就在家里宅到现在。清静的时候最好学习，做了一份作业，巩固下基础，有些收获和大家分享。
题目来自大学课本，刘鸿文教授写的《材料力学》第二册。原题用的是有限差分解法。有限差分法数学意义很明确，解法也比较简单。但用过都知道，有限差分法编程不方便。当然，对于简单的问题，也不一定就要编程。基于假设位移场和最小势能原理的瑞利里兹法就是一种很好用的方法。在有限元法出现前，和有限差分法一同是很好用的方法。第一张图里我用的就是瑞利里兹法。这种方法优点就是物理意义清楚。但缺点也很明显，如图里所示。我只能取自己假设的位移场v(x)的第一项。如果要取第二项，那么计算就会很繁琐。幸运的是，即便只取第一项，位移的结果也是足够精确的。
第二张图里我用的是有限元法。有限元法可以看作传统的瑞利里兹法改进。如图一所示，假设了一个函数v(x)描述轴的每一点的位移。对于高维问题、复杂结构和复杂边界条件，就可能需要构建极为复杂的场<u(x,y,z,t,f),v(x,y,z,t,f),w(x,y,z,t,f)>描述整个的构建。而更要命的是，这个过程必须人工干预，所以是很难实现的。如果能把瑞利里兹法应用在一个简单的结构中，而想办法把一个极为复杂的结构分解为若干简单的结构组合那不就可以保留这种方法的优点吗？这在数学上的提法叫做分片插值，这就是有限元法的本质。有的书说有限元法来自瑞利里兹法，有的书说来自伽辽金法，其实都不妥帖。发明有限法的目的是为了在计算机上继续应用上述两种方法，这不是要求把算法复杂化，反而是要求把算法简化，流程化。计算机适合做简单枯燥的循环，所以必须把太灵活的传统方法“简化”为计算机上可以实现的算法。图三是最终形成的刚度矩阵。求解过程中要对矩阵进行重排、分块、求逆、求乘以及后处理。对于这根轴的计算，有限元法大幅增加了计算量，但把人从枯燥的计算和针对复杂对象的不可能任务中解放了出来。
在这道题中，采用的是欧拉粱单元。既然欧拉梁是在xy坐标系中定义的，为什么要用截面转交和挠度描述其变形呢？一个很重要的原因就是这样做更简洁。。。由于theta=dy/dx，连续性条件要求假设的位移场存在一阶导数，而应变能中包含位移场的二阶导数，这要求位移场存在二阶导数。那么，如图二所示，合适的位移场是三次多项式。当然，也幸好只是三次的，高次的很难处理。
这道题还有其他的解法，比如采用常应变三角形——我非常想尝试。这可以练习使用形函数、等参单元，并且可以用到雅可比矩阵。但可以预见的是，即便网格更细密的三角形单元，也很难得到粱单元的精度。这提示我们有限元分析时一定要采用合理的单元类型。还有就是直接积分，大学时这样干过，写了好几页。当然，伽辽金法也可以。
说了这些，给大家出道题：图二的底部是节点位移，怎么从节点广义位移得到节点位移呢？对于这道题，划分更细密的粱单元，可以得到更精确的结果吗？ 不明觉厉 大学学的材料力学好久都没有用过了。难道是我们公司太低端了？
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