GD&T系列 - 三坐标测量的矢量误差算法
三坐标测量减少了人为的测量误差，但也限制了测量者的创造性，如果了解三坐标测量的原理，可以在特殊情况下准确设计测量方法，快速分析测量问题。另外对于三坐标测量原理的理解也可以加深GD&T的理解，能够合理图纸设计，在设计阶段就能够满足测量的可行性，降低了设计成本，提高了设计能力。三坐标如何测量误差？
图1：为了便于解释CMM测量的原理，案例使用了2D图显示，3D空间是一样的算法。
图中n代表数模的表面，一个理论曲面；相对应的是零件的实际加工表面a；理论曲面a和实际加工表面a存在偏差，这个偏差即是上下偏差+t和-t；测量的目的就是确定实际表面a和理论表面n之间的距离，即零件的偏差。去确定这个偏差，还要定义两个坐标系，一个是三坐标的固有坐标系MCS（OXY），另一个是零件的固有坐标系PCS（OX1Y1），三坐标的软件都有补偿这两个坐标系偏差的算法。
图2：测量细节 测量时使用三坐标的宝石球探针接触选定测量的点Pn，并且沿着Pn点表面的垂直矢量方向（面的垂直方向）接触零件，那么探针将接触到零件的实际表面a上的实际测量点Pa。因为探针宝石球的中心亦沿着矢量v移动，根据已知宝石球的半径，理论点Pn和实际零件测量点Pa之间的距离就可以求出d，也就是Pa点的偏差d可以通过这种简单方式求出。因为d是沿着矢量v的方向，如果将d沿着PCS的X1和Y1轴分解，可以分别得到这个零件沿着零件坐标系（由零件基准建立）的偏差Δx和Δy，并且可以看出曲面上的点的偏差是垂直表面的方向偏差。 因为三坐标能够自动计算零件表面的矢量，这些过程三坐标软件内部可以自动完成，测量报告会自动计算出偏差d,分量Δx和Δy。 因此矢量就很重要，矢量（也称为欧几里得向量、几何向量、向量）。向量其实就是带箭头的线段，具有长度和方向，一个曲面的单位向量通常使用i，j，k表示。
图3：投影公差 在实际测量中，探针不能保证实际接触点Pa处于理论Pn点的向量v上，实际接触点有可能是Pa1和Pa2两种情况。这种情况下，三坐标软件的计算方法是将向量投影到向量v上，使用到了向量投影的算法：
以上公式，向量v由三坐标软件通过数模计算得出，被测点Pa的实际坐标也可以由测头给出，而Pn是设定已知值，所以可以得出最后的投影值|PnP2|，即我们想得到的此点的偏差，可以知道θ2在材料外部时，θ2＜90°，cosθ2＞0，结果为正公差；当Pa1在材料内部时，θ1＞90°，cosθ1＜0，结果为负公差。这个算法也是轮廓度定义时材料内部为负，材料外部为正公差的由来。 因为Pn是理论值，Pa是测量值，那么测量的精度可以看到主要来自于向量v的精度。当然还有其它很多的误差影响，比如Pa的测量也不准确，三坐标软件通常需要补偿测量的误差。 对于v的值，目前我们给的方法是使用数模，由于AI深度学习的应用，目前的测量技术发展很快，三坐标已经可以通过分析已经收集数据，在没有数模的情况下，较准确的给出未知测量表面上的垂直矢量，可接触测量也实现了对于柔性零件的测量。
那么投影到Pn点的切线方向的误差呢？
图4：切向方向的误差 因为零件表面总是同理论表面有偏差，另外设备即是知道矢量方向，也不可能准确的沿矢量方向路径移动。所以必然会错过理论点Pn，并且同时错过对应的实际点Pa。当测头沿着预定的第一次路径移动，测头中心同矢量v重合，即得到测头圆弧同矢量v的交点，即理论Pn点。但是此时仍然没有接触到零件表面，因此会继续沿着第一次测量路径运动，直到接触零件表面Pa1点，明细这个接触点不是我们期望Pn对应的Pa点，我们不能简单的通过Pn-Pa的公式取计算零件偏差。在测量过程中实际上也无法找到Pa，我们只能尽量接近Pa，这时候Pn点的切向方向就可以用来修正这种误差，也就是矢量v的垂直方向部分。刚才我们计算了接触点的投影作为测量偏差，这个偏差能够有说服力作为测量偏差之前，测量设备还要评价实际测量点是否足够接近测量点Pa, 就是实际测量点在此点的切向投影，这个值设置为e1,那么e1应该是多少？ 不同的三坐标公司的标准不同，通常这个值e = (﹢t-（-t））/2。 也就是当e1<=e时，测量值符合要求； 当e1>e时，测量需要沿着路径二继续测量，三坐标经过一次调整，重新得到接触点Pa2，迭代运行，直到e2<=e。此时的Pa2投影到v向量上的da2输出作为合理的测量结果。 如果继续探讨，da2测量值是在MCS坐标系下的结果，MCS和PCS不可能绝对重合，所以还需要在OXY和OX1Y1两个坐标系上进行补偿，PCS通常是通过零件上的基准建立，进一步来说，如果零件安装在检具上，那么又引入了第三个检具的坐标系。所以三坐标厂家的测量误差补偿的策略就很重要，这也是不同厂家三坐标会产生测量不对标的情况。
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这种是否可以简单一些，用三坐标打点检测。
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